상태 추정 문제

필터링 문제의 핵심은 시간에 따라 변하는 시스템의 상태를 관측 가능한 데이터를 기반으로 추정하는 것이다. 시스템의 상태란 해당 시스템이 특정 시점에서 가지는 내부적인 변수들의 집합을 의미한다. 이 상태 변수들은 직접적으로 관측할 수 없는 경우가 많기 때문에, 관측 가능한 외부 데이터를 통해 간접적으로 추정해야 한다. 예를 들어, 항법 시스템에서는 현재 위치와 속도를 상태 변수로 간주할 수 있으며, 이는 GPS 신호와 같은 관측 데이터를 통해 추정된다.

상태 공간 모델의 필요성

필터링 문제를 정의하기 위해서는 시스템의 동작을 설명하는 수학적 모델이 필요하다. 일반적으로 사용되는 모델은 상태 공간 모델(State-Space Model)이다. 상태 공간 모델은 시스템의 동적인 행동을 두 가지 주요 방정식, 즉 상태 방정식과 관측 방정식으로 설명한다.

• 상태 방정식은 현재 상태가 이전 상태와 시스템의 입력에 의해 어떻게 변화하는지를 기술한다. 이는 일반적으로 선형 방정식으로 표현되며, 시스템의 동적 특성을 반영한다.

• 관측 방정식은 현재 상태와 관측 가능한 데이터 사이의 관계를 정의한다. 이 방정식도 선형으로 가정되며, 상태 변수에서 관측 데이터로의 매핑을 설명한다.

이 두 방정식은 시스템의 내재적 동작과 외부 관측 간의 관계를 수학적으로 명확히 함으로써 필터링 문제를 구조화하는 데 중요한 역할을 한다.

시스템 노이즈와 측정 노이즈

실제 시스템에서 상태 변수와 관측 데이터는 다양한 형태의 노이즈(noise)에 의해 오염된다. 필터링 문제에서 다루는 노이즈는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.

• 시스템 노이즈(또는 과정 노이즈): 이는 상태 변수의 진화를 방해하는 불확실성을 나타낸다. 예를 들어, 항법 시스템에서 차량의 이동은 바람이나 도로 상태 등 다양한 외부 요인에 의해 영향을 받을 수 있다. 이러한 불확실성은 상태 방정식에 포함된 노이즈 항으로 모델링된다.

• 측정 노이즈: 이는 센서나 측정 기기에서 발생하는 불확실성을 나타낸다. 예를 들어, GPS 신호는 대기 조건, 다중 경로 효과 등으로 인해 오차가 발생할 수 있다. 측정 노이즈는 관측 방정식에 포함되어 모델링된다.

이 노이즈들은 통상적으로 평균이 0이고, 가우시안 분포를 따르는 랜덤 변수로 가정된다. 이는 필터링 문제를 풀기 위한 칼만 필터의 기본 가정 중 하나이다.

필터링의 목표

필터링 문제에서의 목표는 주어진 관측 데이터와 시스템 모델을 바탕으로, 시스템의 현재 상태를 가장 잘 추정하는 것이다. 이 때 "가장 잘 추정한다"는 의미는 통계적으로 최적화된 추정을 의미하며, 일반적으로 추정 오차의 공분산을 최소화하는 방식으로 정의된다. 칼만 필터는 이러한 최적화를 달성하기 위해 설계된 알고리즘이다.

필터링 문제는 다수의 응용 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 시스템이 불확실하고 시간이 지남에 따라 변화하는 환경에서 필터링의 필요성이 더욱 강조된다. 칼만 필터는 이러한 요구에 부응하여 상태 추정의 정확도를 극대화하는 방법론을 제공한다.

가우시안 가정의 중요성

칼만 필터에서 필터링 문제를 정의할 때 중요한 가정 중 하나는 상태 변수와 노이즈가 가우시안 분포를 따른다는 것이다. 이 가정은 칼만 필터가 최적의 추정을 제공할 수 있는 이유 중 하나다. 가우시안 분포의 중요한 특징은 다음과 같다.

• 1차 및 2차 순간(moment)의 결정: 가우시안 분포는 평균과 분산(또는 공분산)으로 완전히 정의된다. 이는 상태 변수의 평균을 상태의 최선의 추정값으로, 공분산을 추정 오차의 신뢰도로 해석할 수 있게 해준다.

• 선형 변환에서의 불변성: 가우시안 분포는 선형 변환에 대해 불변성을 가지며, 이 특성은 칼만 필터의 상태 예측 및 갱신 과정에서 중요하다. 상태 방정식과 관측 방정식이 선형일 때, 상태 변수와 관측치가 가우시안 분포를 따르는 경우, 필터링 과정에서의 추정치도 여전히 가우시안 분포를 따른다.

• 베이지안 추론의 용이성: 칼만 필터는 베이지안 추론에 기반하여 상태를 추정한다. 가우시안 분포를 가정하면, 베이지안 업데이트 과정이 상대적으로 단순해지며, 상태 추정 과정이 계산적으로 효율적이 된다. 이는 필터링 문제를 실시간으로 처리해야 하는 다양한 응용 분야에서 칼만 필터의 사용을 가능하게 하는 중요한 이유다.

필터링 문제의 수학적 정식화

필터링 문제를 공식적으로 정식화하기 위해 다음과 같은 수학적 표현이 필요하다.

• 상태 방정식:

여기서 $\mathbf{x}_k$는 시점 $k$에서의 상태 벡터, $\mathbf{F}_k$는 상태 전이 행렬, $\mathbf{u}_k$는 시스템 입력, $\mathbf{B}_k$는 입력에 대한 상태 변환 행렬, $\mathbf{w}_k$는 시스템 노이즈를 나타낸다.

• 관측 방정식:

여기서 $\mathbf{z}_k$는 시점 $k$에서의 관측 벡터, $\mathbf{H}_k$는 관측 모델 행렬, $\mathbf{v}_k$는 측정 노이즈를 나타낸다.

위의 방정식들은 칼만 필터 알고리즘이 수행될 수 있는 기본 틀을 제공하며, 상태 추정 과정은 이 방정식들을 기반으로 시간적 업데이트와 측정적 업데이트를 통해 이루어진다.

초기 조건과 필터링 문제의 시작점

필터링 문제에서 초기 조건의 설정은 매우 중요한 역할을 한다. 초기 상태에 대한 불확실성은 필터의 초기 추정치의 신뢰도에 큰 영향을 미치며, 시스템이 시간이 지남에 따라 안정적으로 수렴하도록 보장하기 위해 초기 상태의 분포를 적절히 설정하는 것이 중요하다.

• 초기 상태 추정 ($\mathbf{x}_0$): 시스템에 대한 초기 정보가 있다면, 초기 상태를 설정할 수 있다. 그러나 대부분의 경우, 초기 상태는 불확실하기 때문에 이는 분포로 표현된다.

• 초기 공분산 ($\mathbf{P}_0$): 초기 상태 추정의 불확실성을 나타내는 초기 공분산 행렬은 필터링 과정에서 추정 오차의 신뢰도를 나타낸다. 초기 공분산이 너무 크면 초기 상태 추정이 매우 불확실하다는 것을 의미하며, 너무 작으면 과도한 신뢰를 나타낸다.

초기 조건 설정이 잘못되면 필터의 초기 단계에서 심각한 추정 오류가 발생할 수 있으며, 이는 필터의 전체 성능에 악영향을 미칠 수 있다. 따라서 초기 조건 설정은 신중한 고려가 필요하다.

필터링 문제의 유형

필터링 문제는 시스템의 특성과 요구되는 성능에 따라 다양한 유형으로 나뉠 수 있다. 이 섹션에서는 필터링 문제를 분류하는 몇 가지 기준을 살펴본다.

시간 영역에 따른 분류

• 이산 시간 필터링(Discrete-Time Filtering): 이 유형의 필터링 문제는 시스템 상태와 관측 데이터가 이산적인 시간 간격에서만 갱신되는 경우를 다룬다. 칼만 필터의 기본 형태는 이산 시간 시스템에 적합하며, 많은 디지털 시스템에서 이러한 모델이 적용된다.

• 연속 시간 필터링(Continuous-Time Filtering): 연속 시간 필터링 문제는 상태와 관측이 연속적으로 변화하는 시스템에서 발생한다. 이러한 경우에는 연속 시간 칼만 필터가 적용되며, 필터 방정식은 미분 방정식으로 표현된다. 항공기 제어 시스템이나 연속적인 공정 제어와 같은 분야에서 사용된다.

시스템 선형성에 따른 분류

• 선형 필터링 문제(Linear Filtering Problem): 시스템의 상태 방정식과 관측 방정식이 모두 선형 형태를 가지는 경우를 다룬다. 칼만 필터는 본질적으로 선형 시스템을 대상으로 설계되었으며, 이 경우 필터링 문제는 최적해를 가진다.

• 비선형 필터링 문제(Nonlinear Filtering Problem): 시스템이 비선형 방정식으로 표현되는 경우이다. 이 경우, 기본 칼만 필터는 적용될 수 없으며, 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)나 다른 비선형 필터링 기법이 필요하다. 하지만 이 책에서는 비선형 필터링 문제는 다루지 않는다.

측정 가용성에 따른 분류

• 완전 관측 문제(Fully Observable Problem): 시스템의 모든 상태 변수가 관측 데이터를 통해 직접적으로 추정될 수 있는 경우이다. 이 경우, 상태 추정이 비교적 용이하며, 필터링 성능이 높다.

• 부분 관측 문제(Partially Observable Problem): 일부 상태 변수는 관측 데이터를 통해 직접적으로 추정할 수 없는 경우이다. 이 경우, 필터는 관측되지 않는 상태 변수들을 추정하기 위해 보다 복잡한 추론 과정을 거쳐야 하며, 상태 추정의 불확실성이 커질 수 있다.

필터링 문제의 응용

필터링 문제는 다양한 산업 및 연구 분야에서 필수적인 도구로 사용된다. 다음은 칼만 필터를 활용한 주요 응용 사례를 간략히 소개한다.

• 항공우주 및 항법 시스템: 칼만 필터는 항공기나 우주선의 위치, 속도, 가속도를 추정하는 데 널리 사용된다. 관측치(예: GPS 데이터)와 시스템 모델(예: 항공 역학 모델)을 결합하여 항법 솔루션을 제공한다.

• 로보틱스: 로봇의 위치 추정(Localization)과 경로 추적(Path Tracking)에서 칼만 필터는 로봇의 상태를 추정하고, 주어진 목표로 이동하는 동안 장애물을 피하는 데 사용된다.

• 경제 및 금융 모델링: 경제 데이터의 노이즈를 제거하고, 숨겨진 경제 지표(예: 인플레이션 기대치)를 추정하는 데 사용된다. 칼만 필터는 또한 금융 시장에서 가격 추세를 예측하거나 변동성을 분석하는 데 사용된다.

• 신호 처리: 디지털 신호 처리에서 칼만 필터는 노이즈가 포함된 신호에서 유용한 정보를 추출하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 레이더 신호에서 목표물의 위치를 추적할 때 사용된다.

이러한 응용 사례들은 필터링 문제가 실제 시스템에서 어떤 역할을 하는지에 대한 구체적인 이해를 돕는다. 칼만 필터는 이처럼 다양한 상황에서 상태 추정을 위한 강력한 도구로 자리 잡고 있다.

필터링 문제의 수학적 최적화

필터링 문제의 정의에서 중요한 부분 중 하나는 상태 추정의 최적화 과정이다. 필터링 문제는 주어진 조건 하에서 상태 추정의 오차를 최소화하는 방향으로 설계된다. 이러한 최적화는 통계적 기준을 기반으로 하며, 일반적으로 최소 분산 추정(Minimum Variance Estimation)을 목표로 한다.

최소 분산 추정

최소 분산 추정은 필터링 문제에서 가장 흔하게 사용되는 최적화 기준이다. 이 개념은 상태 추정값이 실제 상태와의 차이, 즉 오차가 가질 수 있는 분산을 최소화하는 것을 의미한다. 이는 다음과 같은 수학적 표현으로 나타낼 수 있다.

• 추정 오차:

여기서 $\mathbf{e}_k$는 실제 상태 $\mathbf{x}_k$와 추정된 상태 $\hat{\mathbf{x}}_k$ 간의 차이를 나타낸다.

• 추정 오차의 공분산 행렬:

이 행렬은 추정 오차의 통계적 분포를 나타내며, 필터링 문제에서 이를 최소화하는 것이 목표이다. 칼만 필터는 이러한 공분산 행렬을 갱신하고 최소화하는 방향으로 설계되어 있다.

베이지안 추론과 최적화

칼만 필터는 베이지안 추론을 기반으로 상태를 최적화한다. 베이지안 접근법은 새로운 데이터가 주어졌을 때, 이전에 알고 있던 정보(사전 확률)를 업데이트하여 새로운 추정치(사후 확률)를 제공하는 방식으로 작동한다. 필터링 문제에서는 상태 변수의 사전 분포와 관측 데이터가 결합되어 사후 분포를 형성하며, 이 사후 분포의 평균이 최적의 상태 추정치로 간주된다.

베이지안 추론에서 최적화 과정은 다음의 두 단계로 나뉜다.

• 예측 단계(Prediction Step): 이전 시점의 상태 추정값과 상태 방정식을 사용하여 현재 시점의 상태를 예측한다. 이 과정에서 시스템 노이즈가 반영되어 상태 추정값의 불확실성(공분산)이 증가한다.

• 갱신 단계(Update Step): 관측 데이터가 들어오면, 예측된 상태 추정값을 이 데이터와 결합하여 상태를 갱신한다. 이 과정에서 칼만 이득(Kalman Gain)이 계산되며, 관측 데이터의 신뢰도와 상태 예측의 불확실성 간의 균형을 맞추어 최적의 상태 추정값을 얻는다.

베이지안 추론을 기반으로 한 이러한 최적화 과정은 필터링 문제에서 상태 추정의 정확도를 높이는 핵심 요소이다.

최적화의 실시간 처리

실제 시스템에서 필터링 문제를 다룰 때 중요한 고려 사항은 실시간 처리 능력이다. 필터는 시스템이 작동하는 동안 연속적으로 상태를 추정해야 하며, 이는 매우 제한된 시간 내에 이루어져야 한다. 칼만 필터는 이산 시간 필터링 문제에서 특히 효과적이며, 각 시간 단계에서 빠르게 상태를 예측하고 갱신할 수 있다.

실시간 처리를 위한 최적화는 다음과 같은 요소들을 포함한다.

• 계산 복잡도의 최소화: 칼만 필터의 알고리즘은 선형 대수학적 연산을 기반으로 하며, 이로 인해 계산 복잡도가 상대적으로 낮다. 이는 실시간 시스템에서 중요한 특성이다.

• 메모리 효율성: 칼만 필터는 상태 추정과 관련된 최소한의 데이터만을 저장하고 업데이트하기 때문에, 메모리 사용량이 적다. 이는 임베디드 시스템이나 제한된 자원을 가진 시스템에서 유리하다.

• 수치적 안정성: 필터링 문제에서 수치적 안정성은 매우 중요한데, 이는 필터의 예측과 갱신 과정에서 발생할 수 있는 작은 수치적 오차가 시간이 지남에 따라 축적되지 않도록 보장하는 것이다. 칼만 필터는 이러한 수치적 안정성을 유지하는 데 효과적인 구조를 가지고 있다.

필터링 문제의 확장 가능성

필터링 문제는 다양한 시스템과 상황에 적용될 수 있으며, 이를 위한 여러 가지 확장 및 변형이 존재한다. 이 섹션에서는 필터링 문제를 다양한 조건에 맞게 확장하는 방법에 대해 다룬다.

다중 센서 통합과 필터링 문제

다중 센서를 사용하는 시스템에서는 각 센서로부터 얻은 데이터를 통합하여 보다 정확한 상태 추정을 수행해야 한다. 이런 경우, 필터링 문제는 여러 센서 데이터를 동시에 처리하고, 이들 간의 상관관계를 고려하여 최적의 상태 추정을 수행하는 방식으로 확장된다.

• 센서 퓨전(Sensor Fusion): 여러 센서로부터 얻은 정보를 통합하여 더 신뢰할 수 있는 상태 추정을 수행하는 과정이다. 센서들은 서로 다른 특성과 노이즈 프로파일을 가지므로, 이들을 효과적으로 결합하는 것이 필수적이다. 칼만 필터는 다중 센서 데이터의 가중치를 동적으로 조정하며, 각 센서의 신뢰도에 따라 데이터의 영향을 반영한다.

• 분산 필터링(Distributed Filtering): 다중 센서 네트워크에서 각 센서가 독립적으로 상태 추정을 수행한 후, 이 추정치를 결합하여 전체 시스템의 상태를 추정하는 방식이다. 이러한 접근은 특히 네트워크의 통신 대역폭이 제한적이거나 센서들이 물리적으로 멀리 떨어져 있는 경우에 유용하다.

상태 추정의 불확실성 관리

필터링 문제에서 다루는 시스템이 시간에 따라 변화하거나, 모델의 정확도가 떨어지는 경우, 필터의 상태 추정 정확도는 불확실성을 수반한다. 이러한 불확실성을 효과적으로 관리하는 방법이 필요하다.

• 모델 불확실성: 실제 시스템이 필터의 모델과 일치하지 않는 경우, 필터의 추정 오차가 커질 수 있다. 이 경우, 필터링 문제를 해결하기 위해 모델을 유연하게 수정하거나, 가변적인 노이즈 공분산 행렬을 사용하는 방법이 적용될 수 있다.

• 적응형 필터(Adaptive Filter): 시스템의 동작이 시간이 지남에 따라 변하거나, 노이즈의 특성이 변화하는 경우, 필터는 이러한 변화에 적응해야 한다. 적응형 필터는 필터 파라미터(예: 칼만 이득, 노이즈 공분산 행렬)를 실시간으로 조정하여 상태 추정의 정확도를 유지한다.

• 강건 필터(Robust Filter): 강건 필터는 시스템 모델의 불확실성이나 외부의 비정상적인 노이즈 조건에도 견딜 수 있도록 설계된 필터이다. 강건 필터링 문제는 표준 칼만 필터의 한계를 극복하기 위해 보다 복잡한 수학적 기법을 사용하여 상태 추정의 신뢰성을 높인다.

필터링 문제의 예측과 제어

필터링 문제는 상태 추정뿐만 아니라, 예측 및 제어와 밀접하게 연관된다. 필터는 현재 상태를 기반으로 미래 상태를 예측하고, 이를 제어 시스템에 적용하여 최적의 제어 입력을 생성할 수 있다.

• 예측(Prediction): 필터는 시스템의 현재 상태를 기반으로 미래의 상태를 예측할 수 있다. 이는 특히 제어 시스템에서 중요한데, 예측된 상태를 바탕으로 시스템의 제어 전략을 설계할 수 있기 때문이다. 예측 단계는 필터링 문제에서 중요한 역할을 하며, 미래의 관측 데이터를 대처하는 데 필수적이다.

• 제어(Control): 상태 추정이 제어 시스템의 피드백 루프에 통합될 때, 필터는 시스템의 성능을 향상시키는 데 중요한 역할을 한다. 제어 이론에서 칼만 필터는 최적 제어 이론과 결합되어, 상태 추정의 정확도를 기반으로 한 최적 제어 입력을 계산하는 데 사용된다.

필터링 문제의 확장 가능성은 칼만 필터의 응용 범위를 크게 넓히며, 이를 다양한 상황과 시스템에 맞게 조정할 수 있게 한다. 이러한 확장은 필터링 문제를 보다 복잡한 시스템에도 적용할 수 있게 하며, 실세계에서의 필터링 문제 해결에 있어서 중요한 역할을 한다.

필터링 문제에서의 수렴성과 안정성

필터링 문제에서 필터의 성능을 평가하는 중요한 요소 중 하나는 필터의 수렴성과 안정성이다. 수렴성과 안정성은 필터가 시간이 지남에 따라 시스템의 실제 상태에 점차 근접하게 추정하는 능력을 의미하며, 이는 필터링 문제를 성공적으로 해결하는 데 필수적이다.

수렴성(Convergence)

필터의 수렴성은 초기 조건과 무관하게 필터가 일정 시간 이후 시스템의 상태에 대해 정확한 추정을 제공하는지를 나타낸다. 수렴성을 보장하기 위해서는 다음과 같은 조건들이 필요하다.

• 시스템의 안정성: 시스템이 시간에 따라 안정적으로 작동해야 한다. 이는 시스템의 상태 전이 행렬 $\mathbf{F}_k$가 안정적인 고유값을 가져야 함을 의미한다. 고유값이 단위 원 내에 존재하는 경우, 시스템은 시간이 지남에 따라 안정된 상태로 수렴할 가능성이 높다.

• 초기 공분산의 적절성: 초기 상태 추정의 공분산 행렬 $\mathbf{P}_0$가 적절히 설정되어야 한다. 너무 작은 공분산은 필터가 초기 오차에 지나치게 자신감을 가지게 하며, 너무 큰 공분산은 필터가 오랜 시간 동안 불확실한 상태를 유지하게 만든다.

• 관측 가용성: 충분한 관측 데이터가 지속적으로 제공되어야 한다. 관측 데이터가 부족하거나 불규칙하게 제공될 경우, 필터는 수렴하지 않고 불안정한 상태를 유지할 수 있다.

안정성(Stability)

필터의 안정성은 필터가 외부 요인이나 내부 노이즈에도 불구하고 상태 추정을 지속적으로 안정적으로 수행할 수 있는지를 나타낸다. 필터가 불안정해지면, 추정치가 폭발하거나 매우 큰 오차를 가지게 되어 시스템의 신뢰성을 잃을 수 있다.

• 노이즈 특성의 이해: 시스템 노이즈 $\mathbf{w}_k$와 측정 노이즈 $\mathbf{v}_k$의 통계적 특성을 잘 이해하고 모델링해야 한다. 칼만 필터는 노이즈가 가우시안 분포를 따른다는 가정 하에 작동하기 때문에, 노이즈가 이 가정을 크게 벗어날 경우 필터의 안정성이 저하될 수 있다.

• 필터 파라미터의 조정: 칼만 필터의 성능은 주로 필터 이득(Kalman Gain)과 관련이 있으며, 이는 노이즈 공분산 행렬 $\mathbf{Q}_k$와 $\mathbf{R}_k$에 의해 결정된다. 이들 파라미터는 필터의 반응성을 조절하는 중요한 요소로, 상황에 맞게 적절히 조정해야 필터의 안정성이 보장된다.

• 수치적 오류의 관리: 필터링 문제를 풀 때 발생할 수 있는 수치적 오류를 최소화하는 것도 필터의 안정성에 중요하다. 이는 특히 필터의 갱신 과정에서 나타날 수 있는 작은 수치적 오차가 시간이 지나면서 필터의 성능에 큰 영향을 미칠 수 있기 때문이다. 수치적 안정성을 유지하기 위해서는 연산 과정에서 발생하는 부동소수점 오류나 행렬 연산의 수치적 안정성을 주의 깊게 관리해야 한다.

필터링 문제의 해석과 시각화

필터링 문제에서 추정된 상태와 관련된 정보를 해석하고 시각화하는 것은 필터의 성능을 평가하고, 시스템에 대한 이해를 깊게 하는 데 매우 중요한 단계이다.

상태 추정의 시각화

필터의 결과를 시각화함으로써 상태 추정이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 직관적으로 이해할 수 있다. 이는 필터링 문제에서 얻어진 데이터를 분석하고, 필터의 성능을 평가하는 데 중요한 도구가 된다.

• 시간에 따른 상태 변수의 추정치 플롯: 시간 축에 따라 필터가 추정한 상태 변수를 그래프로 표시하여, 상태 추정이 어떻게 변화했는지를 시각적으로 확인할 수 있다. 이러한 플롯은 필터가 얼마나 정확하게 작동했는지, 노이즈에 어떻게 반응했는지를 평가하는 데 유용하다.

• 추정 오차 공분산의 시각화: 필터의 추정 오차 공분산 행렬 $\mathbf{P}_k$의 변화도 시각화할 수 있다. 이 행렬은 필터링 문제에서 추정의 불확실성을 나타내며, 시간이 지남에 따라 공분산이 어떻게 감소하거나 변화했는지를 분석할 수 있다.

필터 성능의 평가

필터링 문제에서 필터의 성능을 평가하기 위해 다양한 지표가 사용될 수 있다. 이러한 지표들은 필터가 실제 시스템 상태를 얼마나 정확하게 추정하는지를 평가하는 데 사용된다.

• 루트 평균 제곱 오차(RMSE): 상태 추정치와 실제 상태 간의 평균 오차를 제곱한 값의 제곱근으로 계산되는 RMSE는 필터의 정확성을 평가하는 대표적인 지표이다. RMSE가 작을수록 필터의 성능이 좋다는 것을 의미한다.

• 노이즈에 대한 민감도 분석: 필터가 입력 노이즈와 측정 노이즈에 어떻게 반응하는지를 분석하여, 필터가 다양한 환경에서 얼마나 견고하게 작동하는지를 평가할 수 있다. 노이즈 공분산 행렬을 변화시켜가며 필터의 성능 변화를 관찰할 수 있다.

• 이상 데이터에 대한 필터의 반응: 필터링 문제에서는 실제 데이터에 이상치가 포함될 수 있다. 필터가 이러한 이상치에 대해 얼마나 견고한지를 평가하는 것도 중요하다. 필터가 이상치에 과민하게 반응하지 않고, 상태 추정이 크게 흔들리지 않는지를 분석한다.

이러한 해석과 시각화 과정은 필터링 문제의 복잡성을 줄이고, 필터의 성능을 향상시키는 데 필수적인 단계이다. 필터링 문제를 실질적으로 해결하기 위해서는 추정 결과를 단순히 숫자로만 보지 않고, 이를 시각적으로 분석하고, 다양한 평가 지표를 통해 필터의 강점을 최대한 활용하는 것이 중요하다.

이로써 필터링 문제의 정의와 관련된 주요 개념들을 모두 다루었다.