목표 설정 및 가중치 부여

목표 설정

목표계획법은 다중 목표 문제를 해결하기 위한 선형계획법의 확장으로, 여러 목표를 달성하기 위해 설정된 목표들 사이의 균형을 찾는 것을 목적으로 한다. 각 목표는 일반적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.

$\mathbf{z} = \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}$

여기서: - $\mathbf{z}$ 는 목표 값이다. - $\mathbf{c}$ 는 목표 함수의 계수 벡터이다. - $\mathbf{x}$ 는 결정 변수 벡터이다.

목표계획법에서는 다중 목표 $\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, ..., \mathbf{z}_n$ 을 설정하며, 각 목표는 특정한 중요도와 우선순위를 갖는다. 이러한 목표들은 제약 조건과 함께 문제를 구성하게 된다.

가중치 부여

각 목표에 가중치를 부여함으로써, 목표계획법에서는 각 목표의 상대적인 중요도를 반영할 수 있다. 가중치는 일반적으로 다음과 같이 적용된다.

$\min \sum_{i=1}^{n} w_i d_i$

여기서: - $w_i$ 는 목표 $i$ 에 부여된 가중치이다. - $d_i$ 는 목표 $i$ 에서 발생한 편차(deviation)이다.

이때, 편차 $d_i$ 는 실제 달성된 목표와 설정된 목표 값 간의 차이를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

$d_i^+ = \max(0, \mathbf{z}_i - \mathbf{z}_i^*)$

$d_i^- = \max(0, \mathbf{z}_i^* - \mathbf{z}_i)$

여기서: - $d_i^+$ 는 목표보다 초과된 양을 의미하는 양의 편차이다. - $d_i^-$ 는 목표보다 미달된 양을 의미하는 음의 편차이다. - $\mathbf{z}_i^*$ 는 목표로 설정된 값이다.

따라서, 목적 함수는 모든 목표의 가중치를 반영한 편차의 합을 최소화하는 문제로 변환된다. 이때, 각 목표에 대한 우선순위는 가중치 $w_i$ 에 의해 반영되며, 가중치가 클수록 해당 목표의 중요성이 더 크다는 것을 의미한다.

$\min \sum_{i=1}^{n} w_i (d_i^+ + d_i^-)$

이와 같은 형태로 목표계획법은 각 목표에 대한 편차를 줄이면서, 여러 목표 간의 균형을 찾는 문제로 변환된다.

편차의 관리와 가중치 설정

목표계획법에서 중요한 부분은 각 목표에 대해 편차를 얼마나 허용할지 결정하는 것이다. 이는 각각의 목표에 대해 어떤 편차를 최소화할지 결정하는 것과 동일한다. 예를 들어, 목표가 초과되는 것을 방지하고 싶다면 음의 편차보다 양의 편차에 더 큰 가중치를 부여할 수 있다. 반대로, 목표보다 미달되는 것을 방지하고 싶다면 양의 편차보다 음의 편차에 더 큰 가중치를 부여할 수 있다.

편차를 다루는 방법은 일반적으로 다음과 같이 정리된다:

$\min \sum_{i=1}^{n} w_i^+ d_i^+ + w_i^- d_i^-$

여기서: - $w_i^+$ 는 양의 편차에 대한 가중치이다. - $w_i^-$ 는 음의 편차에 대한 가중치이다.

이를 통해 각 목표에 대해 초과나 미달에 따라 다른 중요도를 부여할 수 있다. 예를 들어, 어떤 목표에서는 목표를 초과하는 것을 허용하고 목표 미달을 엄격히 제한하고 싶을 때, $w_i^-$ 에 더 높은 가중치를 부여할 수 있다.

목표계획법의 표준형

가중치가 부여된 목표계획법을 표준형으로 나타내면 다음과 같다.

$\min \sum_{i=1}^{n} w_i^+ d_i^+ + w_i^- d_i^-$

$\text{subject to:} \quad \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0$

$\mathbf{z}_i = \mathbf{c}_i^T \mathbf{x}, \quad d_i^+ \geq 0, \quad d_i^- \geq 0$

$\mathbf{z}_i - d_i^+ + d_i^- = \mathbf{z}_i^*$

여기서: - $\mathbf{A}$ 는 제약 조건 행렬이다. - $\mathbf{b}$ 는 자원 벡터 또는 우변 값이다. - $\mathbf{z}_i$ 는 목표 $i$ 에 해당하는 실제 값이다. - $\mathbf{z}_i^*$ 는 목표로 설정된 값이다.

각 편차 $d_i^+$ 와 $d_i^-$ 는 제약을 충족하면서 목표 값에 최대한 근접하게 만드는 방향으로 조정된다. 최종적으로는 모든 목표의 편차를 최소화하는 해결책을 찾는 것이 목표계획법의 본질이다.

가중치 설정 전략

목표계획법에서 가중치 $w_i$ 의 설정은 매우 중요한 역할을 한다. 각 목표에 부여된 가중치는 그 목표의 상대적인 중요도를 반영하며, 이러한 가중치는 다음과 같은 방식으로 설정할 수 있다.

1. 고정 가중치 방식

고정 가중치는 사전에 결정된 기준에 따라 각 목표에 동일하거나 다른 가중치를 부여하는 방식이다. 이 방식에서는 우선순위가 높은 목표에는 더 높은 가중치를, 우선순위가 낮은 목표에는 더 낮은 가중치를 부여한다. 고정 가중치 방식의 예는 다음과 같다.

$w_1 = 0.6, \quad w_2 = 0.3, \quad w_3 = 0.1$

여기서 $w_1$ , $w_2$ , $w_3$ 는 각 목표에 부여된 가중치이다. 이 경우, 첫 번째 목표가 가장 중요한 목표이며, 그 다음이 두 번째 목표, 마지막으로 세 번째 목표가 가장 덜 중요한 목표이다.

2. 동적 가중치 방식

동적 가중치는 문제를 해결하는 동안 각 목표의 달성도에 따라 가중치를 조정하는 방식이다. 이 방식은 초기 가중치 설정 후, 편차가 큰 목표에 더 많은 가중치를 할당함으로써 해당 목표의 중요도를 증가시키는 방법이다. 이를 통해 해결 과정 중에 우선순위가 변할 수 있다.

$w_i(t+1) = w_i(t) + \alpha \cdot d_i(t)$

여기서: - $w_i(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 목표 $i$ 의 가중치이다. - $\alpha$ 는 가중치 증가율을 나타내는 상수이다. - $d_i(t)$ 는 시간 $t$ 에서 목표 $i$ 의 편차이다.

이 방식을 사용하면 목표 달성 여부에 따라 가중치가 실시간으로 조정되므로, 각 목표에 대한 중요도가 상황에 맞게 자동으로 변화한다.

3. 비례 가중치 방식

비례 가중치 방식은 목표 간의 편차가 상대적으로 크거나 작을 때 이를 비례적으로 조정하는 방식이다. 편차가 큰 목표일수록 더 많은 자원을 배분하고, 편차가 작은 목표일수록 적은 자원을 배분하는 방식이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$w_i = \frac{d_i}{\sum_{i=1}^{n} d_i}$

여기서: - $d_i$ 는 목표 $i$ 의 편차이다. - $\sum_{i=1}^{n} d_i$ 는 모든 목표에 대한 총 편차이다.

이 방식은 각 목표의 상대적인 편차에 따라 가중치를 조정하므로, 편차가 큰 목표에 집중할 수 있는 방법이다.

가중치 조정에 따른 해석

각 목표에 가중치를 부여하는 것은 실질적으로 해당 목표가 얼마나 중요한지를 반영하는 일이다. 예를 들어, $w_i$ 가 크다면, 그 목표의 편차를 줄이는 것이 매우 중요한 과제이다. 따라서 가중치 설정 과정에서 목표의 우선순위를 명확하게 정하고, 현실적인 가중치를 설정하는 것이 필요하다.