주기 함수의 라플라스 변환

주기 함수의 라플라스 변환은 주기적인 신호를 다루는 중요한 도구이다. 이 절에서는 주기 함수의 일반적인 정의부터 시작하여 그 라플라스 변환을 계산하는 과정을 다루겠다.

주기 함수의 정의

주기 함수는 일정한 간격으로 반복되는 함수를 의미한다. 수학적으로, 주기 함수 $f(t)$ 는 다음 조건을 만족하는 함수이다:

$f(t + T) = f(t)$

여기서 $T$ 는 주기(period)이다. 즉, 함수 $f(t)$ 는 $T$ 만큼 시간 이동을 해도 원래 함수와 동일한 값을 가진다.

주기 함수의 라플라스 변환

주기 함수의 라플라스 변환을 구하기 위해, 우리는 주기 함수가 무한히 반복된다는 사실을 이용하여 그 변환을 계산한다. 주기 함수 $f(t)$ 의 라플라스 변환은 일반적으로 다음과 같이 표현된다:

$\mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$

하지만 주기 함수의 특성상, 우리는 단일 주기 구간인 $0 \leq t < T$ 만 고려하고, 나머지 부분은 주기성에 기반해 반복된다고 가정할 수 있다. 따라서, 주기 함수의 라플라스 변환은 다음과 같이 수정된다:

$\mathcal{L} \{ f(t) \} = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T f(t) e^{-st} dt$

위 식에서 $\frac{1}{1 - e^{-sT}}$ 는 주기성에 의해 도출된 계수이다.

주기 함수의 라플라스 변환 계산 과정

주기 함수 $f(t)$ 가 주어졌을 때, 주기 $T$ 에 대해 단일 주기 구간 $[0, T]$ 에서의 라플라스 변환을 먼저 계산한다. 이를 통해 전체 주기 함수의 라플라스 변환을 얻을 수 있다. 단계는 다음과 같다:

주기 구간 $[0, T]$ 에서의 라플라스 변환 계산:

$\int_0^T f(t) e^{-st} dt$

주기성으로 인해 전체 변환에 영향을 미치는 계수 $\frac{1}{1 - e^{-sT}}$ 를 곱하여 최종 라플라스 변환을 구한다:

$\mathcal{L} \{ f(t) \} = \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T f(t) e^{-st} dt$

예제: 사인 함수의 라플라스 변환

주기 함수의 라플라스 변환을 구체적으로 살펴보기 위해, 대표적인 주기 함수인 사인 함수 $\sin(\omega t)$ 의 라플라스 변환을 계산해 보자. 사인 함수의 주기는 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 이며, 주기 함수의 라플라스 변환 공식을 적용할 수 있다.

사인 함수는 다음과 같이 정의된다:

$f(t) = \sin(\omega t)$

주어진 주기 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 에 대해, 라플라스 변환의 첫 번째 단계로서, $0 \leq t < T$ 구간에서 라플라스 변환을 계산한다.

주기 구간 $0 \leq t < T$ 에서의 라플라스 변환:

$\int_0^T \sin(\omega t) e^{-st} dt$

이 적분을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

$\int_0^T \sin(\omega t) e^{-st} dt = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

주기성을 반영한 전체 라플라스 변환:

위에서 얻은 값을 주기성 계수 $\frac{1}{1 - e^{-sT}}$ 와 곱하여 전체 라플라스 변환을 구한다.

$\mathcal{L} \{ \sin(\omega t) \} = \frac{\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}}{1 - e^{-sT}}$

이 식이 주기적인 사인 함수의 라플라스 변환이다.

주기 함수의 라플라스 변환의 특징

주기 함수의 라플라스 변환은 주기성으로 인해 반복적인 성분을 포함하게 되며, 주기성 계수 $\frac{1}{1 - e^{-sT}}$ 는 주파수 도메인에서 주기적인 특성을 반영하는 중요한 요소이다. 이 계수는 $s$ -평면에서 극점과 영점의 배치를 결정하며, 신호의 주기성과 감쇠 특성에 따라 달라진다.

주기 함수의 라플라스 변환을 구하는 데 있어서 중요한 점은, 함수가 특정 구간에서 정의된 형태를 가지고 있더라도, 이를 전체 시간 축에 걸쳐 반복되는 형태로 확장할 수 있다는 것이다. 이러한 주기성은 주기 함수의 라플라스 변환을 계산할 때 필수적으로 고려해야 하는 요소이다.