산업용 로봇 제어 - 실험 도서관

개요

산업용 로봇은 다양한 작업 환경에서 높은 정밀도를 요구하는 작업을 수행하며, 이러한 정밀한 제어에는 확장 칼만 필터(EKF)가 중요한 역할을 한다. 산업용 로봇 제어에서 주로 다루는 문제는 로봇 팔의 위치와 속도 추정, 그리고 이를 통해 피드백 루프를 형성하여 정확한 위치와 속도를 유지하는 것이다.

문제 정의

산업용 로봇 제어에서 가장 중요한 과제는 로봇의 상태(위치, 속도, 가속도)를 정확하게 추정하는 것이다. 로봇의 상태는 일반적으로 비선형 시스템으로 표현되며, EKF는 이러한 비선형 시스템의 상태를 추정하는 데 유용하다.

로봇의 상태 벡터는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} \mathbf{q}(t) \\ \dot{\mathbf{q}}(t) \end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{q}(t)$ 는 로봇 조인트 각도 벡터, $\dot{\mathbf{q}}(t)$ 는 각속도 벡터를 나타낸다.

동역학 모델

산업용 로봇의 동역학 모델은 일반적으로 다음과 같은 비선형 방정식으로 표현된다:

$\mathbf{M}(\mathbf{q}(t)) \ddot{\mathbf{q}}(t) + \mathbf{C}(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t)) \dot{\mathbf{q}}(t) + \mathbf{G}(\mathbf{q}(t)) = \mathbf{\tau}(t)$

여기서, - $\mathbf{M}(\mathbf{q}(t))$ 는 로봇의 질량 행렬, - $\mathbf{C}(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t))$ 는 코리올리 및 원심력 항, - $\mathbf{G}(\mathbf{q}(t))$ 는 중력 항, - $\mathbf{\tau}(t)$ 는 로봇에 적용된 토크 벡터이다.

이 모델은 시스템의 비선형성을 포함하고 있어, 확장 칼만 필터를 사용한 상태 추정이 필요하다.

측정 모델

로봇의 제어 시스템에서는 위치 센서와 속도 센서로부터 데이터를 수집한다. 이러한 센서 데이터는 상태 벡터와 직접적으로 대응되지 않으며, 측정 방정식으로 정의된다:

$\mathbf{z}(t) = h(\mathbf{x}(t)) + \mathbf{v}(t)$

여기서, - $\mathbf{z}(t)$ 는 측정 벡터, - $h(\mathbf{x}(t))$ 는 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$ 의 비선형 함수, - $\mathbf{v}(t)$ 는 측정 잡음 벡터이다.

EKF는 이 비선형 시스템에서 상태 벡터를 추정하는데, 이를 위해 먼저 상태 방정식과 측정 방정식을 선형화해야 한다.

확장 칼만 필터 적용

확장 칼만 필터는 예측 단계와 업데이트 단계로 나뉜다. 먼저, 예측 단계에서는 다음과 같이 상태와 오차 공분산을 예측한다:

예측 단계

상태의 예측:

$\mathbf{\hat{x}}_{k|k-1} = f(\mathbf{\hat{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k-1})$

오차 공분산의 예측:

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{F}_k^\top + \mathbf{Q}_k$

여기서, - $\mathbf{F}_k = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{x} = \mathbf{\hat{x}}_{k-1|k-1}}$ 는 상태 전이 함수의 야코비 행렬, - $\mathbf{Q}_k$ 는 시스템 노이즈 공분산 행렬이다.

업데이트 단계

업데이트 단계에서는 측정 데이터를 바탕으로 예측된 상태를 수정한다:

칼만 이득 계산:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\top (\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\top + \mathbf{R}_k)^{-1}$

상태의 업데이트:

$\mathbf{\hat{x}}_{k|k} = \mathbf{\hat{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{z}_k - h(\mathbf{\hat{x}}_{k|k-1}))$

오차 공분산의 업데이트:

$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서, - $\mathbf{H}_k = \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}}\bigg|_{\mathbf{x} = \mathbf{\hat{x}}_{k|k-1}}$ 는 측정 함수의 야코비 행렬, - $\mathbf{R}_k$ 는 측정 잡음 공분산 행렬이다.

확장 칼만 필터의 실제 적용

산업용 로봇 제어에서 EKF를 적용할 때, 가장 중요한 것은 실제 환경에서 센서로부터 수집한 데이터를 통해 상태 추정의 정확도를 높이는 것이다. 예를 들어, 로봇 팔의 끝단 위치를 정확히 추정하는 것이 중요하며, 이를 위해 각도와 각속도 측정 값을 활용하여 시스템의 상태를 지속적으로 추정하고 수정하는 방식이 사용된다.

상태 예측과 제어 입력의 고려

산업용 로봇 제어에서는 일반적으로 제어 입력이 적용되며, 이는 로봇 조인트에 전달되는 토크 $\mathbf{\tau}(t)$ 로 나타난다. 이 제어 입력을 고려하여 상태를 예측하는 것이 중요하다. 제어 입력을 포함한 상태 예측 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{\hat{x}}_{k|k-1} = f(\mathbf{\hat{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k-1})$

여기서, - $\mathbf{u}_{k-1}$ 는 제어 입력 벡터이며, 이는 로봇의 토크나 힘을 나타낸다.

실제로 로봇 제어에서 제어 입력은 시스템의 모델을 보정하고 상태 예측의 정확도를 높이는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 각 조인트에 작용하는 토크 $\mathbf{\tau}(t)$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다:

$\mathbf{\tau}(t) = \mathbf{K}_p (\mathbf{q}_{d}(t) - \mathbf{q}(t)) + \mathbf{K}_d (\dot{\mathbf{q}}_{d}(t) - \dot{\mathbf{q}}(t))$

여기서, - $\mathbf{q}_{d}(t)$ 는 목표 조인트 각도, - $\dot{\mathbf{q}}_{d}(t)$ 는 목표 각속도, - $\mathbf{K}_p$ 는 비례 제어 이득, - $\mathbf{K}_d$ 는 미분 제어 이득이다.

제어 입력은 로봇의 목표 상태를 달성하는 데 중요한 역할을 하며, EKF의 예측 단계에서 이를 정확하게 반영해야 한다.

센서 노이즈와 필터링

로봇 제어 시스템에서 센서로부터 얻은 측정 데이터는 항상 노이즈를 포함한다. 따라서 센서 데이터를 사용하여 상태를 추정할 때, EKF는 노이즈를 효과적으로 필터링하여 추정의 정확도를 높여야 한다. 센서 노이즈는 주로 다음과 같은 확률 분포를 따른다:

$\mathbf{v}(t) \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R})$

여기서, - $\mathbf{v}(t)$ 는 측정 노이즈 벡터, - $\mathbf{R}$ 는 측정 노이즈의 공분산 행렬이다.

EKF는 이러한 노이즈 모델을 기반으로 상태 추정 과정에서 노이즈를 제거하거나 최소화하는 역할을 한다. 산업용 로봇에서는 위치와 속도 센서뿐만 아니라 힘 토크 센서, 가속도계 등을 통해 다양한 데이터를 수집할 수 있으며, 각각의 센서 노이즈를 적절히 고려해야 한다.

수렴성과 안정성

EKF를 적용할 때 중요한 또 하나의 요소는 필터의 수렴성과 안정성이다. 산업용 로봇과 같은 정밀한 제어 시스템에서는 상태 추정의 수렴 속도와 안정성이 필수적이다. EKF의 수렴성은 주로 초기 상태 추정과 공분산 행렬 $\mathbf{P}_{0}$ 에 크게 의존한다. 초기 상태 추정이 실제 상태와 큰 차이가 있을 경우, 필터는 느리게 수렴하거나 불안정해질 수 있다. 이를 방지하기 위해 초기 상태와 공분산을 적절히 설정하는 것이 중요하다.

공분산 행렬 $\mathbf{P}_{k}$ 는 상태 추정의 신뢰도를 나타내며, 공분산이 작을수록 추정 값이 신뢰할 수 있음을 의미한다. EKF의 업데이트 과정에서 공분산이 지나치게 커지면 추정의 신뢰도가 떨어지며, 너무 작으면 필터가 실제 상태 변화를 반영하지 못할 수 있다. 따라서 공분산 행렬의 크기를 적절하게 조정하여 필터의 안정성을 유지하는 것이 필수적이다.

상태 추정의 실시간 성능

산업용 로봇 제어에서 중요한 또 하나의 요소는 실시간 성능이다. EKF를 통해 로봇의 상태를 실시간으로 추정하는 것은 필수적이며, 이를 위해서는 필터의 계산 복잡도를 최소화하면서도 정확한 상태 추정을 유지해야 한다. 로봇이 고속으로 움직이거나 다양한 작업을 수행할 때, EKF의 예측과 업데이트 과정이 지연 없이 수행되어야 한다.

EKF의 실시간 성능을 향상시키기 위한 주요 방법으로는 다음과 같은 접근법이 있다:

상태 공간 차원의 축소
로봇 시스템에서 필요한 상태 변수만을 선택하여 EKF의 상태 공간을 축소함으로써 계산 비용을 줄일 수 있다. 불필요한 상태 변수를 제거함으로써 필터의 복잡성을 감소시키고, 실시간 처리 성능을 향상시킬 수 있다.
효율적인 수치 계산
EKF의 핵심 연산인 야코비 행렬의 계산과 공분산 행렬의 업데이트는 매우 중요한 연산이다. 이러한 연산을 효율적으로 구현하기 위해 병렬 계산 기법이나 고성능 수학 라이브러리를 활용할 수 있다. 예를 들어, 행렬 연산이 많은 부분에서 병렬 처리가 가능하도록 알고리즘을 최적화할 수 있다.
하드웨어 가속
로봇 제어 시스템에서 하드웨어 가속을 사용하여 EKF의 계산을 가속화할 수 있다. GPU나 FPGA와 같은 하드웨어 가속기를 활용하면 EKF의 예측 및 업데이트 단계를 병렬로 처리하여 실시간 성능을 크게 향상시킬 수 있다.
비동기 센서 처리
로봇 시스템에서 다양한 센서가 서로 다른 주기로 데이터를 제공하는 경우, EKF는 비동기 센서 데이터를 처리할 수 있어야 한다. 이를 위해서는 각 센서 데이터의 타임스탬프를 기록하고, 그에 따라 EKF의 업데이트 주기를 조정하는 비동기 처리 기법이 필요하다.

센서 융합의 역할

산업용 로봇 제어에서 EKF는 다양한 센서 데이터를 융합하여 상태를 추정하는 데 중요한 역할을 한다. 각 센서는 특정한 물리적 정보를 제공하며, 이러한 정보를 결합함으로써 더 정확한 상태 추정을 할 수 있다. 대표적인 센서 융합 예시는 다음과 같다:

조인트 위치 및 속도 센서 융합
로봇 팔의 각 조인트에 장착된 위치 센서와 속도 센서를 결합하여 각 조인트의 정확한 상태를 추정할 수 있다. 위치 센서에서 얻은 값은 느린 업데이트 속도를 가지지만, 속도 센서에서 얻은 값은 더 빠른 속도로 상태 변화를 반영할 수 있다. EKF는 이러한 서로 다른 주기의 데이터를 융합하여 더 정확한 상태를 제공한다.
힘 토크 센서와 위치 센서 융합
로봇이 물체를 다룰 때 힘 토크 센서와 위치 센서의 데이터를 융합하여 작업의 정확성을 높일 수 있다. 힘 토크 센서는 물체와의 상호작용에서 발생하는 힘을 측정하며, 위치 센서는 로봇의 움직임을 측정한다. 이 두 가지 데이터를 결합함으로써 로봇의 상태를 더 정밀하게 추정하고, 충돌 회피 및 접촉 제어와 같은 작업을 수행할 수 있다.
가속도계 및 자이로 센서 융합
로봇의 움직임을 정확하게 추정하기 위해 가속도계와 자이로 센서의 데이터를 결합할 수 있다. 가속도계는 로봇의 선형 가속도를 측정하며, 자이로 센서는 각속도를 측정한다. EKF는 이 두 데이터를 융합하여 로봇의 움직임을 추정하고, 예측 모델을 보정할 수 있다.

이와 같은 센서 융합은 로봇의 동작을 더 정확하게 제어하고, 작업의 효율성을 높이는 데 필수적이다.

확장 칼만 필터의 성능 개선 방법

EKF의 성능을 개선하기 위한 여러 방법이 연구되고 있으며, 특히 산업용 로봇 제어에 적용할 수 있는 몇 가지 개선 방안이 있다. 이러한 방법들은 EKF의 정확도와 계산 효율성을 높이는 데 중점을 둔다.

비선형 필터 기법
EKF는 시스템의 비선형성을 선형화하는 과정에서 근사 오차를 발생시킨다. 이를 해결하기 위해 Unscented Kalman Filter(UKF)와 같은 비선형 필터 기법이 제안되었다. UKF는 비선형 시스템에서 보다 정확한 상태 추정을 제공하며, EKF보다 더 복잡한 비선형 시스템에도 적용 가능하다.
다중 모델 필터링
다중 모델 필터링은 여러 개의 상태 모델을 동시에 적용하여 상태 추정의 정확도를 높이는 방법이다. 예를 들어, 산업용 로봇이 여러 작업 모드를 가질 경우, 각각의 작업 모드에 따라 다른 동역학 모델을 사용하여 필터링을 수행할 수 있다. 이를 통해 작업 모드 전환 시 상태 추정의 정확성을 유지할 수 있다.
적응형 칼만 필터
적응형 칼만 필터는 시스템의 동적 특성에 따라 필터의 파라미터를 실시간으로 조정하는 기법이다. 예를 들어, 로봇이 특정한 작업을 수행할 때 상태 변화가 크다면, 필터의 이득이나 공분산 행렬을 적응적으로 변경하여 상태 추정의 정확도를 높일 수 있다.

이러한 방법들은 EKF의 성능을 향상시키고, 로봇 제어에서 보다 정밀한 상태 추정을 가능하게 한다.

C++ Eigen 구현

다음은 위에서 설명한 확장 칼만 필터(EKF)를 C++ Eigen 라이브러리를 사용하여 구현한 예시이다. 이 코드는 산업용 로봇 제어에 적합한 형태로 작성되었다. EKF의 상태 예측 및 업데이트 과정을 포함하며, 센서 융합 및 상태 추정 과정을 구현한다.

주요 클래스 구조

EKF: 확장 칼만 필터를 구현하는 클래스이다. 상태 예측 및 업데이트 메서드를 포함하고 있다.
RobotModel: 로봇의 동역학 모델을 정의하는 클래스이다. 상태 전이 함수와 측정 함수가 포함된다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

class EKF {
public:
    EKF(int state_size, int measurement_size, int control_size) {
        x_.setZero(state_size);  // 상태 벡터 초기화
        P_.setIdentity(state_size, state_size);  // 오차 공분산 행렬 초기화
        F_.setIdentity(state_size, state_size);  // 상태 전이 행렬
        Q_.setIdentity(state_size, state_size);  // 시스템 노이즈 공분산
        R_.setIdentity(measurement_size, measurement_size);  // 측정 노이즈 공분산
        H_.setZero(measurement_size, state_size);  // 측정 함수의 야코비 초기화
        B_.setZero(state_size, control_size);  // 제어 입력 행렬 초기화
    }

    // 상태 예측
    void predict(const Eigen::VectorXd& u) {
        // 상태 예측: f(x, u) = F * x + B * u
        x_ = F_ * x_ + B_ * u;
        // 공분산 예측: P = F * P * F^T + Q
        P_ = F_ * P_ * F_.transpose() + Q_;
    }

    // 상태 업데이트
    void update(const Eigen::VectorXd& z) {
        // 칼만 이득 계산: K = P * H^T * (H * P * H^T + R)^-1
        Eigen::MatrixXd S = H_ * P_ * H_.transpose() + R_;  // 측정 예측 공분산
        Eigen::MatrixXd K = P_ * H_.transpose() * S.inverse();  // 칼만 이득

        // 상태 업데이트: x = x + K * (z - h(x))
        x_ = x_ + K * (z - H_ * x_);

        // 공분산 업데이트: P = (I - K * H) * P
        Eigen::MatrixXd I = Eigen::MatrixXd::Identity(x_.size(), x_.size());
        P_ = (I - K * H_) * P_;
    }

    // 상태 전이 행렬 설정
    void setTransitionMatrix(const Eigen::MatrixXd& F) {
        F_ = F;
    }

    // 측정 행렬 설정
    void setMeasurementMatrix(const Eigen::MatrixXd& H) {
        H_ = H;
    }

    // 시스템 노이즈 공분산 설정
    void setProcessNoiseCovariance(const Eigen::MatrixXd& Q) {
        Q_ = Q;
    }

    // 측정 노이즈 공분산 설정
    void setMeasurementNoiseCovariance(const Eigen::MatrixXd& R) {
        R_ = R;
    }

    // 상태 추정 값 반환
    Eigen::VectorXd getState() const {
        return x_;
    }

private:
    Eigen::VectorXd x_;  // 상태 벡터
    Eigen::MatrixXd P_;  // 오차 공분산 행렬
    Eigen::MatrixXd F_;  // 상태 전이 행렬
    Eigen::MatrixXd Q_;  // 시스템 노이즈 공분산 행렬
    Eigen::MatrixXd H_;  // 측정 함수의 야코비
    Eigen::MatrixXd R_;  // 측정 노이즈 공분산 행렬
    Eigen::MatrixXd B_;  // 제어 입력 행렬
};

// 로봇의 동역학 모델
class RobotModel {
public:
    RobotModel(int state_size, int control_size) {
        F_.setIdentity(state_size, state_size);
        B_.setZero(state_size, control_size);
    }

    // 상태 전이 함수 f(x, u)
    Eigen::VectorXd stateTransition(const Eigen::VectorXd& x, const Eigen::VectorXd& u) {
        // 단순한 상태 전이 예시: F * x + B * u
        return F_ * x + B_ * u;
    }

    // 측정 함수 h(x)
    Eigen::VectorXd measurementFunction(const Eigen::VectorXd& x) {
        // 측정 벡터 예시 (직접 측정 가능)
        return x;
    }

    void setTransitionMatrix(const Eigen::MatrixXd& F) {
        F_ = F;
    }

    void setControlMatrix(const Eigen::MatrixXd& B) {
        B_ = B;
    }

private:
    Eigen::MatrixXd F_;  // 상태 전이 행렬
    Eigen::MatrixXd B_;  // 제어 입력 행렬
};

// 주 함수
int main() {
    // 상태 벡터 크기, 측정 벡터 크기, 제어 벡터 크기 정의
    int state_size = 4;  // 예: [q, q_dot] (조인트 각도, 각속도)
    int measurement_size = 4;
    int control_size = 2;  // 예: 토크 제어 입력

    // EKF 객체 생성
    EKF ekf(state_size, measurement_size, control_size);

    // 초기 상태 정의 (예: 로봇 조인트의 초기 각도와 각속도)
    Eigen::VectorXd x_init(state_size);
    x_init << 0.0, 0.0, 0.0, 0.0;
    ekf.setTransitionMatrix(Eigen::MatrixXd::Identity(state_size, state_size));

    // 제어 입력 정의 (예: 토크 입력)
    Eigen::VectorXd u(control_size);
    u << 1.0, 0.5;

    // 측정 값 정의 (예: 조인트 각도와 각속도 측정)
    Eigen::VectorXd z(measurement_size);
    z << 1.1, 0.6, 0.0, 0.0;

    // EKF 예측 단계
    ekf.predict(u);

    // EKF 업데이트 단계
    ekf.update(z);

    // 결과 출력: 추정된 상태 벡터
    std::cout << "추정된 상태 벡터: \n" << ekf.getState() << std::endl;

    return 0;
}

EKF 클래스: 이 클래스는 확장 칼만 필터의 예측 및 업데이트 단계를 구현하며, 상태 벡터, 공분산 행렬, 상태 전이 행렬 등을 포함하고 있다.
RobotModel 클래스: 로봇의 동역학 모델을 구현한 클래스이다. 상태 전이와 제어 입력을 다룬다.
main 함수: EKF 객체를 생성하고, 상태 벡터와 제어 입력 및 측정 데이터를 이용해 EKF 예측과 업데이트를 수행하는 예시이다.

이 코드 예시는 Eigen 라이브러리를 사용하여 확장 칼만 필터를 구현하는 기본적인 틀을 제공한다. 이를 기반으로 더 복잡한 상태 전이 모델, 측정 함수, 센서 융합 등을 추가할 수 있다.