오픈 소스 선형계획법 도구는 누구나 자유롭게 사용하고 수정할 수 있는 소프트웨어로, 비용 없이 접근할 수 있다는 장점이 있다. 이러한 도구들은 다양한 규모의 선형계획법 문제를 해결할 수 있도록 설계되었으며, 학술 연구나 산업 응용에도 자주 사용된다. 여기서는 대표적인 오픈 소스 도구들과 그들의 특징, 사용법을 설명한다.

GLPK (GNU Linear Programming Kit)

GLPK는 GNU 프로젝트의 일환으로 제공되는 선형계획법 및 혼합 정수계획법을 해결하기 위한 도구이다. C 언어로 작성되었으며, GNU General Public License (GPL)에 따라 배포된다. GLPK는 표준형 선형계획 문제와 혼합 정수계획 문제를 해결할 수 있는 다양한 알고리즘을 제공한다.

GLPK의 수학적 모델링

GLPK에서 사용하는 모델링 언어인 GMPL은 AMPL과 유사하다. 이를 통해 선형계획 문제의 수학적 모델을 정의할 수 있다.

문제는 일반적으로 다음과 같이 정의된다:

\text{maximize} \quad \mathbf{c}^\top \mathbf{x}
\text{subject to} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0

여기서: - \mathbf{c}는 목적 함수의 계수 벡터, - \mathbf{A}는 제약 조건을 나타내는 행렬, - \mathbf{b}는 제약 조건의 우변 벡터, - \mathbf{x}는 의사결정 변수 벡터이다.

GLPK의 설치 및 사용 예시

GLPK는 다양한 플랫폼에서 설치할 수 있으며, 설치 방법은 다음과 같다.

Python을 통한 GLPK 사용 예시:

from swiglpk import *

lp = glp_create_prob()
glp_set_prob_name(lp, "sample")
glp_set_obj_dir(lp, GLP_MAX)

COIN-OR (Computational Infrastructure for Operations Research)

COIN-OR은 수리 최적화 문제를 해결하기 위한 오픈 소스 소프트웨어 라이브러리들의 모음이다. COIN-OR는 선형계획법, 정수계획법, 혼합 정수계획법 등 다양한 최적화 문제를 해결하기 위한 다양한 도구를 제공한다.

COIN-OR의 수학적 모델링

COIN-OR에서 사용하는 CLP 라이브러리를 통해 선형계획 문제를 정의하고 해결할 수 있다. 일반적인 선형계획 문제의 수학적 표현은 다음과 같다:

\min \mathbf{c}^\top \mathbf{x}
\text{subject to} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0

여기서: - \mathbf{c}는 목적 함수의 계수 벡터, - \mathbf{A}는 제약 조건을 나타내는 행렬, - \mathbf{b}는 제약 조건의 우변 벡터, - \mathbf{x}는 의사결정 변수 벡터이다.

COIN-OR의 설치 및 사용 예시

COIN-OR는 다양한 라이브러리로 구성되어 있으며, 각 라이브러리는 개별적으로 설치할 수 있다. CBC 라이브러리 설치 예시는 다음과 같다.

Python을 통한 CBC 사용 예시:

from ortools.linear_solver import pywraplp

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('CBC')

SCIP (Solving Constraint Integer Programs)

SCIP는 주로 정수계획법 및 제약 조건 최적화 문제를 해결하는 데 사용되는 오픈 소스 소프트웨어다. 또한 선형계획법을 해결할 수 있는 기능도 제공하며, 특히 혼합 정수계획법(Mixed Integer Linear Programming, MILP) 문제에서 성능이 우수하다.

SCIP의 수학적 모델링

SCIP에서 해결하는 선형계획 문제의 기본 구조는 다음과 같다:

\text{maximize} \quad \mathbf{c}^\top \mathbf{x}
\text{subject to} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0

여기서: - \mathbf{c}는 목적 함수의 계수 벡터, - \mathbf{A}는 제약 조건 행렬, - \mathbf{b}는 제약 조건의 우변 벡터, - \mathbf{x}는 의사결정 변수 벡터이다.

SCIP는 정수계획법을 위한 도구로, 제약 조건을 추가하여 정수 해를 구할 수 있다:

\mathbf{x}_i \in \mathbb{Z}, \quad \forall i

SCIP의 설치 및 사용 예시

SCIP는 C, C++, Python 등 다양한 언어로 사용 가능하며, 설치 방법은 아래와 같다.

Python을 통한 SCIP 사용 예시:

from pyscipopt import Model

model = Model()
x = model.addVar(name="x")
y = model.addVar(name="y")

PuLP

PuLP는 Python에서 선형계획법 문제를 정의하고 해결할 수 있도록 설계된 오픈 소스 도구이다. PuLP는 자체적으로 문제를 해결하는 알고리즘을 제공하지는 않지만, CBC, GLPK, CPLEX 등 다양한 외부 솔버와 연동하여 선형계획법 문제를 해결할 수 있다.

PuLP의 수학적 모델링

PuLP에서 선형계획 문제를 정의할 때, 아래와 같이 수식화된다:

\text{maximize} \quad \mathbf{c}^\top \mathbf{x}
\text{subject to} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0

여기서: - \mathbf{c}는 목적 함수의 계수 벡터, - \mathbf{A}는 제약 조건 행렬, - \mathbf{b}는 제약 조건의 우변 벡터, - \mathbf{x}는 의사결정 변수 벡터이다.

PuLP의 설치 및 사용 예시

PuLP는 Python에서 사용할 수 있는 간단한 패키지로, 아래와 같이 설치할 수 있다.

Python을 통한 PuLP 사용 예시:

from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable

model = LpProblem(name="small-problem", sense=LpMaximize)

x = LpVariable(name="x", lowBound=0)
y = LpVariable(name="y", lowBound=0)

OR-Tools (Google Optimization Tools)

OR-Tools는 Google에서 개발한 오픈 소스 도구로, 선형계획법을 포함한 다양한 최적화 문제를 해결할 수 있다. 혼합 정수계획법, 네트워크 흐름 문제, 차량 경로 문제 등을 해결하는 기능을 제공하며, Python을 포함한 다양한 언어에서 사용할 수 있다.

OR-Tools의 수학적 모델링

OR-Tools에서 선형계획 문제는 다음과 같이 정의된다:

\min \mathbf{c}^\top \mathbf{x}
\text{subject to} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0

여기서: - \mathbf{c}는 목적 함수의 계수 벡터, - \mathbf{A}는 제약 조건 행렬, - \mathbf{b}는 제약 조건의 우변 벡터, - \mathbf{x}는 의사결정 변수 벡터이다.

OR-Tools의 설치 및 사용 예시

OR-Tools는 Python 환경에서 설치 및 사용할 수 있으며, 설치는 다음과 같이 진행된다.

Python을 통한 OR-Tools 사용 예시:

from ortools.linear_solver import pywraplp

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')
x = solver.NumVar(0, 1, 'x')
y = solver.NumVar(0, 2, 'y')