제어 시스템의 기본 원리는 주어진 시스템을 원하는 목표 상태로 유지하거나 이동시키는 것이다. 이를 위해 제어 시스템은 시스템의 현재 상태를 지속적으로 감시하고, 원하는 목표 상태와의 차이를 분석하여 이를 보정하는 과정을 반복한다. 제어 시스템의 주요 요소는 크게 제어 대상(Plant), 제어기(Controller), 그리고 피드백 시스템(Feedback system)으로 구성된다.

1. 제어 대상

제어 대상, 또는 플랜트(Plant)는 제어 시스템에서 관리하고자 하는 물리적 시스템이다. 수소 전지의 경우, 플랜트는 전지의 전압, 전류, 온도, 그리고 수소 공급 등의 물리적 매개 변수를 포함한다. 플랜트의 상태는 시간에 따라 변화하며, 제어기의 입력을 통해 그 변화를 제어할 수 있다. 이 플랜트는 일반적으로 수학적으로 모델링되며, 수소 전지 시스템에서는 주로 선형 미분 방정식 또는 비선형 방정식으로 나타낼 수 있다.

플랜트의 동작을 수학적으로 설명하기 위해 일반적으로 상태 방정식을 사용한다. 상태 방정식은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

여기서: - $\mathbf{x}(t)$는 시간 $t$에서의 상태 벡터, - $\mathbf{A}$는 시스템의 동적 특성을 나타내는 행렬, - $\mathbf{B}$는 입력에 대한 시스템의 반응을 나타내는 행렬, - $\mathbf{u}(t)$는 시간 $t$에서의 입력 벡터를 나타낸다.

플랜트의 출력은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

여기서 $\mathbf{y}(t)$는 출력 벡터이고, $\mathbf{C}$는 상태 벡터를 출력으로 변환하는 행렬이며, $\mathbf{D}$는 입력이 출력에 미치는 영향을 나타낸다.

2. 제어기

제어기는 플랜트의 동작을 원하는 목표 상태로 유도하기 위해 시스템의 상태를 조정하는 역할을 한다. 제어기는 목표 상태 $\mathbf{r}(t)$와 현재 출력 상태 $\mathbf{y}(t)$ 간의 오차를 계산하고, 이를 기반으로 플랜트에 적절한 입력 $\mathbf{u}(t)$를 제공한다. 이 과정은 오차 신호를 기반으로 이루어진다:

오차 신호 $\mathbf{e}(t)$를 사용하여 제어기는 입력 $\mathbf{u}(t)$를 생성한다. 제어기의 종류에 따라 이 입력을 생성하는 방식이 다르다. 예를 들어, 비례 제어기(P 제어기)는 오차에 비례하는 제어 입력을 생성하는 방식으로 동작하며 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $K_p$는 비례 이득이다. 이 외에도 미분 제어기(D 제어기)와 적분 제어기(I 제어기)를 결합하여 PID 제어기가 사용되기도 한다.

3. 피드백 시스템

피드백 시스템은 제어 시스템에서 핵심적인 역할을 한다. 피드백은 출력 $\mathbf{y}(t)$를 다시 제어기로 전달하여 현재 상태와 목표 상태를 비교하는 과정이다. 이를 통해 제어 시스템은 외부의 교란(disturbance)이나 플랜트의 변동에도 불구하고 시스템의 동작을 목표 상태로 유지할 수 있다. 피드백이 없는 제어 시스템은 개루프 제어라고 하며, 피드백을 포함한 시스템은 폐루프 제어라고 한다.

폐루프 제어 시스템의 일반적인 블록 다이어그램은 다음과 같다:

위 다이어그램에서 알 수 있듯이, 목표 상태 $R$는 오차 신호 $E$를 생성하고, 제어기 $C$는 이 오차를 보정하여 플랜트 $P$에 입력을 제공한다. 플랜트의 출력 $Y$는 다시 오차 신호로 피드백된다.

4. 제어 시스템의 안정성

제어 시스템에서 안정성은 매우 중요한 개념이다. 안정적인 제어 시스템은 시간이 지남에 따라 시스템의 출력이 수렴하고, 목표 상태에 근접하도록 동작한다. 안정성을 분석하기 위한 여러 방법이 있으며, 그 중 가장 일반적인 방법은 리우빌-라플라스 변환(Laplace Transform)을 이용한 전달 함수(Transfer Function) 분석이다.

(1) 전달 함수

전달 함수는 입력과 출력 사이의 관계를 주파수 영역에서 설명하는 함수로, 선형 시간 불변 시스템(LTI 시스템)의 동작을 분석할 때 유용하다. 전달 함수는 시스템의 미분 방정식을 라플라스 변환하여 얻을 수 있으며, 다음과 같이 정의된다:

여기서 $G(s)$는 시스템의 전달 함수, $\mathbf{Y}(s)$는 출력의 라플라스 변환, $\mathbf{U}(s)$는 입력의 라플라스 변환이다.

(2) 극점과 영점

시스템의 전달 함수 $G(s)$에서 극점(Pole)과 영점(Zero)은 시스템의 안정성을 결정하는 중요한 요소이다. 전달 함수의 분모에 해당하는 식의 근이 극점이고, 분자에 해당하는 식의 근이 영점이다. 특히, 전달 함수의 극점은 시스템의 자연 응답을 결정하며, 극점이 모두 왼쪽 평면에 위치할 때 시스템은 안정적이다.

전달 함수 $G(s)$의 극점과 영점은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

여기서 $K$는 시스템 이득, $z_1, z_2, \dots, z_m$은 영점, $p_1, p_2, \dots, p_n$은 극점이다.

(3) 안정성 기준

시스템의 안정성은 극점의 위치를 통해 평가할 수 있다. 일반적으로 사용되는 안정성 기준은 다음과 같다: - 제어 시스템이 안정적이다: 모든 극점이 복소 평면의 왼쪽 절반에 존재할 때. - 제어 시스템이 불안정하다: 한 개 이상의 극점이 복소 평면의 오른쪽 절반에 존재할 때. - 제어 시스템이 한계 안정적이다: 극점이 복소 평면의 허수 축에 위치할 때.

5. 피드백 제어와 폐루프 전달 함수

피드백 제어 시스템에서 중요한 개념 중 하나는 폐루프 전달 함수이다. 피드백 제어 시스템에서는 제어기의 출력이 플랜트로 피드백되어 시스템의 안정성과 동작을 개선한다. 폐루프 전달 함수는 주어진 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 정의하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다:

여기서 $T(s)$는 폐루프 전달 함수, $G(s)$는 플랜트의 전달 함수, $H(s)$는 피드백 경로의 전달 함수이다. 이 식은 시스템의 폐루프 동작을 설명하며, 시스템이 어떻게 제어 입력에 반응하는지를 보여준다.

폐루프 전달 함수에서, 분모에 있는 $1 + G(s) H(s)$는 특성 방정식을 정의하며, 시스템의 안정성은 이 특성 방정식의 극점에 의해 결정된다. 특성 방정식의 극점이 모두 복소 평면의 왼쪽 절반에 있을 경우, 시스템은 안정적이라고 할 수 있다.

6. 상태 공간 표현

상태 공간 표현은 복잡한 시스템을 다루기 위한 또 다른 강력한 방법이다. 이 방법은 시스템을 벡터 형태로 표현하며, 입력, 출력, 상태 변수를 행렬을 사용하여 정의한다. 상태 공간 표현은 시스템의 동작을 시간 영역에서 분석하는 데 유용하다.

상태 공간 표현은 다음과 같은 두 개의 기본 방정식으로 정의된다:

• 상태 방정식: 시스템의 동적 동작을 설명하는 방정식.

• 출력 방정식: 시스템의 출력을 설명하는 방정식.

여기서 $\mathbf{x}(t)$는 상태 벡터, $\mathbf{u}(t)$는 입력 벡터, $\mathbf{y}(t)$는 출력 벡터, $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}$는 시스템을 나타내는 행렬들이다. 상태 공간 모델은 특히 다변수 제어 시스템(MIMO)에 유용하다.