2D 및 3D 아핀 변환을 동차좌표(homogeneous coordinates)로 표현하면, 동일한 형식으로 나타낼 수 있어 더 간편해진다. 동차좌표를 사용하기 위해, 원래의 2D 좌표 (x, y)는 (x, y, 1)로 표현되고, 3D 좌표 (x, y, z)는 (x, y, z, 1)로 표현된다. 변환 행렬은 차원에 따라 확장된다.
2D 아핀 변환의 동차좌표 표현
2D 아핀 변환을 동차좌표로 표현하면 다음과 같다:
\begin{bmatrix}
x' \\ y' \\ 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a & b & t_x \\
c & d & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{bmatrix}
따라서 다음과 같이 직관적으로 표현할 수 있다:
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x' \\ y' \\ 1
\end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 10 \\
-0.5 & 1 & 20 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
x + 0.5y + 10 \\
-0.5x + y + 20 \\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
3D 아핀 변환의 동차좌표 표현
3D 아핀 변환을 동차좌표로 표현하면 다음과 같다:
\begin{bmatrix}
x' \\ y' \\ z' \\ 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a & b & c & t_x \\
d & e & f & t_y \\
g & h & i & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix}
따라서 다음과 같이 직관적으로 표현할 수 있다:
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x' \\ y' \\ z' \\ 1
\end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0.5 & 15 \\
0 & 1 & 0.5 & 25 \\
-0.5 & 0 & 1 & 35 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
x + 0.5z + 15 \\
y + 0.5z + 25 \\
-0.5x + z + 35 \\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
이렇게 동차좌표를 사용하면, 점을 변환하기 위한 행렬 계산이 간단해진다.