부분 분수 분해를 통한 역변환

라플라스 변환의 역변환을 구하는 방법 중 하나는 부분 분수 분해를 활용하는 것이다. 주로 유리 함수 형태로 주어진 라플라스 변환 결과에 대해 유용하다. 이 방법을 사용하면 복잡한 유리 함수를 더 간단한 형태로 분해할 수 있으며, 각 항에 대해 이미 알려진 역 라플라스 변환을 쉽게 적용할 수 있다.

유리 함수의 형태

유리 함수는 다음과 같은 형태로 주어질 수 있다:

$F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$

여기서 $N(s)$ 는 분자의 다항식이고, $D(s)$ 는 분모의 다항식이다. 이 함수의 역 라플라스 변환을 구하려면, 먼저 $D(s)$ 를 가능한 한 단순한 인수로 분해해야 한다. 이를 통해 $F(s)$ 를 부분 분수의 합으로 나타낼 수 있다.

부분 분수 분해

부분 분수 분해는 다음과 같은 형태의 유리 함수를 더 단순한 분수의 합으로 나누는 과정이다:

$F(s) = \frac{N(s)}{(s - s_1)(s - s_2) \cdots (s - s_n)}$

이때, 각 $s_i$ 는 $D(s)$ 의 근(즉, 극점)이며, 이 유리 함수를 부분 분수로 분해하면 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$F(s) = \frac{A_1}{s - s_1} + \frac{A_2}{s - s_2} + \cdots + \frac{A_n}{s - s_n}$

여기서 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 는 각각의 상수이다. 이러한 상수는 각 분수 항이 정확히 $F(s)$ 와 일치하도록 결정된다.

예시 1: 단순 유리 함수의 부분 분수 분해

다음과 같은 간단한 예제를 고려해보자:

$F(s) = \frac{5s + 3}{(s - 1)(s + 2)}$

이 경우, 부분 분수 분해를 적용하면:

$F(s) = \frac{A_1}{s - 1} + \frac{A_2}{s + 2}$

이제 $A_1$ 과 $A_2$ 를 구하기 위해, 양변에 각각의 분모를 곱하여 다음과 같은 식을 얻는다:

$5s + 3 = A_1(s + 2) + A_2(s - 1)$

이를 단순화하면:

$5s + 3 = A_1s + 2A_1 + A_2s - A_2$

양변에서 $s$ 의 계수와 상수를 비교하여 다음의 두 방정식을 얻는다:

$A_1 + A_2 = 5$
$2A_1 - A_2 = 3$

이 두 연립 방정식을 풀면:

$A_1 = 2, \quad A_2 = 3$

따라서, 부분 분수 분해 결과는:

$F(s) = \frac{2}{s - 1} + \frac{3}{s + 2}$

이제 이 부분 분수 항들에 대해 각각의 역 라플라스 변환을 구할 수 있다. 예를 들어, $\frac{2}{s - 1}$ 의 역 라플라스 변환은 $2e^{t}$ , $\frac{3}{s + 2}$ 의 역 라플라스 변환은 $3e^{-2t}$ 이다.

예시 2: 중근을 포함한 부분 분수 분해

부분 분수 분해는 단순한 극점뿐만 아니라 중근을 포함하는 경우에도 적용된다. 예를 들어, 다음과 같은 유리 함수를 고려하자:

$F(s) = \frac{6s + 5}{(s - 1)^2(s + 3)}$

이 경우, 분모의 $(s - 1)^2$ 은 중근을 의미한다. 이때 부분 분수 분해는 다음과 같은 형태로 나타난다:

$F(s) = \frac{A_1}{s - 1} + \frac{A_2}{(s - 1)^2} + \frac{A_3}{s + 3}$

이제 $A_1, A_2, A_3$ 를 구하기 위해서, 양변에 분모를 곱해보자:

$6s + 5 = A_1(s - 1)(s + 3) + A_2(s + 3) + A_3(s - 1)^2$

양변을 전개하면:

$6s + 5 = A_1(s^2 + 2s - 3) + A_2(s + 3) + A_3(s^2 - 2s + 1)$

이를 정리하면:

$6s + 5 = (A_1 + A_3)s^2 + (2A_1 - 2A_3 + A_2)s + (-3A_1 + 3A_2 + A_3)$

이제 계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

$A_1 + A_3 = 0$
$2A_1 - 2A_3 + A_2 = 6$
$-3A_1 + 3A_2 + A_3 = 5$

이 연립 방정식을 풀면:

$A_1 = 1, \quad A_2 = 4, \quad A_3 = -1$

따라서, 부분 분수 분해 결과는:

$F(s) = \frac{1}{s - 1} + \frac{4}{(s - 1)^2} - \frac{1}{s + 3}$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 적용할 수 있다. 예를 들어:

$\frac{1}{s - 1}$ 의 역 라플라스 변환은 $e^t$ ,
$\frac{4}{(s - 1)^2}$ 의 역 라플라스 변환은 $4te^t$ ,
$\frac{-1}{s + 3}$ 의 역 라플라스 변환은 $-e^{-3t}$ .

따라서, 전체 함수의 역 라플라스 변환은:

$f(t) = e^t + 4te^t - e^{-3t}$

복소수 극점의 경우

복소수 극점을 갖는 유리 함수에 대해서도 부분 분수 분해를 적용할 수 있다. 예를 들어:

$F(s) = \frac{2s}{s^2 + 4}$

이 경우, $s^2 + 4$ 은 두 개의 복소수 극점 $s = \pm 2i$ 를 갖는다. 이러한 경우, 실수계수를 유지하기 위해 다음과 같이 분해할 수 있다:

$F(s) = \frac{A_1 s + B_1}{s^2 + 4}$

이때 $A_1$ 과 $B_1$ 를 계산하면:

$A_1 = 2, \quad B_1 = 0$

따라서, 역 라플라스 변환은:

$f(t) = 2 \cos(2t)$

복잡한 인수 분해의 경우

때로는 다항식이 쉽게 인수분해되지 않거나, 고차 방정식의 해가 실수가 아닌 복잡한 복소수로 나타나는 경우도 있다. 이런 상황에서 역시 부분 분수 분해를 적용할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 유리 함수를 고려하자:

$F(s) = \frac{3s^2 + 5s + 2}{(s + 1)(s^2 + 2s + 5)}$

분모가 $(s + 1)(s^2 + 2s + 5)$ 로 되어 있기 때문에, 이 식을 다음과 같은 형태로 분해한다:

$F(s) = \frac{A_1}{s + 1} + \frac{A_2s + B_2}{s^2 + 2s + 5}$

여기서 $A_1, A_2, B_2$ 는 상수이다. 이들을 구하기 위해 양변에 분모를 곱해보자:

$3s^2 + 5s + 2 = A_1(s^2 + 2s + 5) + (A_2s + B_2)(s + 1)$

이를 전개하면:

$3s^2 + 5s + 2 = A_1(s^2 + 2s + 5) + A_2(s^2 + s) + B_2(s + 1)$

이를 다시 정리하면:

$3s^2 + 5s + 2 = (A_1 + A_2)s^2 + (2A_1 + A_2 + B_2)s + (5A_1 + B_2)$

이제 계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

$A_1 + A_2 = 3$
$2A_1 + A_2 + B_2 = 5$
$5A_1 + B_2 = 2$

이 세 방정식을 풀면:

$A_1 = 1, \quad A_2 = 2, \quad B_2 = -3$

따라서 부분 분수 분해 결과는:

$F(s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{2s - 3}{s^2 + 2s + 5}$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 구할 수 있다:

$\frac{1}{s + 1}$ 의 역 라플라스 변환은 $e^{-t}$ ,
$\frac{2s - 3}{s^2 + 2s + 5}$ 는 $e^{-t} \left( 2 \cos(2t) - 7 \sin(2t) \right)$ 로 변환된다.

따라서, 전체 역 라플라스 변환은 다음과 같다:

$f(t) = e^{-t} + e^{-t}(2 \cos(2t) - 7 \sin(2t))$

실수와 복소수 근의 혼합

부분 분수 분해는 실수 근과 복소수 근을 동시에 포함하는 경우에도 유효하다. 예를 들어, $s$ -평면에서 실수 근과 복소수 근을 갖는 유리 함수는 다음과 같이 나타날 수 있다:

$F(s) = \frac{5s + 7}{(s - 2)(s^2 + 4s + 13)}$

이 식을 부분 분수로 분해하면:

$F(s) = \frac{A_1}{s - 2} + \frac{A_2s + B_2}{s^2 + 4s + 13}$

이때 $A_1, A_2, B_2$ 는 각각 상수로, 위와 유사한 방식으로 계산할 수 있다. 여기서 $s^2 + 4s + 13$ 은 복소수 근을 갖는 2차 방정식이므로, 복소수의 역 라플라스 변환을 적용해야 한다.

실수와 복소수 근을 포함한 예시

위에서 제시한 예제의 경우, $s^2 + 4s + 13$ 은 두 개의 복소수 근 $s = -2 \pm 3i$ 를 가진다. 먼저 이 유리 함수를 부분 분수로 분해하여 상수 $A_1, A_2, B_2$ 를 구해야 한다:

$F(s) = \frac{5s + 7}{(s - 2)(s^2 + 4s + 13)} = \frac{A_1}{s - 2} + \frac{A_2s + B_2}{s^2 + 4s + 13}$

이제 양변에 분모를 곱해보면:

$5s + 7 = A_1(s^2 + 4s + 13) + (A_2s + B_2)(s - 2)$

이를 전개하면:

$5s + 7 = A_1(s^2 + 4s + 13) + A_2s(s - 2) + B_2(s - 2)$

이 식을 다시 정리하면:

$5s + 7 = A_1(s^2 + 4s + 13) + A_2(s^2 - 2s) + B_2(s - 2)$

그리고 이를 단순화하면:

$5s + 7 = (A_1 + A_2)s^2 + (4A_1 - 2A_2 + B_2)s + (13A_1 - 2B_2)$

계수를 비교하여 다음의 세 방정식을 얻는다:

$A_1 + A_2 = 0$
$4A_1 - 2A_2 + B_2 = 5$
$13A_1 - 2B_2 = 7$

이 연립 방정식을 풀면:

$A_1 = 1, \quad A_2 = -1, \quad B_2 = -3$

따라서 부분 분수 분해 결과는:

$F(s) = \frac{1}{s - 2} + \frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13}$

이제 각 항에 대해 역 라플라스 변환을 구할 수 있다.

첫 번째 항의 역 라플라스 변환

$\frac{1}{s - 2}$

이 항의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s - 2} \right\} = e^{2t}$

두 번째 항의 역 라플라스 변환

두 번째 항인 $\frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13}$ 은 복소수 근을 포함하는 2차 다항식을 다루고 있으므로, 다음과 같은 형식을 사용하여 계산한다. 우선, 다음과 같이 변형한다:

$\frac{-s - 3}{s^2 + 4s + 13} = \frac{-(s + 2) - 1}{(s + 2)^2 + 9}$

이 식은 다음과 같은 두 개의 항으로 나누어질 수 있다:

$\frac{-(s + 2)}{(s + 2)^2 + 9} - \frac{1}{(s + 2)^2 + 9}$

이제 각각의 항에 대해 역 라플라스 변환을 적용할 수 있다:

첫 번째 항의 역 라플라스 변환은:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{-(s + 2)}{(s + 2)^2 + 9} \right\} = -e^{-2t} \cos(3t)$

두 번째 항의 역 라플라스 변환은:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{-1}{(s + 2)^2 + 9} \right\} = -\frac{1}{3} e^{-2t} \sin(3t)$

최종 결과

따라서 전체 역 라플라스 변환은 다음과 같이 나타난다:

$f(t) = e^{2t} - e^{-2t} \cos(3t) - \frac{1}{3} e^{-2t} \sin(3t)$

이것으로 복소수 근을 포함한 부분 분수 분해를 통한 역 라플라스 변환을 완료할 수 있다.