개선된 필터 기법 소개

비선형 시스템의 문제점과 해결 방안

확장 칼만 필터(EKF)는 비선형 시스템에서 필터링을 적용할 때 선형화 과정을 사용한다. 그러나 선형화 과정에서 발생하는 근사로 인해 EKF의 성능이 저하될 수 있다. 특히, 시스템이 강한 비선형성을 가지는 경우, 오차가 크게 누적될 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 다양한 개선된 필터 기법이 제안되었다.

1. 무향 칼만 필터(Unscented Kalman Filter, UKF)

무향 칼만 필터는 확장 칼만 필터의 대안으로, 비선형 시스템에 대한 추정 정확도를 높이기 위해 개발된 기법이다. EKF와 달리, UKF는 선형화 과정을 거치지 않고 비선형 시스템의 상태와 오차 공분산을 보다 정확하게 추정한다. 이는 시그마 포인트(Sigma Points)라는 개념을 사용하여 상태의 확률 분포를 근사한다.

1.1 시그마 포인트의 생성

무향 변환을 사용하는 UKF는 주어진 상태 추정 값과 공분산 행렬을 기반으로 여러 개의 시그마 포인트를 생성한다. 각 시그마 포인트는 상태 벡터와 오차 공분산 행렬의 정보를 반영하여 계산된다.

시그마 포인트들은 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{x}^{(0)} = \hat{\mathbf{x}}_k$

$\mathbf{x}^{(i)} = \hat{\mathbf{x}}_k + \sqrt{(L + \lambda)\mathbf{P}_k} \quad (i = 1, \dots, L)$

$\mathbf{x}^{(i+L)} = \hat{\mathbf{x}}_k - \sqrt{(L + \lambda)\mathbf{P}_k} \quad (i = 1, \dots, L)$

여기서, $\hat{\mathbf{x}}_k$ 는 추정된 상태 벡터, $\mathbf{P}_k$ 는 오차 공분산 행렬, $L$ 은 상태 벡터의 차원, $\lambda$ 는 튜닝 가능한 파라미터이다.

1.2 무향 변환 적용

생성된 시그마 포인트들은 비선형 함수 $f(\cdot)$ 에 의해 변환된다. 이 변환 과정에서 각 시그마 포인트에 대해 개별적으로 계산하여 비선형 시스템의 동작을 보다 정확하게 반영한다.

$\mathbf{x}^{(i)}_{k+1} = f(\mathbf{x}^{(i)}_k)$

변환된 시그마 포인트들을 기반으로 상태 추정 값을 계산하고, 오차 공분산 행렬도 업데이트된다.

1.3 UKF의 장점

UKF는 EKF와 달리 선형화 과정에서의 근사 오차를 피하기 때문에 비선형 시스템에서 더 정확한 상태 추정이 가능한다. 또한, UKF는 테일러 급수 전개 없이 비선형 시스템의 확률 분포를 다룰 수 있어, 복잡한 시스템에서도 높은 성능을 보이다.

2. 확률 밀도 함수 필터(Particle Filter, PF)

확률 밀도 함수 필터(PF)는 매우 복잡하거나 비선형적이고 비가우시안적인 시스템에 사용되는 방법이다. PF는 시스템 상태의 확률 밀도를 샘플링을 통해 근사하는 비모수적 필터링 기법이다. 이는 수천 개의 입자(Particles)로 상태의 확률 밀도를 표현하여 비선형성과 비가우시안성에 매우 유연하게 대처할 수 있다.

2.1 입자 필터의 기본 개념

입자 필터는 샘플 기반의 접근법으로, 각 입자는 가능한 상태의 후보군을 나타내며, 이들 입자가 시스템의 동역학을 따른다. 초기에는 상태 벡터의 추정값을 중심으로 임의의 샘플(입자)을 생성하고, 각 입자는 상태에 대해 다른 확률적 가중치를 부여받는다.

상태 벡터의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 입자들의 합으로 표현할 수 있다:

$p(\mathbf{x}_k | \mathbf{z}_{1:k}) \approx \sum_{i=1}^{N} w_k^{(i)} \delta(\mathbf{x}_k - \mathbf{x}_k^{(i)})$

여기서, $\mathbf{x}_k^{(i)}$ 는 $i$ -번째 입자, $w_k^{(i)}$ 는 해당 입자의 가중치, $N$ 은 총 입자 수, $\delta(\cdot)$ 는 디랙 델타 함수이다.

2.2 샘플링과 중요도 재샘플링

입자 필터는 각 샘플 입자에 대해 가중치를 할당하고, 이 가중치는 관측 데이터 $\mathbf{z}_k$ 에 의해 업데이트된다. 관측 데이터와 시스템 상태 간의 차이를 기반으로 입자들의 가중치가 조정된다. 가중치는 다음과 같이 업데이트된다:

$w_k^{(i)} \propto w_{k-1}^{(i)} p(\mathbf{z}_k | \mathbf{x}_k^{(i)})$

관측이 이루어진 후, 상태 추정은 높은 가중치를 가진 입자들에 의해 더 크게 영향을 받는다. 그러나 시간이 지나면서 특정 입자들이 너무 큰 가중치를 갖게 되고, 나머지 입자들의 가중치가 매우 작아지는 현상이 발생할 수 있다. 이를 입자 퇴화(Particle Degeneracy) 문제라고 한다. 이를 해결하기 위해 중요도 재샘플링(Resampling)을 사용한다.

재샘플링 과정은 입자 집합에서 작은 가중치를 가진 입자들을 제거하고, 큰 가중치를 가진 입자들을 다중 복제하여 입자 집합을 새롭게 구성하는 방식이다.

2.3 입자 필터의 장점과 단점

입자 필터는 복잡한 비선형 시스템에서 매우 유용한 방법이다. 특히, 비가우시안 시스템에서는 EKF나 UKF로는 처리할 수 없는 문제들을 해결할 수 있다. 하지만 입자 필터의 성능은 샘플링 입자의 수에 크게 의존하며, 많은 입자를 사용할수록 계산 비용이 커진다는 단점이 있다.

3. 필터 병합 기법(Hybrid Filter)

확장 칼만 필터와 입자 필터를 병합한 하이브리드 필터는 두 필터의 장점을 결합하여 비선형 시스템에 대한 더 나은 성능을 제공한다. 예를 들어, 상태의 일부는 선형이고 일부는 비선형일 때, 선형 부분은 EKF로 처리하고 비선형 부분은 PF로 처리하는 방식이다.

3.1 하이브리드 필터의 동작 원리

하이브리드 필터는 시스템의 구조적 특성에 따라 필터를 분할한다. 선형적으로 동작하는 부분에 대해서는 EKF를 적용하여 계산의 복잡성을 줄이고, 비선형적으로 동작하는 부분에 대해서는 PF를 적용하여 비선형성에 대한 처리 능력을 강화한다.

이를 위해 시스템 상태를 선형 및 비선형 상태로 분리한 후, 상태 공간을 다음과 같이 정의할 수 있다:

$\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_k^{(L)} \\ \mathbf{x}_k^{(NL)} \end{bmatrix}$

여기서, $\mathbf{x}_k^{(L)}$ 는 선형 상태, $\mathbf{x}_k^{(NL)}$ 는 비선형 상태이다. 필터의 업데이트는 각각의 상태에 대해 적합한 방식으로 이루어진다.

3.2 하이브리드 필터의 장점

하이브리드 필터는 계산 효율성과 추정 정확도 간의 균형을 맞출 수 있는 방법이다. 선형 부분에서는 EKF를 통해 효율적인 계산을 수행하고, 비선형 부분에서는 PF를 통해 더 정확한 상태 추정이 가능한다. 이로 인해 비선형성과 계산 비용을 동시에 고려해야 하는 복잡한 시스템에 적합한다.