선형성 - 실험 도서관

라플라스 변환의 성질 중 하나인 선형성은 두 함수의 선형 결합에 대한 라플라스 변환이 각 함수의 라플라스 변환의 선형 결합과 동일함을 의미한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 임의의 상수이고, $f(t)$ 와 $g(t)$ 는 시간에 의존하는 함수이다. 각 함수 $f(t)$ 와 $g(t)$ 의 라플라스 변환을 각각 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 와 $\mathcal{L}\{g(t)\}$ 로 나타낼 수 있다.

이 성질은 주로 시스템이 선형적이라는 가정 하에 사용된다. 선형 시스템에서는 입력 신호의 선형 결합에 대해 출력이 동일한 방식으로 결합된다는 것을 의미한다. 이는 라플라스 변환을 활용한 시스템 해석에서 매우 유용하다.

선형성의 수식적 증명

우선, 라플라스 변환의 정의는 다음과 같다.

$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt$

이 정의를 선형 결합 $a f(t) + b g(t)$ 에 적용하면:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = \int_0^\infty \left( a f(t) + b g(t) \right) e^{-st} \, dt$

적분을 분리하면:

$= a \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt + b \int_0^\infty g(t) e^{-st} \, dt$

따라서:

$= a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}$

이로써 라플라스 변환의 선형성을 수식적으로 증명할 수 있다.

예제

선형성을 이해하기 위해 간단한 예를 살펴보자. 함수 $f(t) = e^{at}$ 와 $g(t) = \sin(bt)$ 의 선형 결합을 고려하자. 상수 $a_1$ 와 $a_2$ 에 대한 선형 결합을 다음과 같이 정의한다.

$h(t) = a_1 e^{at} + a_2 \sin(bt)$

이제 이 함수의 라플라스 변환을 구해보겠다. 먼저, 개별 함수들의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}, \quad \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2 + b^2}$

따라서 함수 $h(t)$ 의 라플라스 변환은:

$\mathcal{L}\{h(t)\} = a_1 \frac{1}{s - a} + a_2 \frac{b}{s^2 + b^2}$

이처럼, 함수들의 선형 결합에 대한 라플라스 변환은 각 함수의 라플라스 변환의 선형 결합과 동일한다.

선형성을 활용한 시스템 해석

라플라스 변환의 선형성은 다양한 시스템 해석에 매우 유용하게 사용된다. 시스템의 입력 신호가 선형적으로 결합되어 있을 때, 해당 시스템의 출력도 동일하게 선형적으로 결합된다는 사실을 활용할 수 있기 때문이다.

예를 들어, 두 입력 신호 $f(t)$ 와 $g(t)$ 를 입력으로 받는 선형 시스템을 고려해 봅시다. 시스템의 응답은 두 입력 신호의 라플라스 변환에 대한 응답으로 나뉘어진다.

시스템의 전달 함수

라플라스 변환에서 선형 시스템은 일반적으로 전달 함수 $H(s)$ 로 표현된다. 입력 $X(s)$ 와 출력 $Y(s)$ 의 관계는 다음과 같다.

$Y(s) = H(s) X(s)$

이때 입력이 선형 결합 $X(s) = a_1 X_1(s) + a_2 X_2(s)$ 라면, 출력 역시 선형적으로 결합된다.

$Y(s) = H(s) \left( a_1 X_1(s) + a_2 X_2(s) \right) = a_1 H(s) X_1(s) + a_2 H(s) X_2(s)$

따라서, 시스템 응답은 각각의 입력에 대한 응답의 선형 결합으로 표현된다.

전기 회로에서의 응용

선형성을 전기 회로 해석에 적용해보면, 여러 입력 전압이 결합된 회로에서 각 입력 전압에 대한 응답을 개별적으로 계산한 뒤, 이를 결합하여 전체 응답을 쉽게 구할 수 있다.

예를 들어, 저항, 코일, 콘덴서가 포함된 RLC 회로의 경우, 여러 입력 전압이 있는 경우에도 회로의 응답은 각 입력 신호에 대한 응답을 계산한 후 선형적으로 결합하면 된다. 이는 라플라스 변환의 선형성에 의해 성립하며, 계산 과정이 크게 간소화된다.

시스템 안정성 분석

라플라스 변환의 선형성은 시스템의 안정성 분석에서도 매우 유용하게 사용된다. 시스템이 선형적일 때, 입력 신호의 변화가 출력 신호에 어떻게 영향을 미치는지를 예측할 수 있으며, 이는 시스템의 응답 특성과 안정성을 파악하는 데 중요한 역할을 한다.

특히, 제어 시스템에서는 라플라스 변환을 사용하여 시스템의 전달 함수로부터 극점(pole)과 영점(zero)을 분석함으로써 시스템의 안정성을 결정할 수 있다. 선형 시스템에서는 선형성을 통해 입력 신호의 크기나 형태에 관계없이 시스템의 응답 특성을 일관되게 유지할 수 있다.