가역 변환과 비가역 변환

변환 행렬을 다룰 때 중요한 개념 중 하나는 가역 변환(invertible transformation)과 비가역 변환(non-invertible transformation)이다. 이는 주로 변환 행렬의 역행렬(inverse matrix)이 존재하는지 여부에 따라 결정된다.

가역 변환 (Invertible Transformation)

가역 변환은 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 그 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$이 존재하는 경우를 의미한다. 즉, 다음 조건을 만족하는 행렬 $\mathbf{A}^{-1}$가 존재하는 경우이다:

여기서 $\mathbf{I}$는 단위 행렬(identity matrix)이다.

• 역행렬의 존재 조건: 행렬 $\mathbf{A}$가 가역 행렬이기 위한 필요충분 조건은 $\mathbf{A}$의 행렬식(determinant)이 0이 아닌 것이다. $$ \text{det}(\mathbf{A}) \neq 0 $$

• 벡터 공간에서의 의미: 가역 변환은 벡터 공간의 차원을 보존하며, 한 공간에서 다른 공간으로 변환된 뒤 다시 원래 공간으로 돌아갈 수 있음을 의미한다.

비가역 변환 (Non-invertible Transformation)

비가역 변환은 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 그 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$이 존재하지 않는 경우를 의미한다. 이 경우, 다음과 같은 특성을 갖는다:

• 행렬식: 행렬 $\mathbf{A}$가 비가역 행렬(non-invertible matrix)인 경우, 행렬식은 0이다.

• 선형 종속성: 행렬 $\mathbf{A}$의 열벡터(혹은 행벡터)가 선형 종속(linearly dependent)인 경우 비가역 변환이 된다. 이는 행렬 $\mathbf{A}$의 계수가 그 행렬의 차원보다 작다는 것을 의미한다.
• 벡터 공간에서의 의미: 비가역 변환은 벡터 공간의 차원 감소를 의미하며, 이 경우 특정 방향의 정보가 손실되거나 왜곡된다.

주요 차이점 요약

가역 변환과 비가역 변환의 주요 차이점을 다음과 같이 요약할 수 있다:

1. 역행렬 존재 여부:
2. 가역 변환: 행렬 $\mathbf{A}$의 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$이 존재

3. 비가역 변환: 행렬 $\mathbf{A}$의 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$이 존재하지 않음

4. 행렬식:

5. 가역 변환: $\text{det}(\mathbf{A}) \neq 0$

6. 비가역 변환: $\text{det}(\mathbf{A}) = 0$

7. 벡터 공간:

8. 가역 변환: 벡터 공간의 차원을 보존
9. 비가역 변환: 벡터 공간의 차원을 감소시키거나 정보 전환