스케일링의 개념 - 실험 도서관

스케일링이란?

스케일링(scaling)은 그래픽스 분야에서 객체의 크기를 조절하는 변환 기법을 의미한다. 이는 객체의 위치나 형태는 유지하면서 특정 축을 기준으로 크기를 변경하는 것을 포함한다. 스케일링 변환은 대개 2차원이나 3차원 공간에서 이루어지며, 주로 차원별로 서로 다른 비율로 확대 또는 축소가 가능한다.

스케일링 행렬

스케일링 변환을 동차 좌표계에서는 행렬 방식으로 표현할 수 있다. 2차원과 3차원 공간에서의 스케일링 행렬은 각각 다음과 같다.

2차원 공간에서의 스케일링 행렬

2차원 공간에서의 스케일링을 나타내기 위해, 동차 좌표계에서는 3x3 행렬을 사용한다. 스케일링 행렬 $\mathbf{S}$ 는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{S} = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

여기서 $s_x$ 와 $s_y$ 는 각각 x축과 y축 방향의 스케일 팩터를 나타낸다.

3차원 공간에서의 스케일링 행렬

3차원 공간에서의 스케일링을 나타내기 위해, 동차 좌표계에서는 4x4 행렬을 사용한다. 스케일링 행렬 $\mathbf{S}$ 는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{S} = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

여기서 $s_x$ , $s_y$ , $s_z$ 는 각각 x축, y축, z축 방향의 스케일 팩터를 나타낸다.

스케일링의 적용

스케일링 변환을 특정 벡터 $\mathbf{v}$ 에 적용하려면, 해당 벡터를 스케일링 행렬과 곱하면 된다.

2차원 벡터에 대한 스케일링

2차원 벡터 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$ 에 스케일링을 적용하면 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{v'} = \mathbf{S} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x x \\ s_y y \\ 1 \end{pmatrix}$

3차원 벡터에 대한 스케일링

3차원 벡터 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$ 에 스케일링을 적용하면 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{v'} = \mathbf{S} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x x \\ s_y y \\ s_z z \\ 1 \end{pmatrix}$

스케일링 변환 후의 벡터는 각 축 방향의 스케일 팩터에 의해 확대 또는 축소된 크기를 갖는다.

스케일링의 특징

비균등 스케일링

비균등 스케일링은 각 축에 대해 서로 다른 스케일 팩터를 적용하여 객체의 형태를 변형시키는 것을 의미한다. 예를 들어, $s_x = 2$ , $s_y = 1$ 로 설정하면 객체는 x축 방향으로 두 배, y축 방향으로는 변하지 않는다. 이러한 변형은 객체의 비율을 변화시키고 시각적으로 왜곡된 형태를 만들어낼 수 있다.

원점 기준 스케일링

기본적으로 스케일링은 좌표 원점을 기준으로 수행된다. 따라서 원점에서 멀리 떨어진 점일수록 더 크게 혹은 작게 변한다. 원점이 아닌 다른 점을 기준으로 스케일링을 하고 싶을 경우, 트랜슬레이션(translation) 변환을 함께 사용해야 한다. 이를 위해 다음과 같이 순서대로 변환을 적용한다: 1. 스케일링 중심을 원점으로 이동시키는 트랜슬레이션. 2. 스케일링 변환 적용. 3. 스케일링 중심을 원래 위치로 되돌리는 트랜슬레이션.

이용 사례

스케일링은 컴퓨터 그래픽스에서 다양한 응용 사례를 갖고 있다. 몇 가지 주요 이용 사례를 살펴봅시다.

객체 크기 조절

스케일링을 사용하여 2D 또는 3D 모델의 크기를 조절할 수 있다. 게임 개발에서 캐릭터의 크기를 조정하거나, 디자인 소프트웨어에서 벡터 그래픽의 크기를 변경할 때 스케일링 변환이 사용된다.

애니메이션

스케일링 변환은 애니메이션에서 객체의 크기 변화를 만들어내는 데 사용된다. 예를 들어, 점점 커지거나 작아지는 객체의 애니메이션 효과를 낼 수 있다.

모델링

3D 모델링에서 스케일링은 객체의 비례를 조정하는 데 도움을 준다. 특정 축을 기준으로 확대 또는 축소함으로써 원하는 형태의 모델을 생성할 수 있다.

스케일링의 한계

스케일링 변환 자체는 간단하지만, 그 적용에는 몇 가지 한계와 주의점이 있다.

비율 왜곡

비균등 스케일링은 객체의 비율을 왜곡시킬 수 있다. 이를 방지하기 위해 균등 스케일링을 사용하거나 객체의 비율이 중요한 경우 비율 유지 조건을 고려해야 한다.

정밀도 문제

상당히 큰 스케일 팩터나 매우 작은 스케일 팩터를 사용할 경우, 수치적 정밀도 문제로 인해 변환 결과의 정확도가 떨어질 수 있다. 그래픽스 하드웨어나 소프트웨어가 이러한 문제를 적절히 처리하도록 해야 한다.

스케일링 중심

스케일링 중심이 원점이 아니라 특정 지점일 경우, 적절한 트랜슬레이션 변환을 함께 사용하여 스케일링 변환을 적용해야 한다. 이러한 추가 변환으로 인해 계산이 복잡해질 수 있다.

스케일링은 그래픽스 변환 중 기본적이지만 중요한 역할을 하며, 다양한 응용 분야에서 사용된다. 올바르게 이해하고 적용함으로써 높은 품질의 그래픽을 만들어낼 수 있다.