아핀 변환의 정의 - 실험 도서관

아핀 변환의 개념

아핀 변환(Affine transformation)은 원점을 포함하는 직선을 직선으로, 평행성을 유지하면서 원근변환을 제외한 모든 기하학적 변환을 포괄하는 선형 변환이다. 좀 더 구체적으로, 아핀 변환은 선형 변환과 평행 이동을 조합한 것이다.

형식적 정의

아핀 변환은 선형변환에 평행 이동을 추가한 형태로 정의할 수 있다. 이는 다음과 같이 수식으로 표현된다:

$\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b}$

여기서:

$\mathbf{y}$ 는 변환 결과의 벡터이다.
$\mathbf{A}$ 는 행렬로 표현되는 선형 변환이다.
$\mathbf{x}$ 는 원래의 벡터이다.
$\mathbf{b}$ 는 평행 이동 벡터이다.

동차좌표에 의한 아핀 변환

아핀 변환을 보다 효율적으로 표현하기 위해 동차좌표(homogeneous coordinates)를 사용하는 것이 일반적이다. 동차좌표로 아핀 변환을 표현하면, 수식은 다음과 같다:

$\mathbf{y_h} = \mathbf{P} \mathbf{x_h}$

여기서:

$\mathbf{y_h}$ 는 변환 결과의 동차 벡터이다.
$\mathbf{P}$ 는 $n+1 \times n+1$ 크기의 변환 행렬로 구성된 아핀 변환 행렬이다.
$\mathbf{x_h}$ 는 원래의 동차 벡터이다.

이를 구체적으로 표현하면:

$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{pmatrix}$

동차좌표를 활용하여 2차원 공간에서의 아핀 변환은 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$

위 식에서:

$x', y'$ 는 변환된 좌표이다.
$a_{ij}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 성분이다.
$b_i$ 는 평행 이동 벡터 $\mathbf{b}$ 의 성분이다.
$x, y$ 는 원래의 좌표이다.

아핀 변환의 특성

아핀 변환은 다음과 같은 특성을 가진다:

직선 유지: 아핀 변환은 직선을 직선으로 변환한다. 즉, 직선성이 유지된다.
평행성 유지: 아핀 변환 후에도 평행한 직선들은 여전히 평행하다.
비율 유지: 일차 변환에서 두 점 사이의 비율이 아핀 변환 후에도 유지된다.
원점 보정: 아핀 변환은 새로운 원점을 생성할 수 있다.

아핀 변환의 예

아핀 변환의 일반적인 예로는 다음 변환들이 있다:

평행 이동(Translation): 공간 내에서 객체를 평행하게 이동시키는 변환.

$\mathbf{x'} = \mathbf{x} + \mathbf{b}$

회전(Rotation): 객체를 중심점 기준으로 회전시키는 변환.
스케일링(Scaling): 객체의 크기를 변환시키는 스케일 변환.
전단(Shear): 객체를 한 방향으로 밀어서 전단시키는 변환.

아핀 변환의 활용

아핀 변환은 컴퓨터 그래픽스, 이미지 처리, 로보틱스, 게임 프로그래밍 등 다양한 분야에서 널리 사용된다. 몇 가지 주요 활용 사례는 다음과 같다:

이미지 변환(Image Transformation): 이미지의 회전, 크기 조정, 이동 및 전단을 수행하는데 사용된다.
컴퓨터 그래픽스(Computer Graphics): 3D 객체의 투영, 변환, 그리고 조작에 사용된다.
로보틱스(Robotics): 로봇의 팔이나 손목 등의 부분을 움직이거나 위치를 변경하는데 사용된다.
게임 개발(Game Development): 게임 속 캐릭터나 객체의 이동, 회전, 크기 조정 등을 수행하는데 사용된다.

아핀 변환의 구현

아핀 변환을 실제 코드로 구현하는 예를 들어보자. Python을 사용하여 간단한 2D 아핀 변환을 구현해보자.

import numpy as np

points = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4],
    [5, 6]
])

theta = np.deg2rad(45)
cos_theta, sin_theta = np.cos(theta), np.sin(theta)
affine_matrix = np.array([
    [cos_theta, -sin_theta, 2],  # 2만큼 평행 이동
    [sin_theta, cos_theta, 3],   # 3만큼 평행 이동
    [0, 0, 1]
])

points_homogeneous = np.hstack([points, np.ones((points.shape[0], 1))])

transformed_points_homogeneous = affine_matrix @ points_homogeneous.T
transformed_points = transformed_points_homogeneous[:2].T

print(transformed_points)

이 코드에서는 원래 점들과 아핀 변환 행렬을 정의하고, 동차 좌표로 변환한 후 아핀 변환을 적용하여 변환된 새로운 점들을 얻는다.

기타 고려 사항

아핀 변환은 역행렬이 존재하기 때문에, 원래 데이터로 되돌리는 것이 가능하다. 이는 특히 이미지 복원 같은 작업에 유용하다.
아핀 변환 행렬의 결합: 여러 개의 아핀 변환을 하나의 변환으로 결합할 수 있다. 이는 행렬의 곱셈을 통해 이루어진다.

마지막으로, 아핀 변환의 수학적 이해와 이를 실제로 구현하는 능력은 다양한 실무 분야에서 유용하게 활용될 수 있다.