필터 설계에서의 라플라스 변환

필터의 개념과 설계 목표

필터는 주파수 대역에서 특정 신호를 통과시키거나 억제하는 역할을 한다. 신호 처리 시스템에서 필터는 저주파 대역, 고주파 대역, 또는 특정 대역만을 통과시키는 역할을 하며, 이를 바탕으로 시스템의 특성을 제어할 수 있다. 필터 설계는 일반적으로 두 가지 목표를 가진다:

신호의 원하는 대역만 통과: 주파수 대역 내에서 신호를 선택적으로 통과시킨다. 이는 저주파, 고주파, 대역 통과 필터 등으로 나눌 수 있다.
원하지 않는 노이즈 억제: 시스템 내의 불필요한 고주파 잡음을 제거하여 신호의 품질을 높인다.

라플라스 변환을 통한 필터 설계

필터 설계는 시간 영역보다 주파수 영역에서 더 직관적으로 표현할 수 있다. 라플라스 변환을 활용하면 시간 영역에서의 신호와 시스템 특성을 주파수 영역으로 변환하여 필터 특성을 분석하고 설계할 수 있다. 특히, 필터의 전달 함수 $H(s)$ 는 시스템이 입력 신호에 대해 주파수 응답을 어떻게 나타내는지를 표현하며, 이를 통해 필터의 주파수 특성을 직관적으로 분석할 수 있다.

라플라스 변환에서 필터의 전달 함수는 다음과 같이 정의된다:

$H(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{X}(s)}$

여기서: - $\mathbf{X}(s)$ : 입력 신호의 라플라스 변환 - $\mathbf{Y}(s)$ : 출력 신호의 라플라스 변환

저역통과 필터(LPF) 설계

저역통과 필터(LPF)는 저주파 신호를 통과시키고 고주파 성분을 억제하는 필터이다. 이 필터의 전달 함수는 일반적으로 1차 시스템으로 모델링되며, 이는 간단하게 RC 회로에 기반한 설계로 표현될 수 있다. 저역통과 필터의 대표적인 전달 함수는 다음과 같다:

$H(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c}$

여기서: - $\omega_c$ : 차단 주파수 (cutoff frequency)

차단 주파수 $\omega_c$ 는 필터가 신호를 감쇠시키기 시작하는 주파수로 정의되며, 주파수가 $\omega_c$ 를 초과하면 신호는 급격하게 감쇠된다. 이를 통해 필터의 특성을 제어할 수 있다.

고역통과 필터(HPF) 설계

고역통과 필터(HPF)는 고주파 신호를 통과시키고 저주파 성분을 억제하는 필터이다. 이 필터의 전달 함수는 저역통과 필터와 유사하지만, 차단 주파수 이하의 신호를 억제하도록 설계된다. 고역통과 필터의 전달 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다:

$H(s) = \frac{s}{s + \omega_c}$

이 경우에도 $\omega_c$ 는 차단 주파수를 나타내며, 고주파 대역의 신호는 통과하고 저주파 대역의 신호는 억제된다.

대역통과 필터(BPF) 설계

대역통과 필터(BPF)는 특정 주파수 대역을 통과시키고 나머지 대역을 억제하는 필터이다. 대역통과 필터의 전달 함수는 주파수 대역 $\omega_1$ 와 $\omega_2$ 사이의 신호를 통과시키도록 설계된다. 전달 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다:

$H(s) = \frac{\omega_2 s}{(s + \omega_1)(s + \omega_2)}$

여기서: - $\omega_1$ : 하한 차단 주파수 - $\omega_2$ : 상한 차단 주파수

대역통과 필터는 주파수 $\omega_1$ 이하와 $\omega_2$ 이상의 신호를 억제하고, 그 사이의 대역을 통과시킨다.

대역저지 필터(BSF) 설계

대역저지 필터(BSF), 또는 노치 필터(Notch Filter)는 특정 주파수 대역만을 억제하고 나머지 주파수 대역을 통과시키는 필터이다. 주파수 대역 $\omega_1$ 와 $\omega_2$ 사이의 주파수만을 억제하고 그 이외의 대역은 모두 통과한다. 대역저지 필터의 전달 함수는 다음과 같이 표현된다:

$H(s) = \frac{(s + \omega_1)(s + \omega_2)}{s^2 + (\omega_1 + \omega_2)s + \omega_1 \omega_2}$

이때: - $\omega_1$ : 하한 차단 주파수 - $\omega_2$ : 상한 차단 주파수

대역저지 필터는 주파수 대역 $\omega_1$ 와 $\omega_2$ 사이의 신호를 강하게 감쇠시키며, 이 외의 주파수 성분은 거의 영향을 받지 않는다.

필터의 주파수 응답 분석

라플라스 변환을 통해 얻은 필터의 전달 함수는 복소수 영역에서의 특성을 반영한다. 전달 함수 $H(s)$ 에서 $s = j\omega$ 로 대체하면, 필터의 주파수 응답을 주파수 영역에서 분석할 수 있다. 주파수 응답은 다음과 같은 방식으로 계산된다:

$H(j\omega) = H(s)\Big|_{s = j\omega}$

여기서 $\omega$ 는 각주파수이며, $j$ 는 허수 단위이다. 주파수 응답을 통해 필터가 입력 신호에 대해 어떤 주파수 대역을 통과시키고 감쇠시키는지를 알 수 있다.

주파수 응답 그래프는 필터 설계에서 매우 중요한 역할을 하며, 이를 통해 설계된 필터의 성능을 시각적으로 확인할 수 있다. 아래는 필터의 주파수 응답 특성을 분석하는 일반적인 단계이다:

차단 주파수: 차단 주파수는 필터가 특정 주파수 이후에 신호를 감쇠시키기 시작하는 지점이다. 이 값은 필터의 설계에 따라 결정되며, 전달 함수 $H(s)$ 의 극점과 영점의 위치에 의해 결정된다.
대역폭: 필터가 신호를 통과시키는 대역폭은 저주파 및 고주파 필터의 경우 단일 주파수 대역으로, 대역통과 필터의 경우 두 차단 주파수 사이의 범위로 나타낼 수 있다.
Q-값(품질 계수): 필터의 품질 계수 $Q$ 는 필터의 대역폭과 관련된 값으로, 특정 대역에서의 필터링 성능을 평가하는 기준이 된다. 특히 대역통과 필터와 대역저지 필터에서 $Q$ -값이 필터의 성능을 결정하는 중요한 요소로 작용한다.

주파수 응답의 시각적 표현

필터 설계에서 주파수 응답을 시각적으로 분석하는 것은 필수적이다. 주파수 응답을 시각적으로 표현할 때는 Bode plot과 같은 도구를 활용할 수 있다. Bode plot은 필터의 크기 응답과 위상 응답을 주파수에 따라 나타내는 그래프로, 주파수 성분에 대한 필터의 영향을 분석하는 데 매우 유용하다.

Bode Plot의 구성 요소

크기 응답: $|H(j\omega)|$
위상 응답: $\arg(H(j\omega))$

이를 mermaid로 나타내면, Bode plot의 일반적인 구성은 다음과 같다:

graph LR SR["크기 응답"] --->|주파수 분석| SRG[크기 응답 그래프] HR["위상 응답"] --->|주파수 분석| HRG[위상 응답 그래프] FR["주파수 응답"] ---> SR FR["주파수 응답"] ---> HR

필터 설계의 성능을 시각적으로 평가하기 위해서는 이러한 그래프를 통해 필터가 특정 주파수에서 어떻게 동작하는지 확인해야 한다. 이를 통해 시스템의 성능을 개선하고 최적의 필터 설계를 완성할 수 있다.