전달 함수와 시스템의 동작

시스템의 동적 모델링

전달 함수는 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant Systems, LTI)을 주파수 영역에서 분석하기 위한 중요한 도구이다. 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 주파수 영역에서 표현하며, 이를 통해 시스템의 거동을 이해할 수 있다.

우선, 선형 미분 방정식으로 표현되는 시스템을 생각해봅시다. 시스템의 입력을 $u(t)$ , 출력을 $y(t)$ 라고 할 때, 시스템은 다음과 같은 일반적인 형태의 미분 방정식으로 표현될 수 있다.

$a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} u(t)}{dt^{m-1}} + \cdots + b_1 \frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)$

이 미분 방정식을 라플라스 변환을 적용하여 주파수 영역으로 변환하면, 미분 연산자는 $s$ 도메인으로 변환된다. 여기서 $s$ 는 복소수 영역의 변수이다. 각 미분 항은 다음과 같이 변환된다.

$\frac{d^n y(t)}{dt^n} \quad \longrightarrow \quad s^n Y(s)$

따라서, 전체 시스템의 미분 방정식은 라플라스 변환 후 다음과 같은 형태로 표현된다.

$\left( a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 \right) Y(s) = \left( b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0 \right) U(s)$

여기서 $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환, $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환이다.

전달 함수의 정의

전달 함수 $G(s)$ 는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 표현하는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0}$

여기서 $G(s)$ 는 시스템의 전달 함수이다. 이 전달 함수는 시스템의 주파수 응답을 결정하며, 주파수 영역에서 시스템의 거동을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

전달 함수의 특성

전달 함수는 시스템의 여러 특성을 나타낸다. 예를 들어, $G(s)$ 의 분모에 있는 다항식 $a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0$ 는 시스템의 특성 방정식을 나타내며, 이 방정식의 근은 시스템의 극점(poles)으로 나타난다. 분자에 있는 다항식 $b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_0$ 는 시스템의 영점(zeros)을 나타낸다.

시스템의 극점과 영점은 시스템의 안정성, 응답 시간, 감쇠 비율 등에 영향을 미친다. 극점은 시스템의 고유한 동적 특성을 나타내며, 주어진 입력에 대해 시스템이 어떻게 반응하는지를 결정한다. 영점은 입력의 특정 주파수에서 시스템이 어떻게 반응하는지를 제어한다.

전달 함수와 시간 응답

전달 함수를 사용하면 시스템의 시간 영역에서의 응답을 분석할 수 있다. 주로 시스템의 단위 계단 입력에 대한 응답(step response)이나 임펄스 입력에 대한 응답(impulse response)을 구하는 데 사용된다.

예를 들어, 전달 함수가

$G(s) = \frac{1}{s+2}$

와 같은 형태로 주어진 시스템의 경우, 단위 계단 입력에 대한 응답을 구하기 위해 $G(s)$ 에 단위 계단 입력 $\frac{1}{s}$ 를 곱한 후 역 라플라스 변환을 적용한다. 이를 통해 시스템의 시간 영역에서의 응답을 구할 수 있다.

극점과 시스템 안정성

전달 함수에서 극점은 시스템의 안정성을 결정하는 중요한 요소이다. 극점은 시스템의 특성 방정식의 근으로 정의되며, 이들이 실수 축이나 복소 평면에서의 위치에 따라 시스템의 동작이 크게 달라진다.

극점이 실수 음수인 경우: 시스템은 안정적이며, 시간이 지남에 따라 응답이 수렴한다.
극점이 실수 양수인 경우: 시스템은 불안정하며, 응답이 시간이 지남에 따라 발산한다.
극점이 허수 축에 있는 경우: 이는 순환 또는 진동 응답을 나타낸다.
극점이 복소평면에 있는 경우: 복소수 부분의 크기에 따라 감쇠된 진동 응답이 발생한다.

특히, 시스템이 안정적인지 여부는 극점의 실수 부분이 음수인지 여부로 판단할 수 있다. 극점의 실수 부분이 음수인 경우, 시스템은 시간 경과에 따라 안정적으로 작동하게 된다.

예시: 2차 시스템

2차 시스템의 전달 함수를 예로 들어보겠다. 시스템의 전달 함수는 다음과 같은 형태일 수 있다.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

여기서:

$\omega_n$ 은 자연 진동수(natural frequency)로 시스템의 고유 진동 주파수를 나타낸다.
$\zeta$ 는 감쇠 비율(damping ratio)로 시스템의 감쇠 정도를 나타낸다.

이 전달 함수의 극점을 찾기 위해 분모의 특성 방정식을 푼다:

$s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0$

이 방정식의 해는 다음과 같다.

$s = -\zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}$

$\zeta = 1$ : 시스템은 임계 감쇠(critical damping) 상태에 있다. 입력에 대한 시스템의 응답은 빠르게 수렴한다.
$\zeta < 1$ : 시스템은 부족 감쇠(underdamped) 상태에 있으며, 감쇠된 진동을 보이다.
$\zeta > 1$ : 시스템은 과감쇠(overdamped) 상태에 있으며, 느리지만 진동 없이 안정화된다.

이와 같이, 극점의 위치는 시스템의 응답 특성을 크게 결정한다.

전달 함수의 주파수 응답

전달 함수는 또한 주파수 응답 분석에 사용된다. 주파수 응답은 시스템이 다양한 주파수의 입력에 어떻게 반응하는지를 나타내며, 이는 특히 신호 처리 및 제어 시스템에서 매우 중요하다.

주파수 응답을 분석하기 위해서는 복소수 변수 $s$ 를 다음과 같이 대체한다.

$s = j\omega$

여기서 $j$ 는 허수 단위, $\omega$ 는 주파수이다. 이를 통해 주파수 영역에서 전달 함수를 구할 수 있으며, 이는 시스템의 이득과 위상 변화를 분석하는 데 사용된다. 주파수 응답을 분석하면 시스템이 특정 주파수에서 얼마나 증폭되거나 감쇠되는지, 그리고 위상 차이가 얼마나 발생하는지 알 수 있다.

예시: 1차 시스템의 주파수 응답

1차 시스템의 전달 함수가 다음과 같다고 가정해봅시다.

$G(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

주파수 응답을 구하기 위해 $s = j\omega$ 를 대입하면 다음과 같은 표현을 얻는다.

$G(j\omega) = \frac{1}{j\omega \tau + 1}$

이제 이 전달 함수의 크기 및 위상 응답을 구할 수 있다. 크기는 다음과 같이 계산된다.

$|G(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(\omega \tau)^2 + 1}}$

위상은 다음과 같이 계산된다.

$\angle G(j\omega) = -\tan^{-1}(\omega \tau)$

이 주파수 응답을 통해 시스템이 주파수 $\omega$ 에 대해 어떻게 반응하는지 알 수 있다.

전달 함수의 주파수 응답과 보드 플롯

주파수 응답은 보드 플롯(Bode Plot)으로 시각화될 수 있다. 보드 플롯은 주파수 응답의 크기와 위상을 로그 스케일에서 그래프로 나타낸 것으로, 시스템의 동적 특성을 직관적으로 파악할 수 있는 유용한 도구이다. 보드 플롯은 크게 두 가지 그래프를 포함한다.

크기 플롯: 시스템의 이득(magnitude)을 주파수에 대해 로그 스케일로 표시
위상 플롯: 시스템의 위상 변화(phase shift)를 주파수에 대해 로그 스케일로 표시

예시: 1차 시스템의 보드 플롯

1차 시스템 전달 함수

$G(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

의 보드 플롯을 그려보면, 시스템의 주파수 응답이 어떻게 변하는지 시각적으로 나타낼 수 있다.

크기 플롯: 낮은 주파수에서 시스템의 이득은 거의 1(0 dB)에 가까우며, 높은 주파수로 갈수록 점차 감소한다. 특정 주파수 $\omega = \frac{1}{\tau}$ 에서 이득이 약 -3 dB로 감소하는 것이 보이다.
위상 플롯: 낮은 주파수에서는 위상 변화가 거의 없지만, 주파수가 증가할수록 점차 음의 방향으로 이동하여 고주파에서 약 -90도에 도달한다.

Mermaid를 활용한 보드 플롯의 시각적 표현은 아래와 같다.

graph TD; A[주파수 ω 증가] --> B["크기 감소 (0 dB에서 -20 dB/dec)"]; A --> C["위상 변화 (0도에서 -90도)"];

전달 함수의 시간 영역 해석: 단계 응답

시스템의 전달 함수는 시간 영역에서의 응답을 예측하는 데도 사용된다. 시스템의 단위 계단 입력(step input)에 대한 응답은 제어 시스템에서 중요한 분석 도구이다.

예시: 1차 시스템의 단계 응답

1차 시스템의 전달 함수

$G(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

가 주어졌을 때, 단위 계단 입력을 적용하면 입력의 라플라스 변환은 $\frac{1}{s}$ 이다. 따라서 시스템의 출력 $Y(s)$ 는 다음과 같이 구할 수 있다.

$Y(s) = G(s) \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s}$

이제 이 표현의 역 라플라스 변환을 적용하면, 시간 영역에서의 출력 응답 $y(t)$ 는 다음과 같이 된다.

$y(t) = 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}$

이 식은 시스템이 시간 $t$ 에 따라 어떻게 반응하는지를 보여준다. $t = \tau$ 일 때, 응답은 약 63%에 도달하며, 시간이 충분히 지나면 출력은 1에 수렴하게 된다.

전달 함수의 파라미터 조정과 시스템 거동

전달 함수의 파라미터 조정은 시스템의 동작을 크게 변화시킬 수 있다. 예를 들어, 1차 시스템에서 파라미터 $\tau$ 는 시스템의 시간 상수(time constant)를 나타내며, 이 값이 커지면 시스템의 응답이 더 느려지고, 값이 작아지면 응답이 더 빠르게 된다.

시간 상수 $\tau$ 증가: 시스템 응답 속도 감소, 느린 수렴
시간 상수 $\tau$ 감소: 시스템 응답 속도 증가, 빠른 수렴

2차 이상의 시스템에서도 전달 함수의 극점 및 영점의 위치를 조정함으로써 시스템의 거동을 원하는 대로 설계할 수 있다. 제어 엔지니어는 이러한 전달 함수의 특성을 이용해 시스템의 응답을 최적화하거나 특정 요구 사항을 충족하는 시스템을 설계한다.