실제 문제에서의 비선형성 처리

비선형성의 발생 원인

실제 문제에서 비선형성이 발생하는 주된 이유는, 현실 세계의 많은 문제들이 선형성을 따르지 않기 때문이다. 예를 들어, 생산 공정에서는 자원의 투입량과 산출량 간에 비선형 관계가 있을 수 있고, 금융 분야에서도 위험과 수익 간의 관계는 비선형적이다. 이러한 비선형성을 다루지 않고 단순히 선형화할 경우, 최적화 문제의 해가 현실적이지 않거나 부정확할 수 있다.

비선형성은 여러 형태로 나타날 수 있다:

목적 함수에서의 비선형성
선형계획법에서의 목적 함수는 일반적으로 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\mathbf{z} = \mathbf{c}^\top \mathbf{x}$

여기서, $\mathbf{z}$ 는 목적 함수 값, $\mathbf{c}$ 는 계수 벡터, $\mathbf{x}$ 는 의사결정 변수 벡터이다.
그러나 실제 문제에서는 목적 함수가 선형적이지 않고, 비선형 함수 형태를 가질 수 있다:

$\mathbf{z} = f(\mathbf{x})$

여기서 $f(\mathbf{x})$ 는 $\mathbf{x}$ 에 대한 비선형 함수이다.

제약 조건에서의 비선형성
제약 조건 또한 선형적이지 않을 수 있다. 선형계획법의 제약 조건은 일반적으로 다음과 같은 선형 형태를 갖는다:

$\mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}$

하지만 비선형 제약 조건은 다음과 같이 나타날 수 있다:

$g(\mathbf{x}) \leq \mathbf{b}$

여기서 $g(\mathbf{x})$ 는 $\mathbf{x}$ 에 대한 비선형 함수이다.

비선형성 처리 방법

선형화 기법
비선형성을 선형화하여 선형계획법으로 해결할 수 있다. 일반적으로 비선형 함수는 여러 방법으로 근사하여 선형 형태로 변환할 수 있다. 가장 일반적인 방법 중 하나는 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)를 사용하는 것이다. 예를 들어, 비선형 함수 $f(\mathbf{x})$ 를 점 $\mathbf{x_0}$ 에서 테일러 급수로 전개하면:

$f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x_0}) + \nabla f(\mathbf{x_0})^\top (\mathbf{x} - \mathbf{x_0})$

이로써 비선형 함수를 1차 근사하여 선형 형태로 변환할 수 있다.

부분 선형화(Piecewise Linearization)
비선형 함수 또는 제약 조건을 여러 구간으로 나누어 각 구간을 선형 함수로 근사하는 방법이다. 이를 통해 복잡한 비선형 문제를 여러 개의 선형 문제로 분할하여 해결할 수 있다. 예를 들어, 비선형 함수 $f(x)$ 를 다음과 같이 구간별로 선형화할 수 있다:

$f(x) \approx \begin{cases} a_1x + b_1 & x_1 \leq x < x_2 \\ a_2x + b_2 & x_2 \leq x < x_3 \\ \vdots & \vdots \\ a_nx + b_n & x_{n-1} \leq x < x_n \end{cases}$

이 방법은 특히 실험적 데이터에 기초하여 비선형성을 다루는 데 유용하다.

메타 휴리스틱 알고리즘 사용

선형화가 어렵거나 문제의 복잡도가 높은 경우, 메타 휴리스틱 알고리즘을 사용하여 비선형성을 처리할 수 있다. 이 기법들은 정확한 최적해를 찾는 대신 근사해를 구하며, 대표적인 알고리즘으로는 유전자 알고리즘(Genetic Algorithm), 입자 군집 최적화(Particle Swarm Optimization), 시뮬레이티드 어닐링(Simulated Annealing) 등이 있다.

뉴턴의 방법(Newton's Method)

비선형성을 해결하기 위한 또 다른 방법으로 뉴턴의 방법을 사용할 수 있다. 뉴턴의 방법은 2차 미분 정보를 사용하여 비선형 문제를 점진적으로 선형화하는 기법이다. 뉴턴의 방법은 다음과 같은 과정으로 이루어진다: 1. 비선형 문제의 목적 함수 또는 제약 조건을 미분하여 야코비 행렬(Jacobian matrix)과 헤시안 행렬(Hessian matrix)을 계산한다. 2. 해당 미분값을 사용하여 문제를 선형 근사로 변환하고, 반복적으로 최적해를 찾아간다.

뉴턴의 방법은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \mathbf{H}^{-1}(\mathbf{x}_k) \nabla f(\mathbf{x}_k)$

여기서 $\mathbf{H}(\mathbf{x}_k)$ 는 헤시안 행렬, $\nabla f(\mathbf{x}_k)$ 는 기울기 벡터이다.

라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)

비선형성을 다루기 위한 또 다른 기법으로 라그랑주 승수법을 사용할 수 있다. 라그랑주 승수법은 제약이 있는 최적화 문제를 풀기 위해 도입된 방법으로, 제약 조건과 목적 함수를 결합하여 라그랑주 함수를 구성한 후, 최적화를 수행하는 방법이다.

제약 조건이 있는 최적화 문제는 다음과 같이 표현된다:

$\min f(\mathbf{x}) \quad \text{subject to} \quad g_i(\mathbf{x}) = 0 \quad (i = 1, 2, ..., m)$

이 문제에서 라그랑주 함수를 다음과 같이 정의한다:

$\mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(\mathbf{x})$

여기서, $\lambda_i$ 는 라그랑주 승수이다. 라그랑주 함수를 사용하여 목적 함수와 제약 조건을 함께 고려한 최적해를 찾을 수 있다.

이때 해를 찾기 위해서는 다음 두 조건을 만족해야 한다: 1. 목적 함수의 기울기와 제약 함수의 기울기가 평행할 것

$\nabla f(\mathbf{x}) = - \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \nabla g_i(\mathbf{x})$

제약 조건을 만족할 것

$g_i(\mathbf{x}) = 0 \quad (i = 1, 2, ..., m)$

이 방법을 통해 비선형 제약 조건이 있는 문제를 보다 쉽게 해결할 수 있으며, 최적해를 구할 때 제약 조건의 영향을 고려할 수 있다.

대체 목적 함수(Alternative Objective Functions)

비선형성을 처리할 때, 목적 함수 자체를 변경하는 방법도 고려될 수 있다. 예를 들어, 특정 비선형 목적 함수를 선형적으로 근사하거나, 기존 목적 함수의 형태를 유지하되 최적화 문제의 본질적인 목표를 변경할 수 있다.

제곱합 최소화
일반적인 비선형 문제에서 자주 사용되는 목적 함수는 오차의 제곱합을 최소화하는 형태이다. 이때 목적 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다:

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - f_i(\mathbf{x}))^2$

여기서, $y_i$ 는 관측된 값, $f_i(\mathbf{x})$ 는 모델로부터 계산된 값이다. 이 함수는 비선형적일 수 있으며, 이를 최소화하는 것이 목적이 된다.

로그 변환
비선형 문제를 선형적으로 해결하기 위해 로그 변환을 사용할 수 있다. 예를 들어, 지수 형태의 비선형 목적 함수는 로그를 취함으로써 선형화될 수 있다. 예를 들어:

$f(\mathbf{x}) = a e^{bx}$

이러한 목적 함수는 로그 변환을 통해 선형 형태로 변환할 수 있다:

$\log(f(\mathbf{x})) = \log(a) + bx$

이를 통해 비선형 문제를 선형 형태로 변환하고 기존의 선형계획법 기법을 적용할 수 있다.

상호작용 변수(Interaction Variables)

비선형성의 또 다른 근원은 상호작용 변수(interaction variables)이다. 이들은 서로 다른 변수들이 결합된 형태로 나타나며, 이러한 상호작용을 무시하거나 선형적으로 가정할 경우, 최적해를 찾는 데 어려움이 발생할 수 있다. 예를 들어, 두 변수 $x_1$ 과 $x_2$ 가 상호작용하는 비선형성을 다음과 같이 표현할 수 있다:

$f(\mathbf{x}) = c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_1 x_2$

이때 $x_1 x_2$ 는 두 변수 간의 비선형 상호작용을 나타낸다. 이러한 상호작용 항을 포함하는 문제를 풀기 위해서는 변수를 추가하여 문제를 변형하거나 비선형 최적화 방법을 적용해야 한다.

차수 감소 기법(Degree Reduction Techniques)

비선형성의 차수를 낮추는 것도 비선형 문제를 선형적으로 처리하는 방법 중 하나이다. 예를 들어, 2차 이상의 비선형 항을 선형화하는 경우, 2차 항을 근사하여 차수를 낮출 수 있다. 이 기법은 고차 비선형성을 다루는 문제에서 사용될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 2차 비선형식을:

$f(\mathbf{x}) = ax^2 + bx + c$

선형 근사로 변환하는 방법은 이를 특정 구간에서 1차 함수로 근사하는 것이다:

$f(\mathbf{x}) \approx m x + d$

이 방식은 고차 항의 영향을 줄여 선형 형태로 변환함으로써 문제를 간소화하는데 유용하다.

선형화 기법 요약

graph LR; A[비선형성 문제] --> B[선형화 기법]; B --> C[테일러 급수 전개]; B --> D[부분 선형화]; B --> E[뉴턴의 방법]; B --> F[라그랑주 승수법]; B --> G[대체 목적 함수]; B --> H[상호작용 변수 처리]; B --> I[차수 감소 기법];