합성곱 정리와 역변환

라플라스 변환에서 합성곱 정리는 두 함수의 라플라스 변환을 통해 두 함수의 곱을 시간 영역에서 구하는 방법을 제시한다. 이 정리는 주로 복잡한 시스템의 응답을 계산할 때 유용하며, 다음과 같은 형태로 표현된다.

먼저 두 함수 $f(t)$ 와 $g(t)$ 의 라플라스 변환을 각각 $F(s)$ 와 $G(s)$ 라 하겠다.

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s), \quad \mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)$

이때, 시간 영역에서의 합성곱은 다음과 같이 정의된다.

$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau$

여기서 $\tau$ 는 더미 변수이다. 이 합성곱의 라플라스 변환은 다음과 같이 주어진다.

$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s) \cdot G(s)$

즉, 시간 영역에서의 두 함수의 합성곱은 주파수 영역에서의 곱으로 변환된다. 이는 라플라스 변환의 중요한 성질 중 하나이며, 시스템의 전달 함수나 신호 처리에서 매우 유용하게 사용된다.

역 라플라스 변환을 이용하여 합성곱 정리를 적용할 때, $F(s) \cdot G(s)$ 의 형태로 주어진 라플라스 변환을 시간 영역으로 변환하려면, 해당 식의 역변환은 두 함수의 합성곱을 계산하는 방식으로 수행된다.

$\mathcal{L}^{-1}\{F(s) \cdot G(s)\} = (f * g)(t)$

따라서, 두 함수의 라플라스 변환이 주어졌을 때, 그 곱을 역 라플라스 변환하여 시간 영역에서의 합성곱을 구할 수 있다.

합성곱 정리를 역 라플라스 변환에서 사용하는 한 가지 구체적인 예를 들어보겠다.

$F(s) = \frac{1}{s+1}$ , $G(s) = \frac{1}{s+2}$ 라고 가정하자. 이는 각각 $f(t) = e^{-t}$ 와 $g(t) = e^{-2t}$ 로 변환된다. 그러면 이 두 함수의 합성곱을 계산하면:

$(f * g)(t) = \int_0^t e^{-\tau} e^{-(t - \tau)} d\tau$

이 식을 계산하여 얻는 결과는 다음과 같다.

이제 앞서 언급한 예시를 계속하여 계산을 진행하겠다.

두 함수 $f(t) = e^{-t}$ 와 $g(t) = e^{-2t}$ 의 합성곱을 구하는 과정을 자세히 풀어보면, 다음과 같이 계산된다.

$(f * g)(t) = \int_0^t e^{-\tau} e^{-(t - \tau)} d\tau$

우선, 지수 함수의 성질을 이용해 식을 정리하면:

$(f * g)(t) = \int_0^t e^{-t} e^{\tau} d\tau$

여기서 $e^{-t}$ 는 상수이므로 적분 범위에서 제외할 수 있다. 따라서 적분식은 다음과 같이 단순화된다.

$(f * g)(t) = e^{-t} \int_0^t e^{\tau} d\tau$

이제 적분을 계산해보면:

$\int_0^t e^{\tau} d\tau = e^{\tau} \Big|_0^t = e^t - 1$

따라서 최종적으로 합성곱은 다음과 같다.

$(f * g)(t) = e^{-t} (e^t - 1) = 1 - e^{-t}$

이제 $F(s) = \frac{1}{s+1}$ 와 $G(s) = \frac{1}{s+2}$ 의 곱을 주파수 영역에서 계산한 후, 그에 대한 역 라플라스 변환을 적용해보겠다.

$F(s) \cdot G(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}$

이 표현은 부분 분수로 분해할 수 있다.

$\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$

여기서 $A$ 와 $B$ 는 상수이며, 이를 구하기 위해 방정식을 풀면:

$1 = A(s+2) + B(s+1)$

이를 $s$ 에 대한 식으로 정리하면:

$1 = A s + 2A + B s + B$

따라서, $s$ 의 계수와 상수를 비교하여 $A + B = 0$ , $2A + B = 1$ 이라는 두 개의 방정식을 얻게 된다. 이를 풀면 $A = 1$ , $B = -1$ 이 나온다. 그러므로:

$\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}$

이제 역 라플라스 변환을 적용하면:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)(s+2)}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}$

이는 시간 영역에서 다음과 같이 표현된다.

$= e^{-t} - e^{-2t}$

따라서, 합성곱을 통한 역 라플라스 변환 결과는:

$f(t) * g(t) = e^{-t} - e^{-2t}$

이 결과는 이전에 시간 영역에서 직접 합성곱을 계산한 결과와 일치한다.