복합 변환은 여러 개의 기본 변환을 순차적으로 적용한 결과로 이해할 수 있다. 이는 기본적인 변환(예: 이동, 회전, 스케일링)을 결합하여 더욱 복잡한 변환을 표현하는 방법이다.

기본 변환

다양한 기본 변환은 다음과 같다:

  1. 이동 (Translation): 이동은 물체를 일정한 방향으로 일정한 거리 만큼 평행 이동시키는 변환이다. 이동 변환을 수학적으로 표현하면 다음과 같다:
\mathbf{T}(x, y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  1. 회전 (Rotation): 회전은 물체를 특정 기준점(주로 원점) 주위로 회전시키는 변환이다. 회전 변환을 수학적으로 표현하면:
\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  1. 스케일링 (Scaling): 스케일링은 물체의 크기를 변환하는 것이다. 이는 각 축에 대한 확대 또는 축소를 통해 이루어진다. 스케일링 변환을 수학적으로 표현하면:
\mathbf{S}(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

복합 변환의 수학적 표현

복합 변환은 각 기본 변환을 행렬로 표현하고 이를 곱함으로써 이루어진다. 예를 들어, 두 변환 \mathbf{A}와 \mathbf{B}가 있을 때, 이들을 연속으로 적용한 복합 변환 \mathbf{C}는 다음과 같이 표현할 수 있다:

\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}

중요한 점은 이 행렬의 곱셈 순서가 변환의 순서를 나타낸다는 것이다. 즉, 첫 번째로 행해지는 변환이 오른쪽에 놓이게 된다.

예제

이동 후 회전하는 복합 변환을 생각해봅시다. 먼저 이동 변환을 적용한 후 회전 변환을 적용한다고 하면, 복합 변환 행렬 \mathbf{M}은 다음과 같이 정의된다:

\mathbf{M} = \mathbf{R}(\theta) \cdot \mathbf{T}(t_x, t_y)

이를 행렬 곱셈을 통해 풀어쓰면 다음과 같다:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

결과는:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & t_x \cdot \cos\theta - t_y \cdot \sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & t_x \cdot \sin\theta + t_y \cdot \cos\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

이 복합 변환은 이동과 회전을 한 번에 수행하는 변환을 나타낸다.

복합 변환을 통해 여러 변환을 한 번에 표현할 수 있다는 장점이 있다. 실제 응용 예는 그래픽스, 로봇 공학, 이미지 처리와 같은 다양한 공학 및 과학 분야에서 찾아볼 수 있다.

로봇의 움직임을 모델링할 때, 각 조인트의 회전과 링크의 길이를 고려한 복합 변환이 필요하다. 이 변환들은 개별적으로는 단순할지 모르지만, 여러 조인트로 구성된 로봇에는 복합 변환을 통해 각 위치를 계산해야 한다.

문제 설정

로봇 팔이 여러 개의 조인트를 가지고 있고, 각 조인트가 회전하는 경우 이를 수학적으로 모델링하려고 한다.

  1. 첫 조인트는 원점에서 시작하여 \theta_1 만큼 회전한다.
  2. 그 다음 조인트는 첫 조인트 끝에서 시작하여 새로운 각도 \theta_2 만큼 회전한다.
  3. 추가적인 조인트들이 동일한 방식으로 결합된다.

해결 방법

각 조인트를 하나의 회전 행렬로 표현할 수 있다. 각 회전 행렬을 곱하여 결과적으로 최종 위치를 구할 수 있다.

\mathbf{R_1} = \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\mathbf{R_2} = \begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

이와 같은 회전 행렬들이 연속적으로 적용되면 최종 위치를 알 수 있다.

\mathbf{R} = \mathbf{R_1} \cdot \mathbf{R_2} \cdot \cdots \cdot \mathbf{R_n}

물체의 초기 위치가 (x_0, y_0)라고 하면 변환 후 위치는 아래와 같이 계산된다:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{R} \cdot \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{bmatrix}

이렇게 함으로써, 각 조인트들의 회전과 위치를 계산할 수 있다. 복합 변환은 이런 개념들을 효과적으로 결합하여 복잡한 움직임을 단순하게 모델링할 수 있는 도구이다.

지금까지 논의한 내용은 복합 변환의 기본 개념과 응용 방법을 다루었다. 복합 변환은 단순한 변환을 조합하여 더욱 복잡한 기하학적 변환을 표현하는 데 매우 유용하다.