동차좌표계(Homogeneous coordinate system)는 기하학과 컴퓨터 그래픽스 분야에서 중요한 역할을 차지하고 있다. 이 좌표계는 고정된 원점이나 특정 축에 구애받지 않고, 객체의 변환과 이동을 보다 수월하게 하기 위해 사용된다. 동차좌표계의 역사적 발전 과정을 이해하기 위해서는 고대 기하학부터 현대 컴퓨터 그래픽스에 이르는 과정을 살펴볼 필요가 있다.

초기 기하학과 좌표계

먼저, 좌표계를 처음으로 도입한 사람은 벨기에의 수학자인 코시였다고 할 수 있다. 그는 2차원 평면에서의 점들을 원점에서의 거리와 각도로 표현하는 방법을 제안하였다. 이후 데카르트(Descartes)에 의해 데카르트 좌표계가 수립되었으며, 이로 인해 기하학적인 문제를 대수적으로 해결하는 데 큰 기여를 하였다. 데카르트 좌표계는 점을 $(x,y)$와 같은 형태로 표현하며, 직선, 곡선, 평면 등의 기하학적인 객체들을 수식으로 표현할 수 있다.

비유클리드 기하학과 프로젝트 기하학

19세기 들어, 기하학의 발전은 유클리드 기하학을 넘어 비유클리드 기하학으로 확장되었다. 특히, 프로젝트 기하학은 동차좌표계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 프로젝트 기하학에서는 무한 평면 위의 점과 직선 및 평면의 연장선 상의 관계를 다룬다. 프로젝트 기하학의 중요한 개념 가운데 하나는 '점의 무한 원'이다. 이는 평행한 두 직선이 무한대에서 만나는 것과 같은 개념이다.

동차좌표계의 등장

동차좌표계는 이러한 프로젝트 기하학의 원리에서 비롯되었다. 동차좌표계에서는 점을 $(x, y, z)$와 같이 표현할 수 있으며, 이는 프로젝트 평면 상의 점을 $(x, y, z, w)$와 같은 형태로 확장시켜 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 이 좌표계에서는 $\mathbf{p} = (x, y, z, 1)$와 같은 형태로 점을 표현하며, $w$가 0일 경우 무한대로 취급한다. 이를 통해 무한대의 점들도 하나의 동일한 공간 내에서 다루어질 수 있다.

컴퓨터 그래픽스와의 연관성

컴퓨터 그래픽스 분야에서 동차좌표계는 2D와 3D 그래픽스의 변환과 렌더링 과정에서 필수적인 역할을 한다. 예를 들어, $4 \times 4$ 매트릭스를 사용하여 회전, 평행이동, 스케일링 등의 다양한 변환을 일괄적으로 계산할 수 있다.

수학적으로, 이는 다음과 같은 형태로 일반화될 수 있다:

여기서 $\mathbf{p}$는 원래의 점, $\mathbf{T}$는 행렬 변환, $\mathbf{p'}$는 변환된 점을 나타낸다.