냉각 시스템 제어 - 실험 도서관

냉각 시스템의 필요성

수소 전지의 작동 온도는 성능과 수명을 결정하는 중요한 요소이다. 높은 온도는 연료 전지의 효율을 떨어뜨리고, 내부 재료의 손상을 초래할 수 있다. 이를 방지하기 위해 냉각 시스템을 통해 온도를 효과적으로 관리해야 하며, 제어 시스템은 이 냉각 시스템의 동작을 최적화하는 역할을 한다.

냉각 시스템의 모델링

냉각 시스템의 제어를 위해, 먼저 시스템의 동적 특성을 모델링해야 한다. 열 교환을 기반으로 하는 냉각 시스템은 전도, 대류, 복사와 같은 다양한 열 전달 메커니즘을 포함한다. 이러한 물리적 과정을 수식화하여 시스템을 모델링할 수 있다.

냉각 시스템의 기본적인 열 전달 방정식은 다음과 같다.

$Q = mc \Delta T$

여기서: - $Q$ 는 열량 (J), - $m$ 은 냉각 매체의 질량 (kg), - $c$ 는 냉각 매체의 비열 (J/kg·K), - $\Delta T$ 는 온도 변화 (K)이다.

냉각 시스템에서 중요한 요소는 시간에 따른 온도 변화를 계산하는 것이다. 시스템의 열 평형 방정식은 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \left( Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} \right)$

여기서: - $T$ 는 시스템의 온도 (K), - $Q_{\text{in}}$ 은 입력된 열량 (J), - $Q_{\text{out}}$ 은 방출된 열량 (J)이다.

냉각 시스템의 목적은 $T$ 가 일정한 목표 온도 $T_{\text{set}}$ 에 수렴하도록 제어하는 것이다.

제어 알고리즘 설계

냉각 시스템을 제어하기 위해 여러 가지 제어 알고리즘을 사용할 수 있으며, 대표적인 방법은 PID 제어이다. PID 제어기는 비례(Proportional), 적분(Integral), 미분(Derivative) 요소를 결합하여 시스템을 제어한다.

PID 제어의 입력은 온도의 목표 값 $T_{\text{set}}$ 와 현재 측정 값 $T$ 사이의 오차 $e(t)$ 이다.

$e(t) = T_{\text{set}} - T(t)$

PID 제어 법칙은 다음과 같이 표현된다.

$u(t) = K_P e(t) + K_I \int_0^t e(\tau) d\tau + K_D \frac{d}{dt}e(t)$

여기서: - $u(t)$ 는 제어 입력 (냉각 유체의 유량 또는 팬 속도 등), - $K_P$ , $K_I$ , $K_D$ 는 각각 비례, 적분, 미분 게인이다.

이 제어 법칙을 적용하여 냉각 시스템의 온도가 목표 온도에 근접하도록 냉각 유체의 유량을 조절하거나 팬 속도를 조정할 수 있다.

냉각 유체의 유량 제어

냉각 시스템에서 유체의 유량은 열 제거 속도에 중요한 영향을 미친다. 냉각 유체의 유량 $\dot{m}$ 은 다음과 같은 식으로 모델링할 수 있다.

$\dot{m} = \frac{Q_{\text{out}}}{c \Delta T}$

여기서: - $\dot{m}$ 은 유량 (kg/s), - $Q_{\text{out}}$ 은 시스템에서 방출되는 열량 (J), - $\Delta T$ 는 냉각 유체의 입출구 온도 차이 (K)이다.

유량을 제어하는 방법은 전자식 밸브나 펌프의 속도를 조절하여 이루어질 수 있다. 펌프의 속도는 PID 제어기의 출력 $u(t)$ 로 결정되며, 이 값을 사용해 냉각 유체의 유속을 제어한다.

$v_{\text{pump}}(t) = u(t)$

이를 통해 냉각 시스템의 온도가 안정적으로 유지되며, 연료 전지의 작동 온도가 최적 범위 내에 있도록 보장할 수 있다.

팬 속도 제어

공기를 통한 냉각의 경우 팬의 속도를 제어하여 냉각 효율을 조절할 수 있다. 팬의 속도 $v_{\text{fan}}$ 은 다음과 같이 제어할 수 있다.

$v_{\text{fan}}(t) = K_P e(t) + K_I \int_0^t e(\tau) d\tau + K_D \frac{d}{dt}e(t)$

이때 팬 속도의 제어 목적은 온도가 목표값에 가까워지도록 공기의 흐름을 조절하는 것이다.

냉각 시스템 제어의 동적 모델

냉각 시스템은 동적 시스템으로서, 시간에 따른 온도 변화와 이를 제어하는 입력 간의 관계를 설명하는 동적 모델이 필요하다. 냉각 시스템의 동적 모델은 일반적으로 열역학적 원리와 연속 방정식에 기반한다.

열전달의 기본적인 방정식인 Fourier의 법칙을 이용하면, 열전도에 의한 온도 변화는 다음과 같이 표현된다.

$Q_{\text{cond}} = -k A \frac{dT}{dx}$

여기서: - $Q_{\text{cond}}$ 는 전도에 의한 열량 (W), - $k$ 는 열전도율 (W/m·K), - $A$ 는 열 전달 면적 (m²), - $\frac{dT}{dx}$ 는 온도의 공간적 변화이다.

냉각 시스템에서 이 방정식은 주로 냉각 표면과 열 전달 매체 간의 열 전달을 설명하는 데 사용된다. 전도 외에도 대류와 복사에 의한 열전달도 함께 고려해야 한다.

대류에 의한 열전달은 Newton의 냉각 법칙을 따른다.

$Q_{\text{conv}} = h A (T_{\text{surface}} - T_{\text{fluid}})$

여기서: - $Q_{\text{conv}}$ 는 대류에 의한 열량 (W), - $h$ 는 대류 열전달 계수 (W/m²·K), - $T_{\text{surface}}$ 는 표면 온도 (K), - $T_{\text{fluid}}$ 는 유체의 온도 (K)이다.

복사에 의한 열전달은 Stefan-Boltzmann 법칙을 따른다.

$Q_{\text{rad}} = \epsilon \sigma A (T_{\text{surface}}^4 - T_{\text{env}}^4)$

여기서: - $Q_{\text{rad}}$ 는 복사에 의한 열량 (W), - $\epsilon$ 은 표면의 방사율, - $\sigma$ 는 Stefan-Boltzmann 상수 (5.670 \times 10^{-8} W/m²·K⁴), - $T_{\text{env}}$ 는 주변 환경 온도 (K)이다.

냉각 시스템의 전체 열 전달은 다음과 같이 합산될 수 있다.

$Q_{\text{total}} = Q_{\text{cond}} + Q_{\text{conv}} + Q_{\text{rad}}$

냉각 시스템의 상태 공간 표현

냉각 시스템을 제어하기 위해 상태 공간 모델을 활용할 수 있다. 상태 공간 모델은 시스템의 동적 특성을 상태 변수와 그들의 시간에 따른 변화를 나타내는 방정식으로 구성한다.

냉각 시스템에서 상태 변수는 온도 $\mathbf{T}(t)$ 로 정의할 수 있으며, 제어 입력은 냉각 유체의 유량이나 팬의 속도 $u(t)$ 로 설정할 수 있다. 이때 상태 공간 모델은 다음과 같은 형태를 갖는다.

$\frac{d \mathbf{T}(t)}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{T}(t) + \mathbf{B} u(t)$

여기서: - $\mathbf{T}(t)$ 는 시스템의 온도 상태 벡터, - $u(t)$ 는 제어 입력 (냉각 유체 유량 또는 팬 속도), - $\mathbf{A}$ 는 시스템의 열 전달 특성을 나타내는 행렬, - $\mathbf{B}$ 는 제어 입력이 시스템에 미치는 영향을 나타내는 행렬이다.

출력 방정식은 측정된 온도와 시스템 상태의 관계를 설명한다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{T}(t)$

여기서: - $\mathbf{y}(t)$ 는 측정된 출력 (온도), - $\mathbf{C}$ 는 출력 행렬이다.

상태 공간 모델은 다음과 같이 전체 시스템을 표현한다.

$\begin{aligned} \frac{d \mathbf{T}(t)}{dt} &= \mathbf{A} \mathbf{T}(t) + \mathbf{B} u(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{T}(t) \end{aligned}$

냉각 시스템 제어를 위한 최적 제어

냉각 시스템을 최적으로 제어하기 위해서는 최적 제어 이론을 적용할 수 있다. LQR (Linear Quadratic Regulator)은 대표적인 방법으로, 제어 성능을 최적화하기 위한 목적 함수를 정의하여 제어 입력 $u(t)$ 을 결정한다.

목적 함수는 다음과 같이 정의된다.

$J = \int_0^\infty \left( \mathbf{T}(t)^T \mathbf{Q} \mathbf{T}(t) + u(t)^T \mathbf{R} u(t) \right) dt$

여기서: - $J$ 는 성능 지수, - $\mathbf{Q}$ 는 상태 변수의 중요도를 나타내는 가중치 행렬, - $\mathbf{R}$ 는 제어 입력의 중요도를 나타내는 가중치 행렬이다.

LQR은 이 목적 함수를 최소화하는 제어 입력 $u(t)$ 을 찾아낸다.

$u(t) = -\mathbf{K} \mathbf{T}(t)$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 LQR 이득 행렬로서, 다음 리카티 방정식을 통해 계산된다.

$\mathbf{A}^T \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A} - \mathbf{P} \mathbf{B} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} + \mathbf{Q} = 0$

이 방정식의 해 $\mathbf{P}$ 를 이용해 LQR 이득 $\mathbf{K}$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{K} = \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P}$

이와 같은 최적 제어 방법을 통해 냉각 시스템의 온도를 효율적으로 제어할 수 있다.