기하학적 모델링에서 동차좌표계는 매우 중요한 역할을 한다. 동차좌표계는 다양한 기하학적 변환을 단순화하고 계산을 용이하게 만든다. 이 장에서는 동차좌표계를 사용한 몇 가지 대표적인 기하학적 모델링 응용 사례에 대해 다룬다.

동차좌표계를 이용한 2D 변환

2D 변환에는 이동, 회전, 확대/축소와 같은 기본 변환들이 포함된다. 동차좌표계를 사용하면 이러한 변환들을 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다.

이동 (Translation)
이동 변환은 객체를 특정 벡터만큼 이동시키는 것이다. 이동 변환 행렬 \mathbf{T}는 다음과 같다.

\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 t_x와 t_y는 각각 x축과 y축 방향의 이동 거리이다.

회전 (Rotation)
회전 변환은 객체를 원점 기준으로 특정 각도만큼 회전시키는 것이다. 회전 변환 행렬 \mathbf{R}는 다음과 같다.

\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 \theta는 회전 각도이다.

확대/축소 (Scaling)
확대/축소 변환은 객체의 크기를 특정 배율로 조정하는 것이다. 확대/축소 변환 행렬 \mathbf{S}는 다음과 같다.

\mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 s_x와 s_y는 각각 x축과 y축 방향의 축소/확대 배율이다.

동차좌표계를 이용한 3D 변환

3D 변환도 2D 변환과 유사하지만, z축이 추가되어 변환 행렬이 4x4 크기를 가진다.

이동 (Translation)
3D 이동 변환은 다음과 같은 형태를 가진다.

\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 t_x, t_y, t_z는 각각 x축, y축, z축 방향의 이동 거리이다.

회전 (Rotation)
3D 회전 변환은 회전 축에 따라 변환 행렬이 달라진다. 각 축에 대한 회전 변환 행렬은 다음과 같다.

\mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

확대/축소 (Scaling)
3D 확대/축소 변환은 다음과 같다.

\mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

여기서 s_x, s_y, s_z는 각각 x축, y축, z축 방향의 축소/확대 배율이다.

복합 변환 (Composite Transformations)

복합 변환은 여러 개의 기본 변환을 하나의 변환으로 결합한 것이다. 동차 좌표계에서는 이러한 복합 변환을 행렬 곱셈으로 쉽게 표현할 수 있다. 예를 들어, 먼저 객체를 회전시키고, 그 다음에 이동시키는 복합 변환은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\mathbf{T} \cdot \mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

행렬 곱셈을 통해 두 변환의 순서에 따라 다른 최종 결과를 얻을 수 있다. 이 경우, 먼저 객체를 회전시킨 후 이동시키는 것이므로 이동 변환 행렬이 회전 변환 행렬 오른쪽에 곱해진다.

응용 예: 그래픽스 렌더링 시스템

컴퓨터 그래픽스에서 3D 모델을 렌더링할 때, 동차 좌표계를 사용하여 다양한 변환을 수행한다. 예를 들어, 모델 좌표에서 월드 좌표로 변환하고, 그 다음에 뷰 좌표로 변환한 후, 다시 화면 좌표로 변환한다. 이러한 일련의 변환은 각각의 변환 행렬을 곱해 하나의 복합 변환 행렬을 만든다.

응용 예: 로봇 공학

로봇공학에서도 동차 좌표계를 사용하여 로봇 팔의 각 조인트에서 발생하는 변환을 처리한다. 로봇의 각 조인트는 회전 축과 이동 변환이 복합된 형태로 나타날 수 있다. 로봇 팔 끝 부분의 위치와 자세를 계산할 때, 동차 좌표계를 사용한 행렬 곱셈을 통해 단순하고 효율적으로 처리할 수 있다.

응용 예: 컴퓨터 비전

컴퓨터 비전에서는 이미지 좌표를 현실 세계의 좌표로 변환하거나 그 반대로 변환할 때 동차 좌표계를 사용한다. 카메라 캘리브레이션 과정에서 얻은 변환 행렬을 사용하여 이미지 좌표와 월드 좌표 사이의 관계를 정의한다. 이러한 변환을 통해 3D 객체의 위치를 추정하거나, 2D 이미지에서 3D 정보를 추출할 수 있다.

동차 좌표계를 사용하면 다양한 기하학적 변환을 행렬 연산으로 간단하게 표현하고 계산할 수 있다. 이는 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학, 컴퓨터 비전 등 여러 분야에서 매우 유용하게 사용된다. 이 장에서 다룬 기본 변환과 복합 변환의 예시를 통해 동차 좌표계의 중요성과 응용 방법을 이해할 수 있다.