선형 시스템의 기본 이론 - 소프트웨어 융합

선형 시스템의 정의

선형 시스템은 입력과 출력 사이의 관계가 선형적으로 표현될 수 있는 시스템을 말한다. 이러한 시스템에서는 중첩의 원리가 적용되며, 이는 시스템의 출력이 입력의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 즉, 두 개의 입력에 대해 각각의 출력이 존재할 때, 이 입력의 선형 결합에 대해 출력도 동일한 방식으로 결합된다.

수학적으로, 선형 시스템은 다음과 같은 형태로 표현된다:

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(t)$

여기서 $\mathbf{y}(t)$ 는 출력, $\mathbf{x}(t)$ 는 상태 벡터, $\mathbf{u}(t)$ 는 입력 벡터를 의미하며, $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 는 시스템 행렬이다. 이 시스템 행렬들은 상태와 입력이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 정의한다.

선형 시스템의 시간 불변성 (Time-Invariance)

시간 불변성(Time-Invariance)은 선형 시스템의 중요한 속성 중 하나로, 시스템의 성능이 시간에 따라 변화하지 않음을 의미한다. 즉, 입력이 시간 축에서 이동하면, 출력도 동일한 양만큼 이동하게 된다.

시간 불변 시스템은 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{y}(t - \tau) = \mathcal{S} \{ \mathbf{u}(t - \tau) \}$

여기서 $\tau$ 는 시간 이동 양을 나타내며, $\mathcal{S}$ 는 시스템 연산자를 의미한다. 이러한 시간 불변성을 통해 시스템의 동작을 시간 축의 임의의 위치에서 동일하게 분석할 수 있다.

선형 연산자의 특성

선형 시스템의 핵심 요소는 선형 연산자이다. 선형 연산자는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 결정하며, 이는 주로 행렬 형태로 표현된다. 이러한 선형 연산자는 다음과 같은 두 가지 주요 특성을 가진다:

가법성 (Additivity): 두 입력 $\mathbf{u}_1(t)$ 와 $\mathbf{u}_2(t)$ 에 대해 시스템이 선형이라면, 그 합에 대한 출력은 개별 출력의 합과 동일하다:

$\mathcal{S}\{\mathbf{u}_1(t) + \mathbf{u}_2(t)\} = \mathcal{S}\{\mathbf{u}_1(t)\} + \mathcal{S}\{\mathbf{u}_2(t)\}$

동차성 (Homogeneity): 입력이 어떤 스칼라 상수 $c$ 로 곱해질 때, 출력도 동일한 상수로 곱해진다:

$\mathcal{S}\{c \cdot \mathbf{u}(t)\} = c \cdot \mathcal{S}\{\mathbf{u}(t)\}$

이 두 가지 특성은 선형 시스템의 근본적인 성질로, 다양한 복잡한 시스템을 단순한 구성 요소로 분해하여 분석할 수 있게 한다.

상태 공간 표현(State-Space Representation)

선형 시스템은 상태 공간 표현을 통해 시간에 따른 시스템의 동작을 기술할 수 있다. 상태 공간 표현은 시스템의 상태를 나타내는 벡터와 이를 시간에 따라 변화시키는 행렬을 사용하여 시스템을 모델링한다. 이러한 모델은 연립 1차 미분 방정식의 형태로 주어지며, 일반적으로 다음과 같은 두 가지 방정식으로 구성된다:

상태 방정식:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(t)$

여기서 $\dot{x}(t)$ 는 상태 벡터 $x(t)$ 의 시간에 대한 미분, 즉 시스템의 동적 변화를 나타낸다.

출력 방정식:

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \cdot \mathbf{u}(t)$

이 방정식은 시스템의 상태 $\mathbf{x}(t)$ 와 입력 $\mathbf{u}(t)$ 로부터 실제로 관측 가능한 출력 ${y}(t)$ 을 결정한다.

선형 시스템의 전달 함수 (Transfer Function)

선형 시스템은 전달 함수(Transfer Function)를 통해 주파수 영역에서 분석될 수 있다. 전달 함수는 시스템의 입출력 관계를 주파수 도메인에서 나타내며, 주로 라플라스 변환(Laplace Transform)을 통해 유도된다. 전달 함수 $H(s)$ 는 다음과 같이 정의된다:

$H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

여기서 $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환, $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환이다. 전달 함수는 시스템의 입력이 특정 주파수를 가질 때, 출력이 어떻게 변화하는지를 분석하는 데 사용된다.

상태 천이 행렬 (State Transition Matrix)

상태 천이 행렬(State Transition Matrix)은 시간에 따른 시스템의 상태 변화를 나타내는 중요한 도구이다. 상태 천이 행렬 $\Phi(t)$ 는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$\mathbf{x}(t) = \Phi(t) \cdot \mathbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^{t} \Phi(t-\tau) \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(\tau) d\tau$

여기서 $\Phi(t)$ 는 상태 벡터가 시간 $t$ 에서 시간 $t_0$ 로 어떻게 변하는지를 나타내며, 이는 $A$ 행렬의 지수 함수로 계산된다.

고유값과 고유벡터 (Eigenvalues and Eigenvectors)

선형 시스템의 행렬 $\mathbf{A}$ 의 특성은 고유값(eigenvalues)과 고유벡터(eigenvectors)를 통해 깊이 이해할 수 있다. 고유값과 고유벡터는 시스템의 동작을 분석하고 시스템의 안정성, 응답 특성 등을 평가하는 데 중요한 역할을 한다.

고유값 문제는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} = \lambda \cdot \mathbf{v}$

여기서 $\mathbf{v}$ 는 고유벡터, $\lambda$ 는 고유값이다. 고유값은 행렬 $\mathbf{A}$ 가 어떤 스칼라 $\lambda$ 로 변환할 수 있는지를 나타내며, 고유벡터는 이러한 변환을 이루는 방향을 나타낸다.

고유값의 의미

고유값 $\lambda$ 는 시스템의 모드의 자연 진동수와 감쇠율을 나타낸다. 예를 들어, 시스템의 고유값이 실수일 경우, 시스템은 지수적으로 증가하거나 감소하는 응답을 보인다. 고유값이 복소수일 경우, 시스템은 진동을 하며 그 진폭이 증가하거나 감소하는 응답을 보인다.

실수 고유값: 시스템이 감쇠(damping)하거나 발산(divergent)하는 모드를 가진다.
복소수 고유값: 시스템이 진동성(resonant) 모드를 가진다. 여기서 실수부는 감쇠율, 허수부는 진동 주파수를 나타낸다.

고유벡터의 역할

고유벡터 $\mathbf{v}$ 는 시스템이 특정 모드로 동작할 때 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$ 의 방향을 나타낸다. 이는 시스템의 각 고유 모드에 대응하는 방향으로 상태가 변화하는 방식을 설명한다. 여러 고유벡터로 구성된 고유 공간(eigenspace)은 상태 공간에서 시스템의 동작을 분해하는 데 사용된다.

행렬 대각화와 시스템 분석

행렬 $\mathbf{A}$ 가 대각화 가능할 때, 즉 고유벡터가 선형 독립인 경우, $\mathbf{A}$ 는 다음과 같이 대각화될 수 있다:

$\mathbf{A} = \mathbf{v} \Lambda \mathbf{v}^{-1}$

여기서 $\mathbf{v}$ 는 고유벡터로 이루어진 행렬, $\Lambda$ 는 고유값이 대각선에 위치한 대각 행렬이다. 대각화된 행렬을 사용하면, 시스템의 동작을 각 고유 모드로 분리하여 분석할 수 있다. 이는 복잡한 시스템을 단순한 선형 결합으로 해석하는 데 큰 도움을 준다.

안정성 분석 (Stability Analysis)

선형 시스템의 안정성은 고유값을 통해 평가할 수 있다. 시스템이 안정적이기 위해서는 모든 고유값의 실수부가 음수여야 한다. 이러한 조건을 만족할 때, 시스템은 시간이 지남에 따라 안정된 상태로 수렴하게 된다.

안정 시스템: 모든 고유값의 실수부가 음수일 때, 시스템은 안정적이다. 상태는 시간이 지남에 따라 평형점으로 수렴한다.
불안정 시스템: 하나 이상의 고유값이 실수부가 양수일 때, 시스템은 불안정하다. 상태는 시간이 지남에 따라 발산한다.
경계 안정 시스템: 고유값의 실수부가 0인 경우, 시스템은 경계 안정 상태로 시간에 따라 변화하지 않거나 진동할 수 있다.

고유값 분포를 통해 시스템의 장기적인 동작을 예측할 수 있으며, 이는 시스템 설계와 제어 전략 수립에 중요한 정보를 제공한다.

응답 분석 (Response Analysis)

선형 시스템의 응답은 입력 신호에 대한 시스템의 반응을 나타낸다. 이러한 응답은 고유값과 고유벡터를 이용하여 각 모드로 분해할 수 있다. 시스템의 응답은 크게 두 가지로 분류된다:

자유 응답 (Free Response): 초기 조건에 의해서만 결정되는 시스템의 응답을 자유 응답이라 한다. 이는 외부 입력이 없을 때 시스템이 어떻게 동작하는지를 나타낸다. 자유 응답은 주로 시스템의 고유 모드에 따라 결정된다.
강제 응답 (Forced Response): 외부 입력에 의해 유도되는 시스템의 응답을 강제 응답이라 한다. 이는 입력 신호가 시스템에 어떤 영향을 미치는지를 설명하며, 시스템의 전달 함수에 의해 결정된다.

이 두 응답의 조합으로 시스템의 전체 응답이 형성되며, 이는 시스템의 초기 상태와 입력 신호에 따라 달라진다.

컨트롤러 설계의 기초 (Basic Concepts in Controller Design)

선형 시스템 이론은 컨트롤러 설계에 직접적으로 적용될 수 있다. 시스템의 상태를 원하는 대로 조절하기 위해 상태 피드백을 활용한 컨트롤러 설계가 이루어지며, 이는 주로 고유값 배치(Eigenvalue Placement) 기법을 통해 구현된다. 컨트롤러는 시스템의 고유값을 조정하여 원하는 동적 특성을 달성한다.

상태 피드백 제어 (State Feedback Control)

상태 피드백 제어는 시스템의 상태 벡터를 측정하고, 이를 바탕으로 제어 입력을 생성하는 방식이다. 상태 피드백의 기본 형태는 다음과 같다:

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \cdot \mathbf{x}(t)$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 상태 피드백 게인(gain) 행렬이다. 이 제어법은 시스템의 고유값을 원하는 위치로 배치하여 시스템의 동적 특성을 개선할 수 있다.

고유값 배치 (Eigenvalue Placement)

고유값 배치는 제어 설계에서 핵심적인 역할을 한다. 원하는 시스템 성능을 얻기 위해, $\mathbf{K}$ 행렬을 설계하여 시스템의 고유값을 특정 위치로 이동시킨다. 이 방법을 통해 시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 조정할 수 있다.

고유값 배치 기법은 다양한 응용 분야에서 사용되며, 선형 시스템 이론의 핵심적인 응용 중 하나로 여겨진다.

시스템 응답의 시간 도메인 해석 (Time-Domain Analysis of System Response)

선형 시스템의 시간 도메인 해석은 시스템이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 직접적으로 분석하는 방법이다. 시간 도메인 해석은 시스템의 상태 방정식을 풀어 시스템의 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$ 와 출력 ${y}(t)$ 를 구하는 과정으로 이루어진다.

상태 방정식의 해 (Solution to the State Equation)

상태 방정식 $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(t)$ 의 해를 구하는 방법은 크게 두 가지로 나눌 수 있다:

자유 응답: 초기 조건 $x(0)$ 에 의해 결정되는 해

$\mathbf{x}_{\text{free}}(t) = \Phi(t) \cdot \mathbf{x}(0)$

여기서 $\Phi(t)$ 는 상태 천이 행렬(State Transition Matrix)로, 다음과 같이 정의된다:

$\Phi(t) = e^{At}$

이는 시스템이 외부 입력이 없을 때, 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다.

강제 응답: 외부 입력 $\mathbf{u}(t)$ 에 의해 유도되는 해 $$ \mathbf{x}{\text{forced}}(t) = \int{0}^{t} \Phi(t - \tau) \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(\tau) \, d\tau $$

이 식은 외부 입력이 시스템 상태에 미치는 영향을 나타내며, 이 결과는 시간에 따라 적분으로 표현된다.

전체 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$ 는 자유 응답과 강제 응답의 합으로 표현된다:

$\mathbf{x}(t) = \Phi(t) \cdot \mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t} \Phi(t - \tau) \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(\tau) \, d\tau$

시간 응답 특성

시간 도메인에서 시스템의 응답 특성은 다음과 같은 주요 지표를 통해 평가된다:

과도 응답(Transient Response): 시스템이 새로운 평형 상태에 도달하기 전까지의 응답. 이는 고유값에 의해 결정되는 지수적 감소 또는 진동 형태로 나타난다.
정상 상태 응답(Steady-State Response): 시스템이 시간이 충분히 경과한 후 안정된 상태에 도달했을 때의 응답. 이는 시스템의 입력이 일정할 때 출력이 일정한 값에 도달하는 상태를 나타낸다.
정착 시간(Settling Time): 시스템 응답이 최종 값의 일정 범위 내로 들어가서 더 이상 그 범위를 벗어나지 않는 데 걸리는 시간.
최대 오버슈트(Maximum Overshoot): 응답이 최종 정착 값 이상으로 초과하는 정도. 이는 시스템의 진동성과 관련이 깊다.

이러한 시간 응답 특성은 시스템의 동적 성능을 평가하는 데 매우 중요한 요소이며, 설계 목표에 따라 조정된다.

주파수 도메인 해석 (Frequency-Domain Analysis)

선형 시스템의 주파수 도메인 해석은 시스템이 다양한 주파수의 입력에 어떻게 반응하는지를 분석하는 방법이다. 이는 주파수 영역에서 시스템의 동작을 해석하며, 특히 전달 함수와 보드(Bode) 플롯과 같은 도구를 사용한다.

전달 함수와 주파수 응답

전달 함수 $H(s)$ 는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 주파수 도메인에서 표현한 함수이다. 주파수 응답은 $s = j\omega$ 로 대체하여 $H(j\omega)$ 형태로 표현되며, 이는 특정 주파수 $\omega$ 에서의 시스템 응답을 나타낸다.

전달 함수의 주파수 응답은 다음과 같은 중요한 특성을 분석할 수 있게 한다:

이득(Gain): 특정 주파수에서 입력 신호의 크기가 출력 신호의 크기에 어떻게 영향을 미치는지 나타낸다. 이는 주로 데시벨(dB)로 표현된다.
위상(Phase): 입력 신호와 출력 신호 사이의 위상 차이를 나타내며, 이는 시스템의 동작 속도와 관련이 있다.

보드 플롯 (Bode Plot)

보드 플롯은 주파수 응답을 시각적으로 나타내는 도구로, 시스템의 이득과 위상을 주파수에 대해 플롯한다. 이 플롯을 통해 시스템의 안정성, 대역폭, 그리고 주파수 특성을 쉽게 분석할 수 있다.

이득 플롯: 주파수에 따른 이득을 로그-로그 축에 나타낸다. 이 플롯은 시스템이 주파수에 따라 입력 신호의 크기를 어떻게 변화시키는지 보여준다.
위상 플롯: 주파수에 따른 위상 차이를 로그-선형 축에 나타낸다. 이 플롯은 입력 신호의 주파수에 따라 시스템이 얼마나 빠르게 반응하는지를 시각적으로 표현한다.

보드 플롯은 컨트롤러 설계에서 중요한 역할을 하며, 특히 시스템의 안정성과 성능을 주파수 영역에서 분석할 때 사용된다.

상태 관측 가능성 (State Observability)

상태 관측 가능성(Observability)은 시스템의 상태를 외부 출력 신호를 통해 완전히 추정할 수 있는지를 나타내는 개념이다. 이는 시스템의 상태 벡터 $x(t)$ 가 관측 가능한지 여부를 판단하는 중요한 지표로, 시스템 설계에서 필수적인 역할을 한다.

관측 가능성 기준 (Observability Criterion)

관측 가능성은 다음의 관측 가능성 행렬(Observability Matrix)을 통해 평가할 수 있다:

$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$

여기서 $\mathcal{O}$ 가 풀 랭크(Full Rank)를 가지면, 시스템은 관측 가능하다고 할 수 있다. 즉, 행렬의 랭크가 시스템 상태의 차원과 같으면 모든 상태를 외부 출력으로부터 완전히 재구성할 수 있다.

관측 가능성과 시스템 설계

관측 가능성은 상태 추정기(State Estimator)나 관측기(Observer)를 설계할 때 중요한 역할을 한다. 특히 칼만 필터와 같은 알고리즘에서 상태의 정확한 추정은 시스템의 관측 가능성에 크게 의존한다.

관측 가능성의 결여는 시스템의 특정 상태를 완전히 추적하지 못하게 하며, 이는 시스템 제어에 있어서 심각한 문제를 초래할 수 있다. 따라서 시스템 설계 초기 단계에서 관측 가능성을 철저히 분석하고, 필요에 따라 시스템의 구조를 조정하는 것이 중요하다.

상태 제어 가능성 (State Controllability)

상태 제어 가능성(Controllability)은 시스템의 입력 신호를 통해 시스템의 모든 상태를 원하는 상태로 제어할 수 있는지를 나타내는 개념이다. 제어 가능성은 시스템 설계에서 중요한 요소로, 시스템이 원하는 대로 동작하도록 보장하는 데 필수적인 조건이다.

제어 가능성 기준 (Controllability Criterion)

제어 가능성은 제어 가능성 행렬(Controllability Matrix)을 사용하여 평가된다:

$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}$

여기서 $\mathcal{C}$ 가 풀 랭크(Full Rank)를 가지면, 시스템은 제어 가능하다고 판단된다. 즉, 제어 가능성 행렬의 랭크가 상태 벡터의 차원과 같다면, 초기 상태에서 원하는 임의의 상태로 제어 입력을 통해 이동할 수 있다.

제어 가능성과 시스템 설계

제어 가능성은 시스템 제어기(Controller)를 설계할 때 결정적인 요소로 작용한다. 제어 가능성이 확보되지 않으면, 특정 상태로 시스템을 제어할 수 없게 되어 설계된 제어기가 원하는 성능을 발휘하지 못하게 된다.

완전 제어 가능 시스템: 시스템의 모든 상태가 입력을 통해 제어 가능하다.
부분 제어 가능 시스템: 특정 상태만이 입력을 통해 제어 가능하다.
비제어 가능 시스템: 입력에 관계없이 특정 상태를 제어할 수 없다.

제어 가능성의 확보는 주로 제어기 설계와 관련된 고유값 배치(Eigenvalue Placement)와 관련이 있다. 시스템이 완전히 제어 가능할 때, 고유값을 원하는 위치로 배치하여 시스템의 동작을 원하는 대로 조절할 수 있다.

시스템의 안정성 분석과 제어 가능성의 관계

제어 가능성과 시스템의 안정성은 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 제어 가능한 시스템은 외부 입력을 통해 불안정한 상태를 안정된 상태로 이동시킬 수 있다. 반대로, 제어 가능하지 않은 시스템은 특정 불안정한 모드를 제어할 수 없게 되어 시스템이 불안정하게 유지될 수 있다.

제어 가능성과 고유값 배치

제어 가능성의 중요한 응용 중 하나는 고유값 배치를 통해 시스템의 동적 특성을 변경하는 것이다. 시스템이 제어 가능하다면, 모든 고유값을 원하는 위치로 배치하여 안정성을 확보하거나 응답 속도를 조정할 수 있다. 이는 상태 피드백 제어(State Feedback Control)와 같은 기법을 사용하여 구현된다.

예제: 제어 가능성 분석

하나의 간단한 예로, 2차 시스템을 고려해보자:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

이 시스템의 제어 가능성 행렬 $\mathcal{C}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$

이 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우, 즉 풀 랭크를 가지므로, 이 시스템은 완전히 제어 가능하다. 따라서 적절한 입력 신호를 통해 시스템의 상태를 원하는 대로 조정할 수 있다.

관측 가능성과 제어 가능성의 이중성 (Duality of Observability and Controllability)

관측 가능성과 제어 가능성 사이에는 수학적으로 밀접한 관계가 있으며, 이는 이중성(Duality)이라고 불린다. 두 개념은 시스템 행렬의 전치(Transpose)를 통해 서로 변환될 수 있다. 즉, 관측 가능성 문제는 제어 가능성 문제와 이중적 관계에 있으며, 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ 가 제어 가능하다면, $(\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T)$ 는 관측 가능하다.
$(\mathbf{A}, \mathbf{C})$ 가 관측 가능하다면, $(\mathbf{A}^T, \mathbf{B}^T)$ 는 제어 가능하다.

이 이중성은 시스템의 상태 추정기와 제어기의 설계에서 중요한 역할을 하며, 하나의 개념을 이해함으로써 다른 개념도 쉽게 이해할 수 있게 해준다.

이중성의 응용

이중성은 특히 칼만 필터(Kalman Filter)와 같은 상태 추정 알고리즘을 설계할 때 중요하다. 칼만 필터는 본질적으로 관측 가능성을 기반으로 상태를 추정하지만, 이 이중성을 활용하면 제어 가능성에 기반한 설계 접근법도 가능하게 된다. 이를 통해 시스템의 성능을 더 정교하게 조정할 수 있다.

선형 시스템의 안정성 해석 (Stability Analysis of Linear Systems)

선형 시스템의 안정성은 시스템이 시간 경과에 따라 어떤 동작을 보이는지를 이해하는 데 매우 중요하다. 안정성 해석은 시스템의 모든 초기 조건에서 시스템이 일정한 상태로 수렴하는지, 또는 특정 상태로부터 멀어지며 발산하는지를 분석하는 과정이다.

리아프노프 안정성 (Lyapunov Stability)

리아프노프 안정성은 시스템이 특정 평형점(Equilibrium Point) 주위에서 안정적인지를 평가하는 방법 중 하나이다. 리아프노프의 제1 안정성 이론은 선형 시스템의 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 다음과 같은 조건을 통해 안정성을 평가한다:

행렬 $\mathbf{A}$ 의 모든 고유값의 실수부가 음수이면, 시스템은 점근 안정(Asymptotically Stable)하다.
행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값 중 하나라도 실수부가 양수이면, 시스템은 불안정(Unstable)하다.
고유값의 실수부가 모두 음수거나 0이지만, 0이 아닌 고유값이 존재하면, 시스템은 경계 안정(Marginally Stable)하다.

리아프노프 함수 $V(\mathbf{x})$ 를 이용해 안정성을 분석할 수도 있다. $V(\mathbf{x})$ 는 상태 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대한 양의 정부호 함수로 정의되며, 다음 조건을 만족해야 한다:

$V(x)$ 는 $\mathbf{x} = 0$ 에서 0이고, 다른 모든 $\mathbf{x}$ 에서 양수이다.
$\dot{V}(\mathbf{x})$ , 즉 $V(\mathbf{x})$ 의 시간에 따른 변화율이 $\mathbf{x} = 0$ 에서 음수이면, 시스템은 점근 안정적이다.

이 방법은 비선형 시스템에서도 적용될 수 있지만, 선형 시스템에서는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값 분석을 통해 직접 안정성을 평가하는 것이 더 일반적이다.

루스-후르비츠 기준 (Routh-Hurwitz Criterion)

루스-후르비츠 기준은 선형 시스템의 특성 방정식의 계수를 이용하여 시스템의 안정성을 평가하는 고전적인 방법이다. 이 기준은 시스템의 특성 방정식이 다음과 같은 일반적인 형태를 가질 때 적용된다:

$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0$

루스-후르비츠 기준은 이 방정식의 계수를 사용하여 루스 배열(Routh Array)을 구성하고, 배열의 첫 번째 열의 부호 변화를 분석함으로써 시스템의 안정성을 판단한다. 배열의 첫 번째 열에 음수 항이 없으면, 시스템은 안정적이다. 음수 항이 존재하면, 시스템은 불안정하다.

이 방법은 시스템의 고유값을 직접 계산하지 않고도 안정성을 평가할 수 있는 장점이 있다. 특히, 고차 방정식의 경우 고유값을 계산하는 것이 복잡할 수 있으므로, 루스-후르비츠 기준은 유용한 도구가 된다.

다중입출력 시스템 (MIMO Systems)

다중입출력(MIMO: Multiple Input Multiple Output) 시스템은 여러 개의 입력과 출력을 가지는 시스템을 의미한다. 이러한 시스템에서는 입력과 출력 사이의 상호작용이 복잡하며, 시스템의 동적 특성 분석이 단일입출력(SISO: Single Input Single Output) 시스템에 비해 훨씬 어렵다.

상태 공간 표현에서의 MIMO 시스템

MIMO 시스템의 상태 공간 표현은 다음과 같은 형태로 주어진다:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \cdot \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \cdot \mathbf{u}(t)$

여기서 $\mathbf{u}(t)$ 와 $\mathbf{y}(t)$ 는 각각 다중 입력 벡터와 다중 출력 벡터이다. 행렬 $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ 는 각각 입력, 출력, 그리고 직접 전달 경로를 나타내며, 이들이 MIMO 시스템의 복잡한 상호작용을 정의한다.

전달 행렬 (Transfer Matrix)

MIMO 시스템에서는 단일 전달 함수 대신, 전달 행렬(Transfer Matrix)을 사용하여 시스템의 주파수 응답을 분석한다. 전달 행렬 $H(s)$ 는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{H}(s) = \mathbf{C} \cdot (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{D}$

이 행렬은 각 입력 신호에 대한 모든 출력 신호 간의 주파수 응답을 나타내며, MIMO 시스템의 동적 특성을 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 전달 행렬의 행렬 요소들은 각 입력에서 특정 출력으로의 전달 함수를 나타낸다.

다중입출력 시스템의 안정성

MIMO 시스템의 안정성 분석은 SISO 시스템보다 복잡하다. MIMO 시스템의 안정성을 평가하려면 시스템의 모든 모드(mode)를 분석해야 하며, 이는 각 모드가 고유값과 고유벡터에 의해 정의된다.

MIMO 시스템의 안정성은 일반적으로 다음과 같은 방법을 통해 평가된다:

모드 해석(Mode Analysis): 시스템의 모든 모드의 고유값을 분석하여 안정성을 평가한다. 모든 고유값의 실수부가 음수이면, 시스템은 안정적이다.
포괄적 기준(Comprehensive Criteria): 각 출력에 대해 독립적인 안정성 분석을 수행한 후, 전체 시스템의 안정성을 종합적으로 평가한다.

상태 궤적 추적과 제어 (State Trajectory Tracking and Control)

선형 시스템에서 상태 궤적 추적(State Trajectory Tracking)은 시스템이 시간에 따라 특정 경로를 따라가도록 제어하는 것을 의미한다. 이는 목표 궤적(Target Trajectory)을 정의하고, 시스템의 상태가 이 목표를 따라가도록 제어 입력을 설계하는 과정이다.

궤적 추적 제어기 설계

궤적 추적을 위한 제어기는 일반적으로 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \cdot (\mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_r(t)) + \mathbf{u}_r(t)$

여기서 $\mathbf{x}_r(t)$ 는 목표 상태 궤적, $\mathbf{u}_r(t)$ 는 목표 입력이다. $\mathbf{K}$ 는 상태 피드백 게인으로, 시스템의 상태가 목표 궤적을 따라가도록 하는 역할을 한다.

이 제어기의 목표는 시스템의 상태 $\mathbf{x}(t)$ 가 목표 상태 $\mathbf{x}_r(t)$ 와 최대한 가깝게 유지되도록 하는 것이다. 이를 위해 상태 오차 $\mathbf{e}(t) = \mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_r(t)$ 를 최소화하는 것이 핵심이다.

궤적 추적의 안정성

궤적 추적의 안정성을 확보하기 위해서는 상태 피드백 게인 $\mathbf{K}$ 가 적절히 설계되어야 한다. 시스템이 궤적을 추적하는 동안 상태 오차가 수렴하고, 시스템이 목표 궤적에서 벗어나지 않도록 보장해야 한다.

상태 궤적 추적은 로봇 공학, 항법 시스템, 자동화 제어 등 다양한 응용 분야에서 중요하게 다루어진다. 특히, 선형 시스템에서는 궤적 추적을 위한 제어 입력을 설계할 때 리아프노프 이론이나 고유값 배치와 같은 방법들이 활용된다.

선형 시스템의 제어 설계 기법 (Control Design Techniques for Linear Systems)

선형 시스템의 제어 설계는 시스템이 원하는 성능을 발휘하도록 입력 신호를 조정하는 방법을 연구하는 분야이다. 다양한 제어 설계 기법이 있으며, 각각의 방법은 특정한 시스템 특성이나 요구 사항에 적합하다.

상태 피드백 제어 (State Feedback Control)

상태 피드백 제어는 시스템의 상태 벡터를 측정하여 이를 바탕으로 제어 입력을 생성하는 방식이다. 상태 피드백 제어법의 가장 기본적인 형태는 다음과 같다:

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \cdot \mathbf{x}(t)$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 상태 피드백 게인 벡터 또는 행렬이다. $\mathbf{K}$ 의 설계를 통해 시스템의 고유값을 원하는 위치로 이동시켜, 시스템의 안정성 및 동적 성능을 조절할 수 있다.

고유값 배치(Eigenvalue Placement) 기법은 상태 피드백 제어에서 가장 많이 사용되는 방법 중 하나이다. 이 방법은 $\mathbf{K}$ 를 선택하여 시스템의 고유값을 특정 위치로 배치함으로써, 시스템의 응답 특성을 조정한다. 고유값 배치는 제어 가능성 행렬의 풀 랭크 여부를 확인한 후 수행된다. 제어 가능성이 있는 시스템에서는 고유값을 임의로 배치할 수 있다.

최적 제어 (Optimal Control)

최적 제어는 시스템의 성능 지표를 최적화하기 위해 제어 입력을 설계하는 방법이다. LQR(Linear Quadratic Regulator)은 가장 널리 사용되는 최적 제어 기법 중 하나이다. LQR은 상태 벡터 $x(t)$ 와 제어 입력 $u(t)$ 의 제곱합을 최소화하는 제어 입력을 찾는 데 사용된다.

LQR의 성능 지표(성능 함수)는 다음과 같이 정의된다:

$J = \int_{0}^{\infty} \left( x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \right) dt$

여기서 $Q$ 와 $R$ 은 각각 상태와 제어 입력의 가중치를 나타내는 대칭 양의 정부호 행렬이다. 이 성능 지표를 최소화하는 제어 입력 $u(t)$ 는 리카티 방정식(Riccati Equation)을 통해 계산되며, 이로부터 상태 피드백 게인 $K$ 가 도출된다:

$u(t) = -K \cdot x(t) = -(R^{-1} B^T P) \cdot x(t)$

여기서 $P$ 는 리카티 방정식의 해이다.

고전 제어기 설계 (Classical Controller Design)

고전 제어는 주로 주파수 도메인에서 시스템을 분석하고 설계하는 방법을 포함한다. 이 방법에서는 PID 제어기(Proportional-Integral-Derivative Controller)와 같은 간단한 제어 구조를 사용하여 시스템의 동작을 조절한다.

PID 제어기는 다음과 같은 형태로 정의된다:

$u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt}$

여기서 $e(t)$ 는 목표값과 실제 출력 간의 오차, $K_p$ , $K_i$ , $K_d$ 는 각각 비례, 적분, 미분 게인이다. PID 제어기는 다양한 시스템에서 널리 사용되며, 오차를 최소화하고 시스템 응답을 개선하는 데 효과적이다.

PID 제어기의 설계는 보드 플롯(Bode Plot), 니콜스 차트(Nichols Chart)와 같은 주파수 응답 도구를 통해 수행되며, 이를 통해 제어기의 안정성, 대역폭, 그리고 주파수 응답을 최적화할 수 있다.

상태 관측기 설계 (State Observer Design)

상태 관측기는 시스템의 일부 또는 전체 상태를 직접 측정할 수 없을 때, 출력 신호를 바탕으로 상태를 추정하는 장치이다. 칼만 필터(Kalman Filter)는 가장 대표적인 상태 관측기 설계 방법 중 하나이다.

선형 시스템의 상태 관측기는 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다:

$\hat{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C} \hat{\mathbf{x}}(t))$

여기서 $\hat{\mathbf{x}}(t)$ 는 추정된 상태 벡터, $\mathbf{L}$ 은 관측기 게인(Observer Gain)이다. 관측기 게인 $\mathbf{L}$ 은 시스템의 상태와 측정된 출력 간의 오차를 최소화하도록 설계된다.

루엔버거 관측기(Luenberger Observer)는 상태 관측기의 가장 기본적인 형태로, 시스템의 안정성과 성능을 보장하기 위해 관측기 게인 $\mathbf{L}$ 을 적절히 선택한다. $\mathbf{L}$ 의 설계는 고유값 배치 방법을 사용하여, 관측기 고유값을 원하는 위치로 배치함으로써 이루어진다.

내부 모델 제어 (Internal Model Control, IMC)

내부 모델 제어는 제어 대상 시스템의 모델을 사용하여 시스템의 동작을 직접적으로 제어하는 방법이다. IMC는 시스템의 역모델을 이용하여 제어기를 설계하는데, 이를 통해 시스템의 정확한 제어가 가능하다.

IMC는 다음과 같은 구조를 가진다:

모델링 단계: 시스템의 수학적 모델을 구축한다.
역모델 설계: 시스템 모델의 역을 계산하여 제어 입력을 설계한다.
제어 입력 생성: 시스템의 출력이 목표 값에 정확히 도달하도록 제어 입력을 생성한다.

IMC는 주로 시스템의 정확한 제어가 필요할 때 사용되며, 특히 시스템의 모델이 잘 알려진 경우 효과적이다. 그러나 모델링 오류가 있는 경우 제어 성능이 저하될 수 있으므로, 이를 보정하기 위한 추가적인 설계가 필요하다.

지금까지 선형 시스템의 기본 이론에 대한 내용을 다루었다. 선형 시스템 이론은 다양한 제어 설계 및 분석 방법을 포함하며, 이는 실제 시스템의 제어 문제를 해결하는 데 필수적인 기초를 제공한다. 이론적으로 확립된 다양한 기법들은 실제 시스템의 특성에 맞추어 응용될 수 있으며, 제어 공학 전반에서 중요한 역할을 한다.