기계 시스템의 모델링

기계 시스템의 모델링에서는 라플라스 변환을 활용하여 시스템의 동작을 주파수 영역에서 분석할 수 있다. 이를 통해 시스템의 전달 함수, 안정성, 응답 특성 등을 분석할 수 있다. 기계 시스템은 일반적으로 질량, 스프링, 댐퍼로 구성된 2차 시스템으로 모델링된다. 이 과정에서 중요한 요소는 운동 방정식이며, 이를 라플라스 변환으로 변환하여 분석할 수 있다.

질량-스프링-댐퍼 시스템

대표적인 기계 시스템 중 하나는 질량 $m$ , 스프링 상수 $k$ , 댐퍼 상수 $c$ 로 구성된 질량-스프링-댐퍼 시스템이다. 이 시스템에서 운동 방정식은 다음과 같다.

$m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = F(t)$

여기서 $x(t)$ 는 시간에 따른 질량의 위치를 나타내며, $F(t)$ 는 외부에서 가해진 힘이다. 이 방정식을 라플라스 변환을 이용하여 주파수 영역으로 변환하면 다음과 같다.

$m s^2 X(s) + c s X(s) + k X(s) = F(s)$

이를 정리하면 시스템의 전달 함수 $H(s)$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$H(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + c s + k}$

시스템의 응답 특성

질량-스프링-댐퍼 시스템의 응답 특성은 전달 함수 $H(s)$ 로부터 분석할 수 있다. 특히 시스템이 외부 힘에 어떻게 응답하는지를 나타내는 과도 응답 및 정상 상태 응답을 살펴볼 수 있다.

자유 응답: 외부 힘 $F(t) = 0$ 인 경우, 시스템의 자유 응답은 자연 진동수와 감쇠 비율에 의해 결정된다. 전달 함수에서 극점(pole)을 찾으면, 자연 진동수 $\omega_n$ 와 감쇠 계수 $\zeta$ 를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}$

강제 응답: 외부 힘 $F(t)$ 가 일정한 경우, 시스템의 강제 응답을 구할 수 있다. 외부 힘으로 사인 함수 $F(t) = F_0 \sin(\omega t)$ 가 입력되는 경우, 시스템의 응답은 주파수 응답을 통해 계산할 수 있다.

전달 함수의 해석

라플라스 변환을 통해 얻어진 전달 함수는 기계 시스템의 시간 영역 해석을 주파수 영역에서 수행하는 데 유용하다. 이를 통해 시스템의 동적 특성을 분석하고, 제어기를 설계하거나 시스템을 개선할 수 있다.

과도 응답 해석

과도 응답을 분석하기 위해서는 전달 함수의 극점과 영점을 이용하여 시스템의 동작을 해석할 수 있다. 특히, 극점의 위치에 따라 시스템의 안정성이 결정된다.

극점의 위치를 찾기 위해 전달 함수 $H(s)$ 의 분모를 0으로 두고 방정식을 푼다.

$m s^2 + c s + k = 0$

이 방정식의 해는 다음과 같다.

$s = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$

극점이 실수일 때는 과도 응답이 과도하게 진동하지 않으며, 복소수일 때는 진동이 발생한다.

시스템의 감쇠 특성

앞서 구한 극점 방정식에서 극점의 값에 따라 시스템의 감쇠 특성을 해석할 수 있다. 감쇠 특성은 시스템의 응답이 시간이 지나면서 어떻게 변하는지를 결정하는 중요한 요소이다. 감쇠 특성은 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

과감쇠(Overdamped): $\zeta > 1$ 인 경우로, 이때 시스템은 진동 없이 천천히 원점으로 수렴한다. 두 개의 서로 다른 실수 극점을 갖는다.

$s = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$

임계 감쇠(Critically Damped): $\zeta = 1$ 인 경우로, 시스템은 진동 없이 가장 빠르게 원점으로 수렴한다. 두 개의 중복된 실수 극점을 갖는다.

$s = \frac{-c}{2m}$

저감쇠(Underdamped): $0 < \zeta < 1$ 인 경우로, 시스템은 진동하면서 원점으로 수렴한다. 이때 극점은 복소수이다.

$s = \frac{-c}{2m} \pm j \frac{\sqrt{4mk - c^2}}{2m}$

시스템의 주파수 응답

라플라스 변환을 통해 시스템의 주파수 응답을 분석할 수 있다. 주파수 응답은 시스템이 특정 주파수의 입력 신호에 대해 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 주파수 응답은 $s = j\omega$ 를 대입하여 구할 수 있다.

질량-스프링-댐퍼 시스템의 주파수 응답 함수는 다음과 같이 표현된다.

$H(j\omega) = \frac{1}{-m \omega^2 + j c \omega + k}$

이를 분리하면 실수부와 허수부는 다음과 같다.

$H(j\omega) = \frac{1}{(k - m \omega^2) + j c \omega}$

시스템의 진폭 응답은 다음과 같이 계산된다.

$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(k - m \omega^2)^2 + (c \omega)^2}}$

위 식을 통해 시스템이 주파수에 따라 어떤 진폭으로 반응하는지 알 수 있다. 특히, 공진 주파수에서는 시스템의 반응이 극대화된다.

공진 주파수

공진 주파수 $\omega_r$ 는 시스템이 외부 입력 신호에 대해 가장 크게 반응하는 주파수이다. 공진 주파수는 감쇠 계수와 자연 진동수에 따라 결정된다. 공진 주파수는 다음과 같이 정의된다.

$\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2 \zeta^2}$

감쇠 계수가 작을수록 공진 주파수는 자연 진동수와 가까워지며, 시스템의 반응이 크게 나타난다.

전달 함수를 통한 시스템의 시뮬레이션

기계 시스템의 전달 함수를 활용하여 시스템의 동작을 시뮬레이션할 수 있다. 주어진 외부 입력 $F(s)$ 에 대해 시스템의 출력 $X(s)$ 는 다음과 같이 계산된다.

$X(s) = H(s) F(s)$

이를 다시 역 라플라스 변환하여 시간 영역에서의 시스템 응답을 구할 수 있다. 예를 들어, 단위 계단 함수 $F(s) = \frac{1}{s}$ 가 입력으로 주어지면, 시스템의 응답은 다음과 같이 구해진다.

$X(s) = \frac{1}{m s^2 + c s + k} \cdot \frac{1}{s}$

이 결과를 역 라플라스 변환하여 시간 영역 응답을 계산하면 시스템의 시간에 따른 동작을 확인할 수 있다.