Booil Jung

제어공학 알고리즘의 체계적 개요

제어공학은 동적 시스템(dynamical system)의 거동을 모델링하고, 분석하며, 원하는 방향으로 변경하는 학문 분야이다.1 그 핵심 목표는 외부의 외란이나 시스템 내부의 불확실성에도 불구하고 시스템의 출력이 원하는 설정값(setpoint)이나 궤적(trajectory)을 정확하게 따라가도록 조절하는 것이다.4

이러한 목표를 달성하는 가장 근본적인 원리는 피드백(feedback)이다.4 피드백은 “결과를 보고 조절하는 방식”으로 직관적으로 이해할 수 있고 6, 가정용 온도 조절 장치가 현재 온도를 측정하여 난방을 켜고 끄거나, 운전자가 도로의 상황을 보고 핸들을 조작하는 것과 같은 일상적인 예시에서 쉽게 찾아볼 수 있다.7 제어 시스템에서는 주로 시스템을 안정화시키는 부궤환(negative feedback)이 사용되고, 반대로 시스템을 발산시킬 수 있는 정궤환(positive feedback)과는 구별된다.5 또한, 피드백 제어는 시스템의 출력이 입력에 다시 영향을 미치는 폐루프(closed-loop) 제어와 동일한 의미로 사용된다.5

본 보고서는 제어공학의 알고리즘과 핵심 키워드를 체계적으로 정리하고, 초기 고전 제어 이론부터 현대, 최적, 강인, 비선형, 그리고 지능형 제어에 이르기까지 그 발전 과정을 따라 기술한다. 이러한 진화적 구조는 단순히 역사적 순서를 따를 뿐 아니라, 제어기가 다룰 수 있는 문제의 복잡성이 점차 증가하는 과정을 반영한다. 아래 표는 본 보고서에서 다룰 제어 패러다임의 전체적인 지도를 제공하여 각 기술의 위치와 역할을 조망할 수 있도록 돕는다.

표 1: 제어공학 패러다임의 발전과 핵심 알고리즘

패러다임	핵심 철학	주요 알고리즘/키워드	대표 적용 분야
고전 제어	주파수 영역에서의 선형 시불변(LTI) 단일입출력(SISO) 시스템 해석	라플라스 변환, 전달함수, PID, 보드/나이퀴스트 선도, 근궤적	간단한 산업 공정 제어 (온도, 속도, 압력 등)
현대 제어	시간 영역에서의 선형 시불변(LTI) 다중입출력(MIMO) 시스템 해석	상태 공간 표현, 가제어성/가관측성, 극배치법, 상태 관측기	항공우주, 로봇, 복잡한 다변수 시스템
최적 및 강인 제어	성능 최적화 및 모델 불확실성 대응	LQR, 칼만 필터, H-infinity($H_{\infty}$), 슬라이딩 모드 제어(SMC)	고성능 시스템, 잡음 및 파라미터 변동이 있는 시스템
비선형 제어	중첩 원리를 따르지 않는 시스템의 해석 및 제어	리아푸노프 안정도, 피드백 선형화, 역진 기법	실제 세계의 모든 비선형 시스템
지능/학습 기반 제어	정밀한 사전 모델 없이 데이터로부터 학습 및 적응	모델 참조 적응 제어(MRAC), 퍼지 논리, 신경망, 강화학습	동특성이 불명이거나 시변하는 시스템, 복잡한 패턴 인식

고전 제어 이론은 20세기 초중반에 확립된 제어공학의 근간으로, 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 단일입출력(Single-Input, Single-Output, SISO) 시스템에 초점을 맞춘다. 이는 현실 세계의 시스템을 이상적으로 단순화한 것이나, 피드백의 원리를 이해하는 데 매우 강력하고 직관적인 도구를 제공한다.

고전 제어의 핵심 수학적 도구는 라플라스 변환(Laplace Transform)이다. 이 변환은 시간 영역(time domain)의 선형 상미분방정식(ODE)을 복소 주파수 영역(s-domain)의 대수 방정식으로 변환하는 역할을 한다.12 이 변환을 통해 시간 영역에서의 복잡한 컨볼루션(convolution) 연산이 주파수 영역에서는 간단한 곱셈으로 바뀌므로 해석이 매우 용이해진다.13

전달함수(Transfer Function)는 초기 조건을 0으로 가정했을 때, 입력의 라플라스 변환 $U(s)$에 대한 출력의 라플라스 변환 $Y(s)$의 비율, 즉 $G(s) = Y(s)/U(s)$로 정의된다.4 전달함수는 입력 신호와 무관하게 시스템 고유의 동적 특성을 모두 포함하고 있다.16 표준적인 부궤환 시스템의 폐루프 전달함수는 \(T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$\) 로 유도되며, 여기서 $G(s)$는 순방향 경로 전달함수, $H(s)$는 궤환 경로 전달함수이다.4

블록선도(Block Diagram)는 시스템의 수학적 모델을 시각적으로 표현한 것으로, 신호가 각 구성요소(전달함수), 가합점(summing junction), 인출점(take-off point) 사이를 어떻게 흐르는지 보여준다.17 블록선도 대수(block diagram algebra)는 복잡한 선도를 단일 등가 전달함수로 단순화하는 기법이다.19 신호흐름선도(Signal Flow Graph)는 블록선도보다 간결한 표현 방식이며, 특히 메이슨의 이득 공식(Mason’s Gain Formula)을 사용하면 복잡한 시스템의 전달함수를 체계적으로 구할 수 있다.18

시간 영역 해석은 단위 계단(step)이나 임펄스(impulse) 같은 표준 입력에 대한 시스템의 과도 응답(transient response)을 분석하는 데 중점을 둔다.12 계단 응답으로부터 도출되는 주요 성능 지표는 다음과 같고, 이는 제어기의 성능을 직관적으로 측정하는 기준이 된다.26

• 상승 시간 (Rise Time): 응답이 최종값의 특정 비율(예: 10%에서 90%)에 도달하는 데 걸리는 시간이다.25
• 정착 시간 (Settling Time): 응답이 최종값의 특정 오차 범위(예: ±2%) 내로 들어와 머무르는 데 걸리는 시간이다.4
• 오버슈트 (Overshoot): 응답이 최종값을 초과하는 최대 비율이다.4
• 정상상태 오차 (Steady-State Error): 시간이 충분히 지난 후 목표값과 실제 출력값 사이의 차이이다.4

주파수 영역 해석은 다양한 주파수를 갖는 정현파(sinusoidal) 입력에 대한 시스템의 정상상태 응답을 분석하는 것이다.26 주요 그래픽 도구는 다음과 같다.

• 보드 선도 (Bode Plot): 주파수 변화에 따른 이득(dB 단위)과 위상(도 단위)을 각각 로그 스케일의 그래프로 나타낸 것이며, 시스템의 안정성 분석과 제어기 설계에 매우 유용하다.27
• 나이퀴스트 선도 (Nyquist Plot): 개루프 전달함수 $G(j\omega)H(j\omega)$를 주파수 $\omega$를 0에서 무한대까지 변화시키면서 복소 평면에 그린 벡터 궤적이다. 이 선도는 나이퀴스트 안정도 판별법의 기초가 된다.27

고전 제어에서 안정도의 핵심 개념은 유한 입력-유한 출력(Bounded-Input, Bounded-Output, BIBO) 안정성이다. 이는 모든 유한한 크기의 입력에 대해 시스템의 출력이 유한한 크기를 유지하는 것을 의미한다.12 LTI 시스템의 안정성은 전달함수의 분모, 즉 특성방정식의 근인 극점(pole)의 위치와 직접적으로 관련 있고, 시스템이 안정하기 위해서는 모든 극점이 복소 평면의 좌반면(Left-Half Plane, LHP)에 존재해야 한다.30

이 판별법은 특성방정식의 계수로부터 직접 근을 구하지 않고도 우반면(Right-Half Plane, RHP)에 존재하는 극점의 개수를 판별하는 대수적 방법이다.12

이 판별법은 개루프 주파수 응답(나이퀴스트 선도)으로부터 폐루프 시스템의 안정성을 판별하는 그래픽 방법이다.29 나이퀴스트 선도가 임계점 $(-1, j0)$을 감싸는 횟수와 불안정한 개루프 극점의 수를 이용하여 불안정한 폐루프 극점의 개수를 알아낸다 ($Z = N + P$).35

이들은 보드 선도나 나이퀴스트 선도에서 쉽게 확인할 수 있는 상대적 안정성(robustness)의 척도이다.27 이득 여유(Gain Margin)는 시스템이 불안정해지기 전까지 개루프 이득을 얼마나 더 증가시킬 수 있는지를 나타내고, 위상 여유(Phase Margin)는 시스템이 불안정해지기 전까지 얼마나 더 위상 지연을 견딜 수 있는지를 나타낸다.

비례-적분-미분(Proportional-Integral-Derivative, PID) 제어는 가장 보편적으로 구현되는 피드백 제어 전략이다.4 설정값과 측정값 사이의 오차 $e(t)$를 기반으로 제어 출력을 계산한다.

• 비례(P) 제어: 현재 오차에 비례하는 제어 작용($K_p \cdot e(t)$)을 한다. 주된 응답을 생성하지만, 종종 정상상태 오차를 남긴다.11
• 적분(I) 제어: 과거 오차의 누적(적분)값에 비례하는 제어 작용($K_i \cdot \int e(t)dt$)을 한다. 오차가 0이 될 때까지 누적된 오차를 통해 정상상태 오차를 제거하는 역할을 한다.11
• 미분(D) 제어: 오차의 변화율에 비례하는 제어 작용($K_d \cdot de(t)/dt$)을 한다. 오차의 미래를 예측하여 급격한 변화를 억제하고 오버슈트를 줄여 안정성을 향상시킨다.11

튜닝은 최적의 이득값($K_p, K_i, K_d$)을 찾는 과정이다.37

지글러-니콜스(Ziegler-Nichols) 방법은 초기 튜닝 파라미터를 찾기 위한 고전적인 실험적 접근법 중 하나이다.37

고전 제어 이론은 라플라스 변환이라는 강력한 수학적 도구를 통해 미분방정식을 대수학의 영역으로 가져왔다. 이 덕분에 복잡한 동역학을 상대적으로 다루기 쉬운 전달함수로 표현하고, 주파수 영역에서 시스템의 안정성과 성능을 체계적으로 분석할 수 있게 되었다.12 하지만 이러한 단순화는 선형 시불변 시스템이라는 강력한 가정 하에서만 유효하다는 근본적인 한계를 내포한다. 이 한계는 “시스템이 선형이 아니거나 여러 입출력을 가지면 어떻게 해야 하는가?”라는 질문으로 이어지며, 이는 자연스럽게 현대 제어 및 비선형 제어 이론의 발전을 촉발했다.

또한, 시간 영역과 주파수 영역은 시스템을 바라보는 두 개의 다른 창과 같다. 오버슈트나 정착 시간과 같은 시간 영역 지표는 시스템 성능을 직관적으로 보여주지만 26, 보드 선도나 나이퀴스트 선도 같은 주파수 영역 도구는 고차 시스템의 안정성을 판별하고 제어기를 설계하는 데 더 강력한 통찰력을 제공한다.26 고전 제어의 핵심 기술 중 하나는 위상 여유와 감쇠비(damping) 또는 오버슈트의 관계처럼, 원하는 시간 영역 성능을 주파수 영역의 설계 목표로 변환하는 능력에 있다.24

이러한 이론적 배경 속에서 PID 제어기가 산업계 전반에서 압도적인 성공을 거둔 사실은 중요한 공학적 진실을 시사한다.36 이론적으로 최적이지만 복잡하고 정밀한 모델을 요구하는 제어기보다, 단순하고 직관적이며 모델의 불확실성에 강인한 해결책이 현실 세계에서는 더 선호될 수 있다는 점이다. PID 제어는 이어지는 장에서 소개될 모델 기반 제어기들에 비해 시스템에 대한 사전 지식을 거의 요구하지 않기 때문에, 모델이 부정확한 실제 산업 현장에서 놀라운 범용성과 회복탄력성을 보여준다.

1960년대 전후로 제어 이론은 큰 전환점을 맞이했다. 입력과 출력 사이의 관계에 집중하던 주파수 영역 접근법에서 시스템의 내부 상태를 직접 다루는 시간 영역 접근법으로의 전환이 이루어졌다. 이는 특히 다중입출력(Multi-Input, Multi-Output, MIMO) 시스템의 체계적인 설계를 가능하게 했다.

상태 공간 모델(State-Space Model)은 1차 연립미분방정식인 상태방정식과 대수방정식인 출력방정식으로 구성된다.15 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\)

\[\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}\]

여기서 상태(state)란 특정 시점에서 시스템의 미래 거동을 예측하는 데 필요한 최소한의 변수 집합으로, 시스템의 내부 상황을 완벽하게 요약한다.15 이 표현법은 벡터와 행렬을 사용하므로 MIMO 시스템과 0이 아닌 초기 조건을 자연스럽게 다룰 수 있어 전달함수 모델보다 더 일반적이다.4

미분방정식이나 전달함수로부터 상태 공간 모델을 유도할 수 있으며, 반대로 상태 공간 모델로부터 전달함수 행렬을 \(G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D\) 공식을 통해 구할 수 있다.42

가제어성(Controllability)은 적절한 제어 입력을 통해 유한한 시간 내에 시스템을 임의의 초기 상태에서 원하는 최종 상태로 이동시킬 수 있는 능력을 의미한다.41

가제어성 행렬 \(Q_c = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\) 을 통해 이를 판별할 수 있다. 칼만의 가제어성 판별법(Kalman’s Test for Controllability)에 따르면, 시스템이 가제어 가능하기 위한 필요충분조건은 $rank(Q_c) = n$ (여기서 n은 상태 변수의 개수)이다.43

가관측성(Observability)은 유한한 시간 동안 시스템의 출력을 관찰하여 시스템의 초기 상태를 완전히 결정할 수 있는 능력을 의미한다.41

가관측성 행렬 \(Q_o = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}\) 을 통해 판별하며, 칼만의 가관측성 판별법(Kalman’s Test for Observability)에 따르면, 시스템이 가관측 가능하기 위한 필요충분조건은 $rank(Q_o) = n$이다.43

전상태 피드백(Full State Feedback, FSF)은 모든 상태 변수를 측정하여 제어 입력에 되먹이는 제어 법칙으로, $u = -Kx$ 형태로 표현된다. 여기서 $K$는 상태 피드백 이득 행렬이다.50

시스템이 가제어 가능하다면, FSF를 이용하여 폐루프 시스템 행렬 $(A - BK)$의 극점(고유값)을 복소 평면 상의 원하는 위치에 임의로 배치할 수 있다.50 시스템의 동적 응답(안정성, 응답 속도 등)은 극점의 위치에 의해 결정되므로, 이는 설계자가 시스템의 거동을 완벽하게 제어할 수 있음을 의미한다.51 이득 행렬 $K$를 계산하기 위해 애커만 공식(Ackermann’s Formula)과 같은 방법들이 사용된다.51

대부분의 실제 시스템에서는 모든 상태 변수를 센서로 직접 측정하는 것이 불가능하거나 비경제적이다.54 상태 관측기(State Observer) 또는 추정기(estimator)는 시스템의 입력과 측정 가능한 출력을 이용하여 측정되지 않는 상태 변수들을 추정하기 위해 설계된 동적 시스템이다.56

루엔버거 관측기(Luenberger Observer)는 기본적으로 제어 대상(plant) 모델의 복사본에 출력 추정 오차($y - \hat{y}$)에 비례하는 보정항을 추가한 구조를 가진다. 관측기 이득 $L$은 추정 오차의 동특성 $\dot{e} = (A - LC)e$가 안정적이고 원하는 만큼 빠르게 수렴하도록 설계된다.59

쌍대성 원리(Principle of Duality)는 시스템 $(A, B)$에 대한 제어기 이득 $K$를 설계하는 문제가 시스템 $(A^T, C^T)$에 대한 관측기 이득 $L$을 설계하는 문제와 수학적으로 동일한 구조를 가짐을 의미한다.52 이는 현대 제어의 초석인 분리 원리(Separation Principle)로 이어진다. 이 원리는 제어기 설계(극배치)와 관측기 설계를 서로 독립적으로 수행할 수 있음을 보장한다. 즉, 전체 제어기-관측기 시스템의 극점은 제어기 극점들과 관측기 극점들의 합집합과 같다.

상태 공간 기법의 등장은 고전 제어의 한계, 특히 항공우주나 로봇 공학과 같이 여러 개의 입출력을 동시에 다루어야 하는 MIMO 시스템에 대한 체계적인 접근법의 부재에 대한 직접적인 응답이었다.4 벡터-행렬 표기법($\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$)은 이러한 복잡한 시스템을 자연스럽고 우아하게 표현하는 틀을 제공했다.

가제어성과 가관측성은 단순히 추상적인 수학적 속성이 아니다. 이는 효과적인 제어 설계를 위한 근본적인 전제 조건이다. 만약 시스템의 불안정한 모드가 가제어 불가능하다면, 어떠한 상태 피드백으로도 그 시스템을 안정화시킬 수 없다.51 마찬가지로, 가관측 불가능한 상태는 어떠한 관측기로도 추정할 수 없다.58 이 개념들은 “조작기는 영향을 미칠 수 있는 것만 제어할 수 있고, 센서는 ‘볼’ 수 있는 것만 추정할 수 있다”는 직관적인 아이디어를 수학적으로 공식화한 것이다.

분리 원리는 매우 강력하고 문제를 단순화하는 결과이다. 이 원리가 없다면 제어기 이득 $K$와 관측기 이득 $L$이 서로 결합되어 거대한 동시 최적화 문제를 풀어야 할 것이다. 하지만 분리 원리는 엔지니어가 “모든 상태를 안다고 가정하고 제어기를 설계”하고, “그 상태들을 제공할 관측기를 설계”하는 두 개의 작고 관리 가능한 하위 문제로 분해할 수 있도록 보장한다. 이러한 모듈성은 상태 공간 기법이 널리 성공하고 적용될 수 있었던 핵심적인 이유이다.

제어 이론이 발전하면서, 단순히 극점을 배치하는 것을 넘어 두 가지 중요한 현실적인 질문에 답해야 했다. 첫째, 주어진 성능 지표에 따라 가능한 최고의 제어 법칙은 무엇인가? (최적 제어) 둘째, 우리가 가진 시스템 모델이 완벽하게 정확하지 않을 때 어떻게 성능을 보장할 수 있는가? (강인 제어)

최적 제어(Optimal Control)의 핵심 아이디어는 비용 함수(cost function) 또는 성능 지수(performance index) $J$를 최소화하는 제어 법칙 $u(t)$를 찾는 것이다.61 이는 설계 목표를 ‘안정성 달성’에서 ‘가장 효율적인 방식으로 안정성 달성’으로 전환시킨다.

선형-이차 조절기(Linear-Quadratic Regulator, LQR)는 LTI 시스템에 대해 \(J = \int_0^\infty (\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} + \mathbf{u}^T R \mathbf{u}) dt\) 형태의 이차 비용 함수를 최소화하는 최적 제어 문제의 해이다.40

• 가중치 행렬 $Q$와 $R$의 역할: $Q$는 상태 변수가 0에서 벗어나는 것에 대한 페널티를, $R$은 제어 노력을 사용하는 것에 대한 페널티를 의미한다. $Q$와 $R$의 선택은 성능과 제어 에너지 사용량 사이의 근본적인 트레이드오프를 나타낸다.40
• LQR 해법: 최적 제어 법칙은 상태 피드백 형태인 $u = -Kx$로 주어지고, 최적 이득 $K$는 대수 리카티 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)을 풀어 구한다.63 LQR은 우수한 안정도 여유(stability margin)를 보장하는 것으로 잘 알려져 있다.63

실제 시스템은 두 종류의 잡음에 노출된다: 모델링되지 않은 외란이 시스템에 직접 작용하는 공정 잡음(process noise)과 센서의 부정확성으로 인한 측정 잡음(measurement noise)이다.40

칼만 필터(Kalman Filter)는 가우시안(Gaussian) 잡음이 있는 시스템을 위한 최적의 상태 추정기이다.40 잡음이 섞인 측정값을 순차적으로 처리하여 시스템 상태에 대한 통계적으로 최적인 추정치를 생성한다.68 본질적으로 칼만 필터는 추정 오차 공분산을 최소화하도록 추정기 이득 $K_e$가 동적으로 계산되는 관측기이다.63

LQG(Linear-Quadratic-Gaussian) 제어는 LQR 제어기와 칼만 필터를 결합한 것이다.62 이는 분리 원리를 적용한 것으로, 먼저 최적의 칼만 필터를 설계하여 상태를 추정하고($\hat{\mathbf{x}}$), 이 추정된 상태를 미리 설계된 LQR 제어기에 입력($u = -K\hat{\mathbf{x}}$)하는 방식이다. 이는 잡음이 있는 LTI 시스템을 제어하기 위한 최적의 해법을 제공한다.63

강인 제어(Robust Control)는 상당한 모델 불확실성(model uncertainty)과 외부 외란이 존재하는 상황에서도 안정성과 성능을 유지하는 제어기를 설계하기 위한 기법들의 집합이다.4 적응 제어와는 달리, 강인 제어기는 고정되어 있으며 사전에 정의된 불확실성의 범위 내에서 동작하도록 설계된다.

• $H_{\infty}$ 제어는 외부 입력(외란, 잡음)에서 성능 출력(오차 신호)까지의 “최악의 경우” 이득을 최소화하는 방법이다.73
• 이름은 폐루프 전달함수의 $H_{\infty}$ 노름(norm)을 최소화하는 데서 유래했고, 이는 보드 선도의 이득 그래프에서 피크값에 해당한다.74

• 설계 과정에서 가중 함수(weighting functions)를 사용하여 다양한 주파수 대역에 걸쳐 성능 목표를 명시하고 응답 형태를 조절한다.76

• 슬라이딩 모드 제어(Sliding Mode Control, SMC)는 “정합 불확실성(matched uncertainties)”이라는 특정 종류의 불확실성에 대해 극도의 강인함과 불변성(invariance)을 보이는 비선형 제어 기법이다.73
• 핵심 아이디어는 상태 공간에 슬라이딩 평면(sliding surface)을 정의하고, 고주파 스위칭 제어 입력을 사용하여 시스템의 상태 궤적을 이 평면 위로 강제로 유도하고 유지하는 것이다.78
• 주요 단점은 채터링(chattering) 현상으로, 이는 제어 신호의 고주파 진동으로 인해 모델링되지 않은 고주파 동특성을 자극할 수 있다. 이를 완화하기 위해 부호 함수(sign function) 대신 경계층(boundary layer)이 있는 포화 함수(saturation function)를 사용하는 기법 등이 있다.79

최적 제어와 강인 제어 사이에는 근본적인 철학적 긴장감이 존재한다. LQR과 같은 최적 제어는 알려진 특정 시스템 모델에 대해 최상의 성능을 제공한다.40 반면, 강인 제어는 불확실성을 포함하는

가능한 시스템 모델들의 집합에 대해 보장된 성능을 제공한다.4 어떤 접근법을 선택할지는 설계자가 자신의 시스템 모델을 얼마나 신뢰하는지에 달려 있다. 이는 단순히 두 가지 기술을 나열하는 것이 아니라, ‘알려진 것에 최적화할 것인가, 아니면 알려지지 않은 것에 대비하여 설계할 것인가’라는 핵심적인 설계 딜레마를 나타낸다.

한편, LQR 문제와 칼만 필터 문제는 수학적으로 서로 쌍대 관계에 있다. LQR 제어기를 구하기 위해 푸는 대수 리카티 방정식은 칼만 필터 이득을 구하기 위해 푸는 방정식과 동일한 형태를 갖는다.63 제어와 추정 사이의 이러한 깊은 수학적 연결성은 현대 제어 이론의 아름답고 강력한 개념이다.

강인 제어의 도입은 제어공학 분야의 중요한 성숙을 의미한다. 고전 및 현대 제어는 대부분 모델이 정확하다고 가정한다. 그러나 강인 제어는 “모든 모델은 틀렸지만, 일부는 유용하다”는 사실을 명시적으로 인정한다. 이 철학은 모델 불확실성에도 불구하고 신뢰성 있게 작동하는 제어기를 설계하는 도구를 제공하며, 이는 항공우주와 같은 안전이 중요한 응용 분야에서 필수적이다.

현실 세계의 모든 시스템은 본질적으로 비선형적이며, 선형 모델은 특정 동작점 근처에서의 근사치에 불과하다. 비선형 제어 이론은 중첩의 원리에 의존하지 않고 시스템을 분석하고 제어하는 도구를 제공한다.

비선형 시스템은 중첩의 원리를 따르지 않으므로 81, 그 거동은 선형 시스템보다 훨씬 풍부하고 복잡할 수 있다.

선형 시불변 시스템에서는 불가능한 다음과 같은 거동들이 나타날 수 있다.

• 다중 평형점 (Multiple Equilibrium Points): 시스템이 하나 이상의 안정된 정지 상태를 가질 수 있다.81
• 리미트 사이클 (Limit Cycles): 시스템이 안정적인 주기적 진동 상태에 빠질 수 있다.81
• 분기 및 혼돈 (Bifurcations and Chaos): 파라미터의 작은 변화에 따라 시스템의 질적 거동이 극적으로 변하거나(분기), 복잡하고 예측 불가능한(혼돈) 거동을 보일 수 있다.81

리아푸노프 직접법(Lyapunov’s Direct Method)은 비선형 시스템의 안정성을 분석하는 가장 강력한 도구이다.30 이 방법은 시스템의 미분방정식을 직접 풀지 않고도 안정성을 증명할 수 있게 해준다.89

에너지 함수와의 유추를 통해 이해할 수 있다.91

리아푸노프 함수 $V(x)$는 양의 정부호(positive-definite, $x \neq 0$에 대해 $V(x) > 0$이고 $V(0) = 0$)이며, 시스템의 궤적을 따라 계산한 시간 미분값이 음의 준정부호(negative semi-definite, $\dot{V}(x) \leq 0$)인 스칼라 함수이다.93

• $\dot{V}(x) \leq 0$이면 평형점은 리아푸노프 안정(Lyapunov Stable)하다.
• $\dot{V}(x) < 0$ (음의 정부호)이면 평형점은 점근적으로 안정(Asymptotically Stable)하다.94
• $\dot{V}(x)$가 음의 준정부호일 경우 점근적 안정성을 증명하기 위한 확장 이론으로 라살의 불변성 원리(LaSalle’s Invariance Principle)가 있다.89

적절한 리아푸노프 함수를 찾는 것은 간단한 일이 아니며, 이를 위한 보편적인 알고리즘이 존재하지 않아 상당한 통찰력과 경험을 요구한다.89

• 좌표 변환과 비선형 피드백을 통해 비선형 시스템을 대수적으로 등가인 선형 시스템으로 변환하는 기법이다.97
• 목표는 시스템의 비선형성을 상쇄시켜, 변환된 시스템에 극배치법과 같은 선형 제어 기법을 적용하는 것이다.101

• 입력-상태 선형화(전상태 선형화)와 입력-출력 선형화로 구분되고, 상대 차수(relative degree)와 영점 동특성(zero dynamics)의 개념이 중요하며, 입출력 응답이 안정적이더라도 관측 불가능한 내부 동특성이 불안정해질 수 있는 문제가 있다.100

• 역진 기법(Backstepping)은 특정 구조(strict-feedback 또는 pure-feedback 형태)를 갖는 비선형 시스템을 위한 재귀적이고 체계적인 설계 방법론이다.86
• 설계 과정은 이미 알려진 안정적인 하위 시스템에서 시작하여 바깥쪽으로 “역진”하면서, 각 단계마다 다음 계층을 안정화시키는 가상 제어기(virtual controller)를 설계하고, 최종적으로 실제 제어 입력에 도달하는 방식으로 진행된다. 이 설계 과정은 전체 시스템에 대한 리아푸노프 함수를 구성하는 것에 명시적으로 기반한다.86

많은 고급 제어 기법들은 근본적으로 어려운 문제를 더 쉬운 문제로 변환하는 전략을 사용한다. 피드백 선형화는 그 대표적인 예로, 비선형 제어 문제를 우리가 이미 해결 방법을 아는 선형 제어 문제로 변환한다.99 이는 공학에서 문제 변환이라는 강력한 메타 전략을 보여주고, 4부의 내용이 2부의 도구들을 목표로 삼고 있음을 시사한다.

선형 시스템의 안정성은 고유값에 의해 결정되는 전역적인 속성이다. 반면, 비선형 시스템의 안정성은 국소적인 속성이며, 한 평형점 근처에서는 안정하지만 다른 평형점 근처에서는 불안정할 수 있다.81 이것이 바로 리아푸노프 이론이 필수적인 이유이다. 리아푸노프 이론은 단순한 전역적 고유값 테스트를 더 미묘하고 국소적인 “에너지 함수” 분석으로 대체하여, 비선형 거동의 복잡성을 다루는 데 필요한 도구를 제공한다.93

또한, 슬라이딩 모드 제어나 역진 기법과 같은 기술의 존재는 리아푸노프 이론과 제어기 설계 사이의 깊은 연관성을 강조한다. 리아푸노프 방법은 단순히 분석 도구가 아니라, 합성을 위한 도구이기도 하다. 이 기법들에서 제어 법칙 $u$는 선택된 리아푸노프 후보 함수의 미분값 $\dot{V}(x)$를 음수로 만들기 위해 특별히 설계되고, 이를 통해 안정성을 구조적으로 보장한다. 이는 리아푸노프 이론이 설계 후 검증뿐만 아니라, 설계 과정 자체의 능동적인 부분임을 보여준다.

이 파트는 제어기가 환경으로부터 학습하고 적응하도록 설계되는 제어공학의 최전선을 탐구한다. 이러한 방법들은 시스템의 정확한 수학적 모델을 사용할 수 없거나 시간이 지남에 따라 모델이 변하는 경우에 특히 강력하다.

적응 제어(Adaptive Control)는 불확실성이나 시변하는 플랜트 동특성에 대처하기 위해 제어기의 파라미터를 실시간으로 조정하는 방법론이다.4 이는 강인 제어와 구별되는데, 강인 제어는 알려진 불확실성 범위에 대처하기 위해 고정된 제어기를 사용하는 반면, 적응 제어는 제어기 자체를 변경한다.104

모델 참조 적응 제어(Model Reference Adaptive Control, MRAC)는 대표적인 적응 제어 기법이다.107

• 구조: 원하는 폐루프 성능을 명시하는 참조 모델(reference model), 제어 대상(plant), 조정 가능한 파라미터를 가진 제어기, 그리고 적응 법칙(adaptation law)으로 구성된다.106
• 메커니즘: 적응 법칙은 플랜트 출력과 참조 모델 출력 간의 오차를 최소화하기 위해 제어기 파라미터를 갱신한다. 적응 법칙은 안정성을 보장하기 위해 종종 MIT 규칙(경사 하강법 기반)이나 리아푸노프 안정도 이론을 사용하여 유도된다.107

퍼지 논리(Fuzzy Logic)는 전통적인 참/거짓(1 또는 0) 논리 대신 “진리의 정도(degrees of truth)”를 사용하는 방법론이다.110 이는 “만약 온도가 높고 천천히 상승한다면, 팬 속도는 중간이다”와 같이 인간의 전문 지식과 추론을 언어적인 “if-then” 규칙의 형태로 포착하는 데 탁월하다.111

주요 구성 요소는 다음과 같다.111

• 퍼지화기 (Fuzzifier): 명확한 수치 입력(예: 온도 = 28°C)을 소속 함수(membership function)를 사용하여 퍼지 집합(예: “따뜻함” 소속도 0.8, “더움” 소속도 0.3)으로 변환한다.
• 규칙 기반 및 추론 엔진 (Rule Base & Inference Engine): “if-then” 규칙의 모음. 추론 엔진은 퍼지화된 입력을 기반으로 이 규칙들을 평가하여 퍼지 출력을 생성한다.
• 비퍼지화기 (Defuzzifier): 퍼지 출력 집합을 액추에이터에 보낼 수 있는 단일의 명확한 수치 값(예: 팬 속도 = 750 RPM)으로 다시 변환한다. 중력중심법(Centroid method)이 일반적인 방법이다.

인공 신경망(Artificial Neural Networks, ANN)은 인간 뇌의 구조에서 영감을 받은 계산 모델로, 데이터로부터 복잡한 비선형 관계를 직접 학습할 수 있다.115

신경망은 입출력 데이터로부터 플랜트의 모델을 학습하는 시스템 식별(system identification)이나, 제어 정책 자체를 학습하는 직접 제어(direct control)에 사용될 수 있다.118

학습 과정은 일반적으로 역전파(Backpropagation)와 같은 알고리즘을 사용하여 이루어지고, 네트워크의 내부 가중치가 학습 데이터셋에서 네트워크의 출력과 원하는 출력 간의 오차를 최소화하도록 반복적으로 조정된다.115

피드포워드 신경망(FNN), 동적 시스템을 위한 순환 신경망(RNN), 비전 기반 제어를 위한 컨볼루션 신경망(CNN)과 같은 일반적인 구조들이 있다.119

강화학습(Reinforcement Learning, RL)은 에이전트(agent)가 시행착오를 통해 환경(environment)과 상호작용하며 최적의 결정을 내리는 법을 배우는 기계학습 패러다임이다.124 에이전트는 자신의 행동에 대해 보상(reward) 또는 벌점(penalty)을 받고, 누적 미래 보상을 최대화하는 정책(policy)(상태에서 행동으로의 매핑)을 학습하고자 한다.125

강화학습은 종종 시스템의 수학적 모델이 없는 경우(모델-프리 RL)에 최적 제어 문제를 해결하는 방법으로 간주된다.127 이 프레임워크는 마르코프 결정 과정(Markov Decision Process, MDP)에 의해 공식화된다.124

핵심 구성 요소는 에이전트, 환경, 상태(s), 행동(a), 보상(r), 정책(π), 그리고 주어진 상태로부터 기대되는 미래 보상을 추정하는 가치 함수(Value Function)이다.125

가치 함수를 학습하는 가치 기반(Value-based) 방법(예: Q-러닝, DQN)과 정책을 직접 최적화하는 정책 기반(Policy-based) 방법(예: REINFORCE)으로 크게 나뉜다.125

이 파트에서 다루는 기술들은 엔지니어가 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}, \mathbf{u})$와 같은 수학적 모델을 직접 유도하는 순수 모델 기반 제어에서 데이터 기반 및 지식 기반 제어로의 근본적인 전환을 나타낸다. 퍼지 논리는 전문가의 지식을, 신경망과 강화학습은 수치 데이터를 활용한다.111 이는 제어 문제에 접근하는 방식의 패러다임 전환이다.

퍼지 논리와 신경망은 복잡하거나 미지의 시스템을 다루는 스펙트럼의 양 끝으로 볼 수 있다. 퍼지 논리는 규칙이 인간에 의해 해석 가능한 “화이트박스” 또는 “그레이박스” 접근 방식인 반면 112, 신경망은 학습된 매핑이 강력하지만 쉽게 해석되지 않는 “블랙박스” 접근 방식인 경우가 많다.115 둘 사이의 선택은 전문가 지식 활용과 순수 데이터 기반 발견 사이의 트레이드오프를 포함한다.

강화학습이 제어 분야에서 부상한 것은 막대한 계산 능력의 증가와 심층 신경망(Deep RL)의 발전 덕분에 직접적으로 가능해졌다. 강화학습 자체는 오래된 아이디어이지만, 심층 신경망이 정책이나 가치 함수에 대한 강력한 함수 근사기로 사용될 수 있게 되면서 비로소 로봇 공학이나 자율 주행과 같은 복잡하고 고차원적인 문제에 실용적으로 적용될 수 있게 되었다.122 이는 강화학습이 프레임워크를 제공하고, 딥러닝이 그 프레임워크를 현대적 과제에 충분히 강력하게 만드는 엔진을 제공하는 관계임을 시사한다.

마지막으로, 이전의 여러 개념들을 연결하는 강력한 현대 산업 기술을 논의하고, 제어공학 분야의 미래 궤적을 요약하며 마무리한다.

모델 예측 제어(Model Predictive Control, MPC)는 플랜트의 명시적인 모델을 사용하여 유한한 시간 지평(finite time horizon)에 걸쳐 미래 거동을 예측하는 고급 제어 기법이다.6 각 제어 주기마다, MPC는 예측 지평에 걸쳐 비용 함수를 최소화하는 최적의 제어 입력 시퀀스를 찾기 위해 온라인 최적화 문제를 푼다. 이 과정에서 입력과 출력에 대한 제약 조건을 만족시킨다.6

• 예측적 특성: 미래를 내다보기 위해 명시적인 모델을 사용한다.6
• 최적화 기반: 매 시간 단계마다 최적화 문제를 푼다.72
• 제약 조건 처리: 다른 많은 제어 방법들이 다루기 어려운 액추에이터 포화나 안전 한계와 같은 제약 조건을 명시적으로 처리할 수 있는 것이 가장 큰 장점이다.72

MPC는 여러 아이디어를 융합한 기술로 볼 수 있다. 현대 및 최적 제어처럼 모델을 사용하고, 최적 제어처럼 비용 함수를 최소화하며, 반복적인 최적화를 통해 외란에 대한 강인성을 확보한다.

본 보고서는 단순하고 직관적인 PID 제어기에서부터 복잡하고 데이터 기반으로 학습하는 강화학습에 이르기까지 제어공학의 발전 과정을 체계적으로 살펴보았다. 이 여정에서는 단순성과 성능 간의 트레이드오프, 모델 기반 접근법과 데이터 기반 접근법 사이의 긴장감, 그리고 복잡성, 불확실성, 비선형성을 다루는 제어기의 능력이 지속적으로 확장되는 반복적인 주제들이 나타났다.

MPC는 단순히 또 다른 알고리즘이 아니라, 이전의 많은 아이디어들을 실용적으로 종합하고 집대성한 결과물로 볼 수 있다. 이는 상태 공간 모델(현대 제어)을 사용하고, 비용 함수를 최소화하며(최적 제어), 반복적인 최적화를 통해 강인성을 제공한다. MPC가 화학 공정과 같은 산업 분야에서 널리 성공한 이유는, 다른 방법들에서는 종종 임시방편으로 처리되는 제약 조건과 최적화라는 현실적인 문제들을 단일의 강력한 프레임워크 내에서 직접적으로 해결하기 때문이다.6

제어공학의 전체적인 궤적은 “제어”와 “인공지능” 사이의 경계가 점점 더 모호해지는 미래를 가리킨다. 이제 도전 과제는 단순히 알려진 시스템에 대한 제어기를 설계하는 것이 아니라, 복잡하고 불확실하며 비정형적인 환경에서 안전하고 신뢰성 있게 작동하고, 학습하며, 적응할 수 있는 시스템을 설계하는 것이다. 이러한 학습 기반 시스템의 형식적 검증(formal verification)은 앞으로 중요한 연구 분야가 될 것이다.131 미래는 고전 및 현대 제어의 엄격함(안정성 증명, 보장)과 학습 기반 방법의 유연성 및 강력함을 결합하여 진정한 의미의 자율 시스템을 구현하는 방향으로 나아갈 것이다.

1. 제어시스템 중 피드백 시스템에 대한 예를 제시하고 모델링 과정을 설명하시오. - 해피캠퍼스, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.happycampus.com/report-doc/29269999/
2. Process models facilitate feedback control - Control Engineering, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.controleng.com/process-models-facilitate-feedback-control/
3. [Control] PID 제어 - velog, 7월 3, 2025에 액세스, https://velog.io/@717lumos/Control-PID-%EC%A0%9C%EC%96%B4
4. The Ultimate Guide to Feedback Control Systems - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-to-feedback-control-systems
5. 11.1: Feedback Control - Engineering LibreTexts, 7월 3, 2025에 액세스, https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Industrial_and_Systems_Engineering/Chemical_Process_Dynamics_and_Controls_(Woolf)/11%3A_Control_Architectures/11.01%3A_Feedback_control-_What_is_it_When_useful_When_not_Common_usage.
6. 왜 일부 피드백 제어 시스템은 예상치 못한 방식으로 불안정해질까? - 재능넷, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.jaenung.net/tree/27468
7. 제어와 함께 알아보는 경험적 모델링 - STEMentor - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://stementor.tistory.com/entry/%EC%A0%9C%EC%96%B4%EC%99%80-%ED%95%A8%EA%BB%98-%EC%95%8C%EC%95%84%EB%B3%B4%EB%8A%94-%EA%B2%BD%ED%97%98%EC%A0%81-%EB%AA%A8%EB%8D%B8%EB%A7%81
8. Feedback Control System Fundamentals - SunCam, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.suncam.com/miva/downloads/docs/182.pdf
9. 1. 제어 방법 개요｜Chip One Stop - 전자부품, 반도체 인터넷 쇼핑몰, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.chip1stop.com/sp/knowledge/076_control-approach-outline_ko
10. www.chip1stop.com, 7월 3, 2025에 액세스, [https://www.chip1stop.com/sp/knowledge/076_control-approach-outline_ko#:~:text=%EF%BC%883%EF%BC%89%ED%94%BC%EB%93%9C%EB%B0%B1%20%EC%A0%9C%EC%96%B4(%ED%8F%90,%EC%A0%9C%EC%96%B4%EB%9F%89%EC%97%90%20%EC%98%81%ED%96%A5%EC%9D%84%20%EB%AF%B8%EC%B9%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.](https://www.chip1stop.com/sp/knowledge/076_control-approach-outline_ko#:~:text=（3）피드백 제어(폐,제어량에 영향을 미칩니다.)
11. PID제어란? (피드백 제어, P Gain, I Gain) - 끄적끄적 전기 공부 - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://thisisreal.tistory.com/8
12. Control Systems Analysis: Modeling of Dynamic Systems - Coursera, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.coursera.org/learn/modeling-feedback-systems
13. Control Systems Lectures - Time and Frequency Domain - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=noycLIZbK_k
14. Transfer Function and Block Diagram of Control System, 7월 3, 2025에 액세스, https://uomustansiriyah.edu.iq/media/lectures/5/5_2018_11_05!11_10_37_PM.pdf
15. State Space Model in Control Systems - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_state_space_model.htm
16. Transfer Functions and Block Diagrams of Control Systems, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.electricalandcontrol.com/transfer-functions-and-block-diagrams-of-control-systems/
17. 블록선도(Block Diagram) 이해하기 - 집에서 전력 변환하기 - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://pehome.tistory.com/entry/%EB%B8%94%EB%A1%9D%EC%84%A0%EB%8F%84Block-Diagram-%EC%9D%B4%ED%95%B4%ED%95%98%EA%B8%B0
18. [제어공학] 1. 블록선도 - 서랍장 - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://e-dist.tistory.com/3
19. Block Diagrams of Control Systems 1.4 - CircuitBread, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.circuitbread.com/tutorials/block-diagrams-1-4
20. Control Systems Block Diagrams - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_block_diagrams.htm
21. Control Systems Block Diagram Algebra - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_block_diagram_algebra.htm
22. [제어공학] 2. 신호흐름선도 - 서랍장 - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://e-dist.tistory.com/4
23. Block Diagram Transfer Functions Help?? : r/EngineeringStudents - Reddit, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.reddit.com/r/EngineeringStudents/comments/krmniu/block_diagram_transfer_functions_help/
24. Time and Frequency Domain Analysis - MATLAB & Simulink - MathWorks, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.mathworks.com/help/control/response-plots-and-data.html
25. Key Concepts in Time Domain Analysis to Know for Control Theory - Fiveable, 7월 3, 2025에 액세스, https://library.fiveable.me/lists/key-concepts-in-time-domain-analysis
26. 10장. 제어계의 주파수 영역 해석, 7월 3, 2025에 액세스, https://smml.pusan.ac.kr/sites/smml/download/control10.pdf
27. Mastering Frequency Domain Analysis - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-frequency-domain-analysis-control-systems
28. Frequency Response Analysis in Control Systems - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_frequency_response_analysis.htm
29. [제어공학] 11-2. 제어계의 안정도(나이퀴스트 안정도 판별법) - 서랍장, 7월 3, 2025에 액세스, https://e-dist.tistory.com/17
30. Stability Criteria to Know for Control Theory - Fiveable, 7월 3, 2025에 액세스, https://library.fiveable.me/lists/stability-criteria
31. 제어시스템의 안정성 판별법 레포트 - 해피캠퍼스, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.happycampus.com/report-doc/4531841/
32. Routh-Hurwitz 와 Nyquist 안정화 판별법 레포트 - 해피캠퍼스, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.happycampus.com/report-doc/12825546/
33. ‘실전풀이&예상문제/[자동제어 실전풀이]’ 카테고리의 글 목록 - 철의전사 블로그, 7월 3, 2025에 액세스, https://ironwarrior.tistory.com/m/category/%EC%8B%A4%EC%A0%84%ED%92%80%EC%9D%B4%26%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C/%5B%EC%9E%90%EB%8F%99%EC%A0%9C%EC%96%B4%20%EC%8B%A4%EC%A0%84%ED%92%80%EC%9D%B4%5D
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35. Control Systems/Nyquist Stability Criteria - Wikibooks, open books for an open world, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/Nyquist_Stability_Criteria
36. PID 제어, 파트 1: PID 제어란? - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=EbT0KJoSfHE
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38. PID_제어원리와 설정방법 (1), 7월 3, 2025에 액세스, http://www.selco.kr/PIDcontrol.pdf
39. 제어시스템과 PID 제어 정리 - PUS’s Embedded System Development Blog, 7월 3, 2025에 액세스, https://pus0319.github.io/embedded_control/PIDCONTROL/
40. 최적 제어 이론의 모든 것: 일상에서 로켓까지 다 컨트롤한다고?! - 재능넷, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.jaenung.net/tree/19227
41. Mastering State-Space Representation - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-state-space-representation-control-systems

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43. State Space Analysis in Control Systems - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_state_space_analysis.htm
44. 상태 공간 (제어) - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EC%8B%9C%EC%8A%A4%ED%85%9C
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48. Controllability and observability

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69. 1. Kalman Filters MAE 546 2018.pptx - Robert F. Stengel, 7월 3, 2025에 액세스, https://stengel.mycpanel.princeton.edu/MAE546Seminar18.pdf
70. The Kalman Filter [Control Bootcamp] - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=s_9InuQAx-g
71. 칼만필터를 이용한 부유체운동의 최적제어 - Korea Science, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.koreascience.kr/article/JAKO198811920578585.pdf
72. What Is Optimal Control? - MATLAB & Simulink - MathWorks, 7월 3, 2025에 액세스, https://la.mathworks.com/discovery/optimal-control.html
73. Adaptive and Robust Control Techniques - Monolithic Power Systems, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.monolithicpower.com/en/learning/mpscholar/power-electronics/control-of-power-electronic-systems/adaptive-and-robust-control-techniques
74. H-infinity methods in control theory - Wikipedia, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikipedia.org/wiki/H-infinity_methods_in_control_theory
75. Mastering H-infinity Control - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-h-infinity-control-mechatronics

76. Design and analysis of robust h infinity controller

    PDF - SlideShare, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.slideshare.net/slideshow/design-and-analysis-of-robust-h-infinity-controller/23106632

77. H Infinity and Mu Synthesis

    Robust Control, Part 5 - MATLAB - MathWorks, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.mathworks.com/videos/robust-control-part-5-h-infinity-and-mu-synthesis-1586760454181.html

78. 비선형제어 연구실 - 고려대학교 세종캠퍼스, 7월 3, 2025에 액세스, https://sejonghome.korea.ac.kr/emse/3240/subview.do
79. 슬라이딩 모드 제어란? - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=WZfz2Ezc-YA
80. What Is Sliding Mode Control? - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=RD-2oiwEbDo
81. 비선형 제어 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B9%84%EC%84%A0%ED%98%95_%EC%A0%9C%EC%96%B4
82. Nonlinear Control Systems 1. - University of Notre Dame, 7월 3, 2025에 액세스, https://www3.nd.edu/~lemmon/courses/ee580/slides/slides1.pdf
83. 리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 개념 - DeepCampus - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://pasus.tistory.com/219
84. Lyapunov Theory (Part 1: Nonlinear systems) - YouTube, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.youtube.com/watch?v=kuxFk4IxWvw
85. Nonlinear Control: The Ultimate Guide - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/nonlinear-control-ultimate-guide
86. Nonlinear Control Systems: The Ultimate Guide, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/nonlinear-control-systems-ultimate-guide
87. KR101860608B1 - 계측 신호를 이용한 시스템 해석 방법 - Google Patents, 7월 3, 2025에 액세스, https://patents.google.com/patent/KR101860608B1/ko
88. 비선형제어 - KAIST 전기 및 전자공학부, 7월 3, 2025에 액세스, https://ee.kaist.ac.kr/node02/13320/

89. Lyapunov Stability Theory

    Nonlinear Control Systems Class Notes - Fiveable, 7월 3, 2025에 액세스, https://library.fiveable.me/nonlinear-control-systems/unit-4

90. LQR제어 - Lyapunov Function (리아프노브 함수) - Intuitive-Robotics - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://intuitive-robotics.tistory.com/77
91. Lyapunov stability - Wikipedia, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability
92. Stability Analysis of Nonlinear Systems Using Lyapunov Theory, 7월 3, 2025에 액세스, https://eedofdit.weebly.com/uploads/7/3/2/6/7326910/1_stability_analysis_of_nonlinear_systems_by_lyapunov.pdf
93. 리아프노프 안정성 이론: 수학계의 롤러코스터! - 재능넷, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.jaenung.net/tree/6675
94. 랴푸노프 안정성 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9E%B4%ED%91%B8%EB%85%B8%ED%94%84_%EC%95%88%EC%A0%95%EC%84%B1
95. Lyapunov Stability: A Deep Dive - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/lyapunov-stability-advanced-techniques-applications
96. 리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 이론 - DeepCampus - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://pasus.tistory.com/220
97. 비선형 제어 시스템의 선형화 - Korea Science, 7월 3, 2025에 액세스, https://koreascience.kr/article/JAKO200311921892572.pdf
98. 전기 유압 서보 시스템의 비선형 외란 관측기 기반 피드백 선형화 제어, 7월 3, 2025에 액세스, https://scholarworks.bwise.kr/hanyang/bitstream/2021.sw.hanyang/143836/1/%EC%A0%84%EA%B8%B0%20%EC%9C%A0%EC%95%95%20%EC%84%9C%EB%B3%B4%20%EC%8B%9C%EC%8A%A4%ED%85%9C%EC%9D%98%20%EB%B9%84%EC%84%A0%ED%98%95%20%EC%99%B8%EB%9E%80%20%EA%B4%80%EC%B8%A1%EA%B8%B0%20%EA%B8%B0%EB%B0%98%20%ED%94%BC%EB%93%9C%EB%B0%B1%20%EC%84%A0%ED%98%95%ED%99%94%20%EC%A0%9C%EC%96%B4.pdf
99. Chapter 6 Feedback Linearization - ResearchGate, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.researchgate.net/file.PostFileLoader.html?id=5899bb40eeae395b08222194&assetKey=AS%3A459102410285056%401486469952268
100. Feedback linearization - Wikipedia, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_linearization
101. Nonlinear Control Systems - ANU College of Engineering & Computer Science, 7월 3, 2025에 액세스, https://users.cecs.anu.edu.au/~Matthew.James/pubs/chapter-nonlinear-control.pdf

102. Feedback linearization

     Control Theory Class Notes - Fiveable, 7월 3, 2025에 액세스, https://library.fiveable.me/control-theory/unit-10/feedback-linearization/study-guide/sIfrfcOZszDLL4cO

103. Lecture 13: Feedback Linearization, 7월 3, 2025에 액세스, https://ocw.mit.edu/courses/6-243j-dynamics-of-nonlinear-systems-fall-2003/f6f814332cfeabe65d6a0977711d02ef_lec13_6243_2003.pdf
104. 적응 제어 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%81%EC%9D%91_%EC%A0%9C%EC%96%B4
105. Adaptive control - Wikipedia, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikipedia.org/wiki/Adaptive_control

106. What Is Model Reference Adaptive Control?

     Data-Driven Control - MATLAB & Simulink, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.mathworks.com/videos/adaptive-control-basics-what-is-model-reference-adaptive-control-1635166236332.html

107. 모델 참조 적응 제어 소개 - CtrlMan, 7월 3, 2025에 액세스, https://stella47.tistory.com/22

108. Model reference adaptive control (MRAC)

     Nonlinear Control Systems Class Notes, 7월 3, 2025에 액세스, https://library.fiveable.me/nonlinear-control-systems/unit-7/model-reference-adaptive-control-mrac/study-guide/LlLitH7lbk1k6IW6

109. Model Reference Adaptive Control (MRAC) - Resourcium, 7월 3, 2025에 액세스, https://resourcium.org/topic/model-reference-adaptive-control-mrac
110. ko.wikipedia.org, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8D%BC%EC%A7%80%EC%A0%9C%EC%96%B4%EC%8B%9C%EC%8A%A4%ED%85%9C#:~:text=%ED%8D%BC%EC%A7%80%20%EC%A0%9C%EC%96%B4%20%EC%8B%9C%EC%8A%A4%ED%85%9C(fuzzy%20control,%EB%98%90%EB%8A%94%20%EA%B1%B0%EC%A7%93)%EC%9D%84%20%EC%B7%A8%ED%95%9C%EB%8B%A4.
111. 퍼지 논리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8D%BC%EC%A7%80_%EB%85%BC%EB%A6%AC
112. Fuzzy Logic Control System - Tutorialspoint, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.tutorialspoint.com/fuzzy_logic/fuzzy_logic_control_system.htm
113. The Ultimate Guide to Fuzzy Logic Control - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-to-fuzzy-logic-control
114. Fuzzy Logic Control System - GeeksforGeeks, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.geeksforgeeks.org/machine-learning/fuzzy-logic-control-system/
115. 퍼지 제어 vs 신경망 제어: 지능형 제어 시스템의 두 거인, 어떤 게 내 취향일까? - 재능넷, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.jaenung.net/tree/25010
116. 신경망 제어: 문헌 연구, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.reseat.or.kr/portal/cmmn/file/fileDown.do?menuNo=200019&atchFileId=d486806e149d431cb7d9664a78ed2af5&fileSn=1&bbsId=
117. Neural network (machine learning) - Wikipedia, 7월 3, 2025에 액세스, https://en.wikipedia.org/wiki/Neural_network_(machine_learning)
118. 인공 신경망 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전, 7월 3, 2025에 액세스, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B8%EA%B3%B5_%EC%8B%A0%EA%B2%BD%EB%A7%9D
119. Mastering Neural Networks in Control - Number Analytics, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-neural-networks-control-systems
120. 신경망이란 무엇이며 어떻게 작동하나요? - Google Cloud, 7월 3, 2025에 액세스, https://cloud.google.com/discover/what-is-a-neural-network?hl=ko
121. Artificial Neural Networks and its Applications - GeeksforGeeks, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.geeksforgeeks.org/artificial-neural-networks-and-its-applications/
122. 신경망이란? - MATLAB & Simulink - 매스웍스, 7월 3, 2025에 액세스, https://kr.mathworks.com/discovery/neural-network.html
123. What Are Neural Networks Their Applications In The Real World? - Neurond AI, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.neurond.com/blog/what-are-neural-networks-and-how-can-they-be-used-in-the-real-world
124. 강화 학습이란 무엇인가요? - IBM, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.ibm.com/kr-ko/think/topics/reinforcement-learning
125. 강화학습 - 나무위키, 7월 3, 2025에 액세스, https://namu.wiki/w/%EA%B0%95%ED%99%94%ED%95%99%EC%8A%B5
126. Reinforcement Learning - Control Theory - MIT Fab Lab, 7월 3, 2025에 액세스, https://fab.cba.mit.edu/classes/865.21/topics/control/07_reinforcement_learning.html
127. Q: 강화 학습이란 무엇인가요? - AWS, 7월 3, 2025에 액세스, https://aws.amazon.com/ko/what-is/reinforcement-learning/
128. [논문]강화학습 알고리즘을 이용한 시스템 제어에 대한 연구, 7월 3, 2025에 액세스, https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=DIKO0010508294
129. [Control] Adaptive Control - 대학원숭이 - 티스토리, 7월 3, 2025에 액세스, https://3minbe.tistory.com/entry/Control-Adaptive-control
130. Development of a Reinforcement Learning-Based Control Education Platform Using Python and LW-RCP, 7월 3, 2025에 액세스, http://ecsl.inha.ac.kr/publication/KIEE2025.pdf
131. 일반화된 리아푸노프 함수를 사용한 강화 학습 정책의 안정성 인증 - alphaXiv, 7월 3, 2025에 액세스, https://www.alphaxiv.org/ko/overview/2505.10947v1