1. 비균일 적합 B-스플라인 (NURBS)

NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)는 3차원 그래픽과 CAD에서 자주 사용된다. 동차좌표계를 사용하지 않고도 복잡한 곡선과 곡면을 효과적으로 표현할 수 있다. NURBS 곡선은 제어점, 가중치, 매듭 벡터로 정의된다.

NURBS 곡선 \mathbf{C}(u)는 다음과 같은 방식으로 표현된다:

\mathbf{C}(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \omega_i \mathbf{P}_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \omega_i}

여기서: - N_{i,p}(u)는 B-스플라인 기본 함수 - \omega_i는 가중치 - \mathbf{P}_i는 제어점

이 식을 사용하면 곡선의 형태와 위치를 더 정밀하게 제어할 수 있다.

2. 베지에 곡선과 패치

베지에 곡선과 패치는 컴퓨터 그래픽스와 CAD에서 널리 사용된다. 특히, 베지에 곡선은 단순하고 직관적으로 조절할 수 있어 여러 응용 분야에서 사용된다. 베지에 곡선의 수학적 정의는 다음과 같다:

n차 베지에 곡선 \mathbf{B}(t)는 제어점 \mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \dots, \mathbf{P}_n을 사용하여 아래와 같이 정의된다:

\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) \mathbf{P}_i

여기서 \mathbf{P}_i는 제어점이고, B_{i,n}(t)는 베지에 기본 다항식(Bernstein 다항식)으로 다음과 같이 정의된다:

B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n-i}

이 방식은 곡선의 형태를 제어점들에 의해 직관적으로 다룰 수 있게 한다는 장점이 있다.

3. 디랙 델타 함수 기법

디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)를 이용한 기법은 신호 처리 및 분석에서 널리 사용된다. 이는 공간의 특정 지점을 강조하는 데 유용하며, 초기 조건 문제를 해결하는 다양한 응용 분야에서 적용될 수 있다.

디랙 델타 함수 \delta(x)는 다음과 같은 특성을 갖는다:

\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - a) f(x) \, dx = f(a)

이를 통해 주어진 함수의 특정 지점에서의 값을 쉽게 계산하거나 분석할 수 있다.

4. 삼각망 (Triangular Meshes)

삼각망은 다각형으로 구성된 객체를 표현하는 데 널리 사용되는 기법이다. 많은 컴퓨터 그래픽스 모델링 및 시뮬레이션 시스템에서 기본적인 도형 구성 요소로 사용된다. 삼각망의 한 점을 \mathbf{P}, 변을 \mathbf{E}, 면을 \mathbf{F}라고 할 때, 연결 관계를 수학적으로 표현할 수 있다.

\{ \mathbf{V}, \mathbf{E}, \mathbf{F} \}

여기서 \mathbf{V}는 꼭짓점(vertex) 집합, \mathbf{E}는 변(edge) 집합, \mathbf{F}는 면(face) 집합을 의미한다.

삼각망을 사용하면 컴퓨터 그래픽스에서 표면을 매우 세밀하게 표현할 수 있다.

5. 베르누이 다항식과 수학적 분석

베르누이 다항식은 조합론과 수학적 분석, 그리고 수치 해석에서 유용한 도구이다. 기본적으로 베르누이 수와 밀접한 관련이 있는 베르누이 다항식 B_n(x)는 다음과 같이 정의된다:

B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k x^{n-k}

여기서 B_k는 k번째 베르누이 수이다. 베르누이 다항식은 다양한 함수의 적분과 미분 계산에서 활용될 수 있다.

6. 웨이블릿 변환

웨이블릿 변환은 신호 처리와 이미지 처리에서 주로 사용된다. 이는 시간-주파수 해석을 가능하게 하므로 다양한 신호의 분석에 매우 유용하다. 웨이블릿 변환의 한 종류인 이산 웨이블릿 변환(DWT)은 다음과 같이 표현된다:

W_{\psi}(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{a,b}(t) \, dt

여기서 \psi_{a,b}(t)는 웨이블릿 함수로써 특정한 스케일 a와 위치 b에 의존한다. 웨이블릿 변환은 주파수 성분과 시간 정보를 동시에 제공할 수 있어 다양한 분야에서 사용된다.

7. 몬테카를로 시뮬레이션

몬테카를로 시뮬레이션은 통계적 샘플링 기법을 사용하여 복잡한 문제를 해결하는 방법이다. 이 기법은 다음과 같은 절차로 진행된다:

  1. 무작위 변수를 생성한다.
  2. 생성된 변수로부터 계산을 수행한다.
  3. 여러 번 반복하여 결과를 통계적으로 분석한다.

이 기법은 특히 금융, 물리 과학 및 수학 모델링 등에서 확률적 문제를 해결하는 데 유용하다.

8. 최소 자승법 (Least Squares Method)

최소 자승법은 데이터에 모델을 적합시키는 데 사용되는 기법이다. 이 방법은 가장 작은 잔차 제곱합을 최소화하는 모델 파라미터를 찾는다. 직선의 경우, 다음과 같은 목적함수를 최소화한다:

\text{Minimize} \quad S = \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - (mx_i + b) \right)^2

여기서 y_i는 실제 값, mx_i + b는 예측 값이다. 이를 통해 최적의 직선 모델 파라미터 m과 b를 찾을 수 있다.