선형계획법의 정의 - 실험 도서관

선형계획법이란?

선형계획법(Linear Programming, LP)은 주어진 자원들을 최대한 효율적으로 배분하여 최적의 결과를 도출하는 수학적 기법이다. 이는 결정 변수를 통해 표현되는 선형 관계식과 이를 만족시키는 제약 조건 하에서 목적함수를 최적화하는 것을 목표로 한다.

기본 구조

선형계획법의 문제는 일반적으로 다음과 같이 구성된다:

목적함수(Objective Function): 최적화하려는 목표를 수학적으로 표현한 함수로, 이 함수는 최대화하거나 최소화된다. 선형계획법에서 목적함수는 선형식으로 표현된다.

$\text{maximize or minimize } z = \mathbf{c}^\top \mathbf{x}$

여기서: - $z$ 는 목적함수의 값이다. - $\mathbf{c}$ 는 계수 벡터(vector of coefficients)이다. - $\mathbf{x}$ 는 결정 변수의 벡터(vector of decision variables)이다.

제약 조건(Constraints): 자원의 한계를 나타내는 식들로, 이 제약 조건 역시 선형식으로 표현된다. 제약 조건은 다음과 같은 형태로 주어진다:

$\mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}$

또는

$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$

여기서: - $\mathbf{A}$ 는 제약 조건의 계수 행렬이다. - $\mathbf{x}$ 는 결정 변수의 벡터이다. - $\mathbf{b}$ 는 제약 조건의 상수 벡터이다.

비음성 조건(Non-negativity Constraints): 모든 결정 변수는 음수 값을 가질 수 없다는 조건을 부여한다.

$\mathbf{x} \geq 0$

이 기본 구조를 통해 선형계획법의 문제는 목적함수를 최대화 또는 최소화하고, 제약 조건을 만족하는 결정 변수를 찾는 것이다.

예시 문제 형식

일반적인 선형계획 문제는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다:

$\text{maximize or minimize } z = \mathbf{c}^\top \mathbf{x}$

$\text{subject to } \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0$

이 구조를 이해하면 선형계획법을 문제에 적용하여 최적화 문제를 해결할 수 있다.

선형계획법의 특성

선형계획법은 몇 가지 중요한 특성을 가진다. 이 특성들은 문제를 정의하는데 중요한 역할을 하며, 이를 통해 선형계획 문제를 보다 체계적으로 분석할 수 있다.

1. 선형성 (Linearity)

선형계획법에서 사용되는 모든 함수는 선형이어야 한다. 즉, 목적함수와 제약 조건은 모두 선형적으로 표현된다. 선형함수는 각 변수에 대해 1차식으로 표현되며, 변수들 사이에 곱셈이나 제곱 등의 비선형적인 연산이 포함되지 않는다. 이는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다:

$z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n$

$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \leq b_1$

위에서: - $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 은 목적함수의 계수들이고, - $a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1n}$ 은 제약 조건의 계수들이다. - $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 은 결정 변수들이다.

2. 결정 변수 (Decision Variables)

선형계획법에서는 해결해야 할 문제의 여러 측면을 변수로 정의한다. 이 변수들은 문제 해결을 위한 중요한 역할을 하며, 각각의 값이 문제의 결과에 큰 영향을 미친다. 결정 변수 $\mathbf{x}$ 는 일반적으로 $n$ -차원의 벡터로 표현되며, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

결정 변수의 값에 따라 목적함수의 값이 달라지며, 이러한 변수를 최적으로 선택하는 것이 선형계획법의 목적이다.

3. 제약 조건의 한계 (Constraints)

선형계획법의 또 다른 중요한 특성은 제약 조건이 자원의 한계를 나타낸다는 점이다. 제약 조건은 각 변수들이 특정 범위 내에서 동작하도록 제한한다. 이러한 제약은 주어진 자원 내에서 최적의 결과를 얻도록 문제를 설정하는 핵심 요소이다.

제약 조건은 다음과 같은 형태로 일반화할 수 있다:

$a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n \leq b_i \quad \text{for all } i$

여기서: - $a_{ij}$ 는 각 제약 조건의 계수이고, - $b_i$ 는 상수항이다. - $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 은 결정 변수들이다.

4. 해의 존재성 (Feasibility)

선형계획 문제에서 해가 존재하려면, 모든 제약 조건을 만족하는 $\mathbf{x}$ 값이 존재해야 한다. 이러한 해를 유효해(feasible solution)라 하며, 유효해 집합 안에서 목적함수를 최적화하는 해를 찾는 것이 목표이다.

5. 비음성 조건 (Non-negativity)

일반적으로 선형계획법에서는 결정 변수가 음수가 될 수 없다는 조건이 붙는다. 이 조건은 현실적인 문제에서 자원의 양이 음수가 될 수 없다는 의미를 내포하며, 다음과 같은 수식으로 표현된다:

$x_i \geq 0 \quad \text{for all } i$

비음성 조건은 선형계획법의 중요한 구성 요소 중 하나로, 현실적인 문제를 모델링하는데 자주 사용된다.

선형계획법의 문제 설정 과정

선형계획법의 문제는 다음과 같은 순서로 설정할 수 있다:

결정 변수의 정의: 문제의 각 변수는 무엇을 나타내는지 정의한다.
목적함수의 정의: 최적화하려는 목표가 무엇인지 정의하고 이를 수학적으로 표현한다.
제약 조건의 설정: 문제에서 주어진 자원의 한계나 조건을 정의하고 이를 선형 방정식 또는 부등식으로 표현한다.
비음성 조건 추가: 모든 결정 변수가 음수가 아닌 값으로 제한된다.

이러한 과정을 통해 선형계획법 문제는 수학적 모델로 변환되며, 다양한 방법을 사용해 문제를 해결할 수 있다.