회전 중심의 변경 - 실험 도서관

회전 변환을 다룰 때 회전의 중심은 매우 중요하다. 기본적으로 회전은 원점(0, 0)을 중심으로 이루어지지만, 실생활에서는 원점이 아닌 다른 점을 기준으로 회전시키는 경우가 많다. 이번 장에서는 이와 관련된 내용을 상세히 다룬다.

회전 중심 변경의 개념

회전 중심을 변경한다는 것은, 회전의 기준점이 원점이 아니라 다른 특정한 점이라는 의미이다. 이를 수학적으로 처리하기 위해서는 해당 점을 원점으로 변환하고, 회전을 수행한 후, 다시 원점으로 변환해야 한다. 이를 통해 원하는 회전 변환을 정확히 구현할 수 있다.

회전 중심 변경의 수학적 처리

변환 과정

평행 이동: 새로운 회전 중심을 원점으로 이동
회전 변환: 원점 중심의 회전 행렬을 적용
재평행 이동: 원래의 위치로 이동

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

좌표 변환 공식

먼저 새로운 회전 중심을 $\mathbf{C} = (C_x, C_y)$ 라 가정한다. 회전 행렬은 각도 $\theta$ 에 대해 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

회전 중심을 변경하기 위한 변환 과정은 다음과 같은 순서로 이루어진다:

평행 이동: 새로운 회전 중심 $\mathbf{C}$ 를 원점으로 평행 이동한다. 이는 점 $\mathbf{P} = (P_x, P_y)$ 에 대해,

$\mathbf{P}_{trans} = \mathbf{P} - \mathbf{C}$

회전 변환: 원점 중심의 회전 행렬 $\mathbf{R}(\theta)$ 를 적용한다.

$\mathbf{P}_{rot} = \mathbf{R}(\theta) \mathbf{P}_{trans}$

재평행 이동: 원래의 위치로 이동한다.

$\mathbf{P'} = \mathbf{P}_{rot} + \mathbf{C}$

최종적으로, 한 점 $\mathbf{P}$ 를 중심 $\mathbf{C}$ 를 기준으로 회전하는 행렬은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\mathbf{P'} = \mathbf{R}(\theta) (\mathbf{P} - \mathbf{C}) + \mathbf{C}$

예제

예제를 통해 이 과정을 좀 더 명확히 이해할 수 있다.

Suppose we have a point $\mathbf{P} = (1, 2)$ and we want to rotate this point by 90 degrees ( $\theta = \frac{\pi}{2}$ ) around the point $\mathbf{C} = (1, 1)$ .

평행 이동:

$\mathbf{P}_\text{trans} = (1, 2) - (1, 1) = (0, 1)$

회전 변환:

$\mathbf{R}\left( \frac{\pi}{2} \right) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\mathbf{P}_\text{rot} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

재평행 이동:

$\mathbf{P'} = (-1, 0) + (1, 1) = (0, 1)$

따라서, 점 $(1, 2)$ 는 중심 $(1, 1)$ 을 기준으로 90도 회전하면 점 $(0, 1)$ 이 된다.

예제 연습문제

예제를 풀어보면서 이해도를 높여봅시다.

문제: 새로운 중심 $\mathbf{C} = (2, 3)$ 을 기준으로 점 $\mathbf{P} = (4, 5)$ 을 45도 ( $\theta = \frac{\pi}{4}$ ) 회전시키세요.
문제: 좌표 $\mathbf{C} = (0, 2)$ 을 기준으로 원래 좌표가 $\mathbf{P} = (3, 4)$ 인 경우 180도 회전( $\theta = \pi$ )시켜보세요.

자, 이제 직접 계산을 통해 연습해보세요.

회전 중심 변경의 실생활 응용

회전 중심 변경은 다양한 분야에서 많이 사용된다. 여기 몇 가지 예시를 들어보겠다:

컴퓨터 그래픽스: 캐릭터나 오브젝트의 특정 부분(다리, 팔 등의 조인트)을 중심으로 회전시켜 애니메이션을 만들 때 유용하다.
로봇 공학: 로봇의 팔, 다리와 같은 링크 구조물의 연결부를 회전 중심으로 설정하여 정밀한 움직임을 제어한다.
건축 디자인: 건물의 특정 부분을 중심으로 회전시키면서 구조적 안정성을 평가하거나 디자인을 조정할 때 사용한다.
항공 및 우주 공학: 항공기나 우주선의 특정 부품(예: 날개)을 중심으로 회전 변환을 적용하여 동역학적 분석을 수행한다.

이와 같은 다양한 응용 예시를 통해 회전 중심의 변경과 회전 변환의 중요성을 이해할 수 있다.

연습 문제 해설

위에서 제시한 연습 문제의 풀이를 작성해보겠다.

문제 1 풀이

평행 이동:

$\mathbf{P}_\text{trans} = (4, 5) - (2, 3) = (2, 2)$

회전 변환:

$\mathbf{R}\left( \frac{\pi}{4} \right) = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$\mathbf{P}_\text{rot} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2\sqrt{2} \end{bmatrix}$

재평행 이동:

$\mathbf{P'} = (0, 2\sqrt{2}) + (2, 3) = (2, 3 + 2\sqrt{2})$

따라서, 점 $(4, 5)$ 는 중심 $(2, 3)$ 을 기준으로 45도 회전하면 점 $(2, 3 + 2\sqrt{2})$ 이 된다.

문제 2 풀이

평행 이동:

$\mathbf{P}_\text{trans} = (3, 4) - (0, 2) = (3, 2)$

회전 변환:

$\mathbf{R}\left( \pi \right) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{P}_\text{rot} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \end{bmatrix}$

재평행 이동:

$\mathbf{P'} = (-3, -2) + (0, 2) = (-3, 0)$

따라서, 점 $(3, 4)$ 는 중심 $(0, 2)$ 을 기준으로 180도 회전하면 점 $(-3, 0)$ 이 된다.

지금까지 회전 중심 변경과 관련한 내용을 다루어보았다. 이와 같은 수학적 변환을 통해 보다 복잡하고 정확한 회전 변환을 구현할 수 있다.