변환 행렬의 조합과 연산

변환 행렬은 여러 개의 변환을 조합하거나 연산을 통해 더 복잡한 변환을 쉽게 표현할 수 있게 해준다. 이 장에서는 변환 행렬의 조합과 연산에 대해 다룬다.

행렬의 덧셈과 뺄셈

두 변환 행렬 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 덧셈과 뺄셈은 각 성분별로 이뤄진다. 즉, 각 행렬의 대응되는 위치의 원소끼리 더하거나 빼는 방식이다.

$\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \quad \text{where} \quad C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$

$\mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} \quad \text{where} \quad D_{ij} = A_{ij} - B_{ij}$

행렬의 곱셈

두 변환 행렬 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 곱셈은 행렬 곱 규칙에 따라 결정된다. 이때, $\mathbf{A}$ 의 열 수와 $\mathbf{B}$ 의 행 수가 같아야 한다.

$\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \quad \text{where} \quad C_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj}$

단위 행렬

단위 행렬 $\mathbf{I}$ 는 어떤 행렬과 곱해도 원래의 행렬이 나오게 하는 행렬이다. 크기가 $n \times n$ 인 단위 행렬은 대각선 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0인 행렬이다.

$\mathbf{I} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{A}$

전치 행렬

행렬 $\mathbf{A}$ 의 전치 행렬 $\mathbf{A}^T$ 는 $\mathbf{A}$ 의 행과 열을 바꾼 행렬이다.

$(\mathbf{A}^T)_{ij} = \mathbf{A}_{ji}$

역행렬

행렬 $\mathbf{A}$ 의 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$ 은 $\mathbf{A}$ 와 곱했을 때 단위 행렬이 되는 행렬이다.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{I}$

역행렬은 모든 행렬에 대해 존재하는 것은 아니며, 행렬이 가역적일 때만 존재한다.

합성 변환

두 변환 $\mathbf{T}_1$ 과 $\mathbf{T}_2$ 가 있을 때, 이 두 변환을 차례로 적용하는 합성 변환 $\mathbf{T}$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathbf{T} = \mathbf{T}_2 \cdot \mathbf{T}_1$

이 합성 변환의 결과로 나온 행렬은 먼저 $\mathbf{T}_1$ 을 적용하고, 그 결과에 $\mathbf{T}_2$ 를 적용한 변환과 동일한다.

연산의 성질

행렬 연산에는 다음과 같은 성질이 있다.

교환 법칙: 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않는다. 즉, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$ 이다.
결합 법칙: 행렬 곱셈에서는 결합 법칙이 성립한다. 즉, $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}$ 이다.
분배 법칙: 행렬 곱셈과 행렬 덧셈 사이에는 분배 법칙이 성립한다. 즉, $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$ 이다.

특이 행렬과 판별식

특이 행렬(Singular Matrix)은 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 말한다. 어떤 행렬 $\mathbf{A}$ 가 특이 행렬인지 여부를 판별하기 위해 판별식(Determinant)을 사용한다. 판별식이 0인 행렬은 특이 행렬이다.

$\text{det}(\mathbf{A}) = 0 \Rightarrow \mathbf{A} \text{는 특이 행렬}$

판별식의 성질

판별식은 여러 중요한 성질을 가지고 있다:

$\text{det}(\mathbf{AB}) = \text{det}(\mathbf{A}) \cdot \text{det}(\mathbf{B})$
$\text{det}(\mathbf{A}^T) = \text{det}(\mathbf{A})$
$\text{det}(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})}$

예제: 변환 행렬 연산

다음은 변환 행렬의 기본 연산을 실제 예제로 보여준다.

두 변환 행렬 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 주어졌을 때 그 덧셈과 곱셈을 구한다.

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

덧셈:

$\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

곱셈:

$\mathbf{D} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

단위 행렬 $\mathbf{I}$ 와의 곱셈:

$\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

역행렬과 판별식 계산:

$\text{det}(\mathbf{A}) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2$

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

이 장에서는 변환 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 역행렬 계산 등을 포함한 기본적인 연산과 그 특성을 다루었다. 이를 통해 변환 행렬을 이용한 다양한 조작과 합성 변환을 이해할 수 있게 되었다.