주파수 응답은 시스템의 동적 특성을 주파수 영역에서 분석하는 방법으로, 시스템이 주파수에 따라 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 라플라스 변환을 활용한 주파수 응답 분석은 시스템이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 주파수의 함수로 변환하여 다룰 수 있게 한다. 이를 통해 시스템의 안정성, 성능, 제어 가능성을 평가할 수 있다.

주파수 응답과 안정성 분석에서는 전달 함수(Transfer Function)를 이용해 시스템을 표현하며, 이를 통해 시스템의 극점(pole)과 영점(zero)을 분석한다. 주파수 응답은 다음과 같은 단계로 이루어진다.

주파수 응답의 정의

주파수 응답은 시스템이 주기적인 입력 신호에 어떻게 반응하는지를 주파수 함수로 나타낸 것이다. 예를 들어, 입력 신호가 사인파일 경우 시스템의 출력 역시 동일한 주파수의 사인파로 표현되지만, 진폭과 위상은 변경될 수 있다. 주파수 응답은 이 진폭 변화(진폭 응답)와 위상 변화(위상 응답)를 분석한다.

주파수 응답을 구하기 위해 시스템의 전달 함수를 사용한다. 전달 함수 H(s)는 시스템의 입력과 출력을 라플라스 변환으로 나타낸 비율로 정의되며, s = j\omega로 대입하면 주파수 응답을 구할 수 있다.

H(j\omega) = H(s)\bigg|_{s = j\omega}

여기서 j는 허수 단위이며, \omega는 각 주파수(rad/sec)를 나타낸다. 이 H(j\omega)가 주파수 응답 함수로서, 시스템이 특정 주파수에서 어떻게 응답하는지를 나타낸다.

진폭 응답과 위상 응답

주파수 응답은 크게 두 가지로 나뉜다: 진폭 응답과 위상 응답.

진폭 응답

진폭 응답은 입력 신호의 진폭에 대해 시스템이 출력 신호에서 어느 정도의 진폭을 갖는지를 나타낸다. 진폭 응답은 H(j\omega)의 절댓값으로 계산되며 다음과 같이 나타낸다.

|H(j\omega)| = \sqrt{\Re(H(j\omega))^2 + \Im(H(j\omega))^2}

여기서 \Re는 실수부, \Im은 허수부를 나타낸다. 진폭 응답을 통해 시스템이 특정 주파수에 얼마나 민감한지 알 수 있다. 이 값이 클수록 해당 주파수에서 출력 진폭이 커진다는 것을 의미한다.

위상 응답

위상 응답은 시스템이 입력 신호의 위상을 얼마나 변화시키는지 나타낸다. 이는 전달 함수의 위상을 통해 구할 수 있다. 위상 응답은 다음과 같이 정의된다.

\arg(H(j\omega)) = \tan^{-1}\left(\frac{\Im(H(j\omega))}{\Re(H(j\omega))}\right)

위상 응답은 시스템의 동작이 주파수에 따라 얼마나 지연되거나 앞서는지를 나타낸다. 안정적인 시스템일수록 위상 변화가 일정하거나 예측 가능한 패턴을 따른다.

안정성 분석

안정성 분석에서는 시스템이 주파수 영역에서 특정 조건을 만족할 때 안정하다고 평가한다. 주파수 응답을 기반으로 한 안정성 분석은 주로 두 가지 방법으로 이루어진다: Nyquist 안정성 기준과 Bode 안정성 기준.

Nyquist 안정성 기준

Nyquist 안정성 기준은 시스템의 s-평면에서 전달 함수의 극점과 영점을 분석하여 시스템의 폐루프 안정성을 평가한다. Nyquist 곡선은 시스템의 주파수 응답을 복소 평면에서 그려 나타낸다. Nyquist 안정성 기준은 다음과 같은 원칙에 기반한다:

Bode 안정성 기준

Bode 안정성 기준은 주파수 영역에서 시스템의 진폭과 위상 응답을 도식화한 Bode 도표를 이용해 시스템의 안정성을 평가한다. 주로 사용되는 지표는 위상 여유(Phase Margin)와 이득 여유(Gain Margin)이다.

위상 여유와 이득 여유가 클수록 시스템이 안정적이다.

주파수 응답 함수의 극점과 영점 분석

주파수 응답을 기반으로 한 시스템의 극점(pole)과 영점(zero)은 시스템의 주파수 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 시스템의 전달 함수 H(s)는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다:

H(s) = \frac{N(s)}{D(s)}

여기서 N(s)는 영점을 나타내는 분자 다항식, D(s)는 극점을 나타내는 분모 다항식이다.

극점의 역할

극점은 시스템의 주파수 응답을 결정하는 중요한 요소이다. 극점은 시스템이 특정 주파수에서 발산하거나 무한대로 커지는 위치를 의미한다. 시스템의 극점은 주파수 응답에서 주요한 변화를 초래하며, 극점이 실수 축이나 허수 축 근처에 있을 때 시스템의 응답이 강하게 변한다.

영점의 역할

영점은 시스템의 특정 주파수에서 주파수 응답이 0으로 수렴하는 위치를 나타낸다. 이는 시스템이 특정 주파수에서 입력에 거의 반응하지 않는다는 것을 의미한다. 영점이 주파수 응답에 미치는 영향은 극점에 비해 상대적으로 작지만, 특정 주파수 대역에서 시스템의 특성을 완화하거나 보강하는 역할을 한다.

Bode 도표와 극점-영점의 관계

Bode 도표는 주파수 응답의 진폭 응답과 위상 응답을 로그 스케일로 표현한 그래프이다. 이를 통해 시스템의 동작을 주파수 대역에서 시각적으로 분석할 수 있다. Bode 도표는 극점과 영점이 시스템의 주파수 응답에 미치는 영향을 명확하게 보여준다.

극점이 주는 영향

극점은 Bode 도표에서 다음과 같은 변화를 유도한다:

  1. 진폭 응답 변화: 극점이 주파수에 도달하면, 진폭 응답 그래프에서 20dB/dec씩 기울기가 감소한다. 즉, 주파수가 극점에 가까워질수록 진폭 응답이 낮아진다.
  2. 위상 응답 변화: 극점은 위상 응답에 -90도 변화를 일으킨다. 주파수가 극점에 도달하기 전부터 위상은 천천히 감소하기 시작하고, 극점에서 약 -45도 변화를 일으킨 후 더 천천히 수렴한다.

영점이 주는 영향

영점이 Bode 도표에 미치는 영향은 극점과 반대 방향이다:

  1. 진폭 응답 변화: 영점이 발생하면 진폭 응답은 20dB/dec씩 증가한다. 즉, 주파수가 영점에 가까워질수록 시스템이 더 크게 반응한다.
  2. 위상 응답 변화: 영점은 위상 응답에 +90도 변화를 일으킨다. 주파수가 영점에 도달하기 전부터 위상은 천천히 증가하고, 영점에서 약 +45도 변화를 일으킨 후 더 천천히 수렴한다.

극점과 영점은 시스템의 응답 특성에 복합적인 영향을 미치며, 이들의 위치에 따라 시스템이 특정 주파수 대역에서 어떻게 동작하는지 결정된다.

Nyquist 도표와 안정성 분석

Nyquist 도표는 시스템의 주파수 응답을 복소 평면에 나타낸 그래프이다. 이는 Nyquist 안정성 기준을 통해 시스템의 폐루프 안정성을 평가하는 데 사용된다. Nyquist 도표는 주파수 응답이 복소 평면에서 어떻게 변하는지를 직관적으로 보여주며, 시스템의 극점과 영점을 시각적으로 분석할 수 있다.

Nyquist 도표에서 중요한 분석 요소는 다음과 같다:

안정성 기준: 위상 여유와 이득 여유

Bode 도표는 주파수 응답의 진폭과 위상을 로그 스케일로 나타낸 그래프로, 시스템의 안정성을 분석하는 데 유용하다. 특히, 위상 여유(Phase Margin)와 이득 여유(Gain Margin)는 시스템의 안정성을 평가하는 중요한 지표이다.

위상 여유 (Phase Margin)

위상 여유는 시스템의 이득이 0 dB일 때, 위상이 -180도에서 얼마나 떨어져 있는지를 측정하는 값이다. 위상 여유는 시스템의 안정성을 평가하는 데 사용되며, 일반적으로 45도 이상의 위상 여유가 있으면 시스템이 안정적이라고 본다. 위상 여유가 작을수록 시스템의 응답이 불안정해지며, 위상 여유가 0도 이하이면 시스템이 불안정해진다.

위상 여유를 수식으로 나타내면 다음과 같다:

\text{위상 여유} = 180^\circ + \arg(H(j\omega)) \quad \text{(이득이 0 dB일 때)}

위상 여유가 증가하면 시스템이 입력에 대한 지연이 커지며, 이는 피드백 제어 시스템에서 안정성을 증가시키는 효과를 낳는다.

이득 여유 (Gain Margin)

이득 여유는 시스템의 위상이 -180도일 때, 이득이 1에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 이득 여유는 시스템이 주파수 응답에서 이득이 너무 커지는 경우의 불안정을 방지하는 지표이다. 이득 여유가 크면 시스템이 불안정해질 가능성이 낮아지며, 이득 여유가 작을수록 시스템은 입력 신호의 작은 변화에도 민감하게 반응하게 된다.

이득 여유를 수식으로 나타내면 다음과 같다:

\text{이득 여유} = \frac{1}{|H(j\omega)|} \quad \text{(위상이 -180도일 때)}

이득 여유가 작아지면 시스템의 응답이 더욱 과도하게 나타날 수 있으며, 이는 시스템의 불안정성을 초래할 수 있다.

Nyquist 도표를 통한 안정성 평가

Nyquist 도표는 시스템의 개루프(open-loop) 주파수 응답을 복소 평면에 나타낸 것이다. Nyquist 안정성 기준은 시스템의 폐루프(closed-loop) 응답이 안정한지 여부를 평가하는 방법 중 하나이다. Nyquist 도표를 사용한 안정성 평가의 주요 개념은 시스템이 주파수 응답에서 -1 (임계점, critical point)을 몇 번 회전하는지에 따른다.

Nyquist 안정성 기준

  1. 폐루프 안정성: Nyquist 도표가 -1을 포함하지 않거나 회전하지 않으면 시스템은 안정적이다. 이는 폐루프 전달 함수에서 모든 극점이 좌반평면에 있는 경우를 의미한다.
  2. 폐루프 불안정성: Nyquist 도표가 -1을 시계방향으로 한 번 이상 회전하면, 시스템의 폐루프 응답이 불안정해질 가능성이 크다. 이는 시스템의 극점이 우반평면에 위치해 있을 가능성을 나타낸다.

Nyquist 경로

Nyquist 경로는 주파수 응답이 복소 평면에서 어떤 경로를 따라 변화하는지를 나타낸다. 이 경로는 주파수가 0에서 무한대로 증가하는 동안, 시스템의 주파수 응답이 복소 평면에서 어떻게 그려지는지를 보여준다.

Nyquist 안정성 기준은 이 경로가 복소 평면에서 임계점(-1)을 몇 번 회전하는지를 기준으로 시스템의 폐루프 안정성을 평가한다. 임계점을 회전하는 횟수가 시스템의 안정성과 밀접하게 관련된다.

안정성과 폐루프 시스템

Nyquist 안정성 기준을 통해, 시스템의 폐루프가 안정적인지 여부를 다음과 같이 분석할 수 있다: