잔여 정리 (Residue Theorem)

잔여 정리(Residue Theorem)는 복소해석학의 강력한 도구로, 복소 평면에서의 폐곡선 적분을 계산할 때 유용하게 사용된다. 이 정리는 특히 역 라플라스 변환에서 매우 중요한 역할을 하며, 이를 통해 다루기 어려운 적분 문제들을 잔여(Residue)를 이용해 간단히 해결할 수 있다. 역 라플라스 변환에서 잔여 정리는 주로 복소 평면 상의 극점(residues)을 이용해, 주어진 함수의 적분을 계산하는 데 사용된다.

복소 평면에서의 잔여

복소 함수 $f(z)$ 가 $z_0$ 에서 해석적이지 않거나, 즉 극점(pole)을 가지는 경우, 이 점에서의 잔여는 다음과 같이 정의된다.

$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz$

여기서 $\gamma$ 는 $z_0$ 를 감싸는 작은 폐곡선이다. 이 잔여 값은 $z_0$ 에서의 함수의 특성을 나타내며, 폐곡선 적분에서 큰 역할을 한다.

잔여 정리는 복소 평면에서 여러 극점을 가지는 함수의 폐곡선 적분을 극점들의 잔여의 합으로 계산할 수 있음을 알려준다.

잔여 정리의 정의

잔여 정리는 다음과 같이 정의된다:

복소 평면에서의 함수 $f(z)$ 가 유한 개의 고립된 특이점(극점)을 갖고, 닫힌 경로 $\Gamma$ 를 따라 적분할 수 있다고 가정한다. 이때, $f(z)$ 의 적분은 경로 내에 있는 모든 극점에서의 잔여 합으로 표현된다.

$\oint_{\Gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{z_k \in \text{inside}(\Gamma)} \text{Res}(f, z_k)$

위 식에서, 경로 $\Gamma$ 안에 있는 모든 극점 $z_k$ 의 잔여 값 $\text{Res}(f, z_k)$ 들을 더하여 적분 값을 구할 수 있다.

복소 평면에서의 잔여 계산

잔여는 주로 극점의 차수에 따라 계산 방식이 달라진다. 라플라스 변환을 다루는 경우 1차 극점의 잔여 계산이 자주 등장하며, 이는 다음과 같이 구해진다.

1차 극점에서의 잔여

$z = z_0$ 에서 함수 $f(z)$ 가 1차 극점을 가진다면, $z_0$ 에서의 잔여는 다음과 같이 계산된다:

$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$

1차 극점에서는 위와 같은 간단한 방법으로 잔여를 계산할 수 있다. 이 방법은 라플라스 변환에서 주로 사용되는 기본적인 형태이다.

잔여 정리와 역 라플라스 변환

라플라스 변환의 역변환을 구할 때, 복소 평면 상에서의 폐곡선 적분을 사용하게 된다. 함수 $F(s)$ 의 역 라플라스 변환은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} \, ds$

여기서 $F(s)$ 는 복소 변수 $s$ 에 대한 함수이며, 이 적분을 계산할 때 잔여 정리가 매우 유용하게 쓰이다. 특히, $F(s)$ 가 복소 평면에서 극점을 가지는 경우, 적분 경로 내의 극점에서의 잔여를 이용해 적분을 계산할 수 있다.

이 과정에서 주로 극점이 실수 축에 가까운 위치에 분포하는 경우가 많기 때문에, 적분 경로를 극점들을 포함하는 경로로 바꾸어 잔여 정리를 적용하게 된다.

역 라플라스 변환에서의 폐곡선 적분

라플라스 변환의 역변환은 복소 평면에서의 폐곡선 적분으로 설명될 수 있으며, 이를 잔여 정리를 이용하여 간단히 처리할 수 있다. 특히, 역 라플라스 변환에서 사용하는 폐곡선 경로는 통상적으로 아래와 같은 경로로 설정된다.

복소 평면에서의 적분 경로 설정

복소 평면에서 라플라스 변환을 사용할 때, 주로 수직선 적분을 사용하여 역변환을 수행한다. 그러나 실전에서는 대부분의 경우 잔여 정리를 통해 복소 평면의 특정 영역을 포함하는 경로로 바꿀 수 있다. 이때 경로는 극점을 포함하는 폐곡선으로 변경된다.

폐곡선은 크게 두 부분으로 나뉜다: 1. 실수 축과 평행한 수직선 경로: 라플라스 변환의 기본 정의에 따른 경로이다. 2. 복소 평면을 감싸는 원형 경로: 극점들을 포함하여 경로를 닫는 부분이다.

이때, 원형 경로가 무한대로 가도록 만들고, 잔여 정리를 적용하여 적분을 계산한다. 결국, 수식은 다음과 같이 변형된다:

$f(t) = \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(F(s)e^{st}, s_k)$

여기서 $s_k$ 는 복소 평면에서의 극점이고, $\text{Res}(F(s)e^{st}, s_k)$ 는 각 극점에서의 잔여이다. 이는 각 극점의 기여도에 따른 합을 계산함으로써 함수 $f(t)$ 를 얻는 과정이다.

예제: 단순 극점의 역 라플라스 변환

다음과 같은 라플라스 변환 $F(s)$ 를 역변환한다고 가정해 보자:

$F(s) = \frac{1}{(s - a)(s - b)}$

이 경우, $F(s)$ 는 $s = a$ 와 $s = b$ 에서 두 개의 단순 극점을 갖는다. 잔여 정리를 이용하여 $f(t)$ 를 계산하면, 다음과 같은 과정을 거친다.

잔여 계산: 각 극점에서의 잔여를 계산한다.
$s = a$ 에서:

$\text{Res}(F(s)e^{st}, a) = \lim_{s \to a} (s - a) \frac{e^{st}}{(s - a)(s - b)} = \frac{e^{at}}{a - b}$

$s = b$ 에서:

$\text{Res}(F(s)e^{st}, b) = \lim_{s \to b} (s - b) \frac{e^{st}}{(s - a)(s - b)} = \frac{e^{bt}}{b - a}$

잔여 합 계산: 각 잔여 값을 더하여 역 라플라스 변환을 계산한다.

$f(t) = \frac{e^{at}}{a - b} + \frac{e^{bt}}{b - a}$

이로써 $F(s)$ 의 역 라플라스 변환이 완료되었다.

이 과정은 라플라스 변환을 사용할 때 잔여 정리가 어떻게 실질적으로 적용되는지 보여준다.