비선형 시스템의 정의

비선형 시스템은 시스템의 입력과 출력 간의 관계가 선형적이지 않은 시스템을 말한다. 수학적으로, 시스템이 선형인 경우 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

여기서,
- $\mathbf{x}(t)$는 상태 벡터, - $\mathbf{u}(t)$는 입력 벡터, - $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$는 시스템을 설명하는 행렬이다.

하지만, 비선형 시스템에서는 상태와 입력이 복잡한 방식으로 상호작용하므로, 선형 시스템처럼 간단히 표현할 수 없다. 일반적으로 비선형 시스템은 다음과 같은 형태로 표현된다.

여기서,
- $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$는 상태의 비선형 변화율을 나타내며, 시스템의 동적 모델을 의미한다. - $\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$는 측정 모델을 나타내며, 상태와 출력 간의 비선형 관계를 나타낸다.

비선형 시스템의 종류

비선형 시스템은 크게 두 가지로 구분할 수 있다:
- 시간 불변 시스템 (Time-invariant system): 시스템이 시간에 따라 변하지 않으며, 상태와 입력 간의 관계만이 비선형이다.

• 시간 가변 시스템 (Time-variant system): 시간에 따라 시스템의 성질이 변하며, 시간도 비선형성에 영향을 미친다.

예를 들어, 자율 주행 차량에서 차량의 가속도는 속도에 따라 비선형적으로 변한다. 즉, 일정 속도 이상에서는 가속이 더디게 증가한다. 이러한 동적 특성을 가진 시스템은 비선형 시스템의 대표적인 예다.

비선형 시스템 모델링 방법

비선형 시스템을 모델링하는 가장 일반적인 방법은 비선형 미분 방정식을 사용하는 것이다. 이는 시스템의 상태 변화가 비선형 함수로 나타나며, 이를 통해 시스템의 동작을 설명한다. 일반적으로, 비선형 시스템 모델링에서 가장 중요한 단계는 상태 공간 표현을 정의하는 것이다.

상태 공간 표현은 다음과 같이 정의된다.

여기서,
- $\mathbf{x}(t)$는 시스템의 상태 벡터, - $\mathbf{u}(t)$는 입력 벡터, - $\mathbf{\dot{x}}(t)$는 상태 변화율, - $t$는 시간 변수를 의미한다.

이러한 상태 공간 표현은 시스템의 동적 특성을 설명하기 위한 중요한 도구이다.

비선형성의 원천

비선형성의 주된 원천은 다음과 같다.

1. 입력 비선형성: 시스템의 입력과 상태 변화 사이의 관계가 선형적이지 않은 경우를 말한다. 예를 들어, 드론의 추진력은 제어 입력에 비선형적으로 반응한다.
2. 출력 비선형성: 시스템의 출력과 상태 사이의 관계가 선형적이지 않은 경우다. 자율 주행 차량의 스티어링 조작에 따른 차량의 회전은 비선형적인 특징을 보인다.
3. 파라미터 비선형성: 시스템의 파라미터가 시간 또는 상태에 따라 변하는 경우다. 예를 들어, 배터리의 전력 출력은 배터리 상태에 따라 비선형적으로 변한다.

비선형 시스템의 특성은 복잡하며, 이러한 비선형성을 정확히 모델링하는 것이 필수적이다. 확장 칼만 필터는 이러한 비선형 시스템의 상태를 추정하는 강력한 도구로 사용된다.

비선형 시스템의 상태 공간 모델

비선형 시스템의 상태 공간 모델은 다음과 같이 표현된다:

여기서,
- $\mathbf{\dot{x}}(t)$는 시간에 따른 상태의 변화율 (미분), - $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$와 입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$, 그리고 시간 $t$에 의존하는 비선형 함수, - $\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 측정 모델을 나타내는 함수로, 시스템의 실제 출력 $\mathbf{y}(t)$를 설명한다.

이 모델은 시스템의 동적 성질을 정의하며, 이를 기반으로 시스템의 상태 추정을 위한 알고리즘을 설계할 수 있다. 비선형 시스템의 상태 공간 모델은 확장 칼만 필터에서 상태 추정에 중요한 역할을 한다.

상태 벡터의 정의

상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$는 시스템의 동적 상태를 설명하는 벡터로, 시스템의 현재 상태를 나타낸다. 예를 들어, 자율 주행 차량의 경우 상태 벡터는 위치, 속도, 가속도 등을 포함할 수 있다. 일반적으로 상태 벡터는 시스템의 동작에 중요한 변수를 포함한다.

입력 벡터의 정의

입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$는 시스템에 입력되는 제어 신호를 나타낸다. 예를 들어, 로봇 시스템에서는 모터에 가해지는 전압이나 속도 명령이 입력 벡터에 해당할 수 있다. 입력 벡터는 시스템의 상태 변화에 직접적인 영향을 미치는 변수를 포함한다.

비선형 함수 $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$의 역할

$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 시스템의 상태 변화율을 설명하는 비선형 함수이다. 이 함수는 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$와 입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$에 의존하며, 시스템이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸다.

예를 들어, 차량의 동적 모델에서 차량의 속도와 방향은 가속도, 스티어링 각도 등에 의해 변화하며, 이러한 변화는 비선형적일 수 있다. 이때 $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 이러한 동적 변화를 수학적으로 설명한다.

측정 모델 $\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$의 역할

$\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 측정 모델을 설명하는 비선형 함수로, 상태 벡터 $\mathbf{x}(t)$와 입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$에 의존하여 시스템의 실제 출력 $\mathbf{y}(t)$를 나타낸다. 측정 모델은 센서로부터 얻은 데이터와 실제 시스템 상태 사이의 관계를 나타낸다.

예를 들어, 드론의 위치를 추정할 때 GPS 데이터를 기반으로 위치를 추정하지만, 이 값은 정확하지 않을 수 있다. $\mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$는 이러한 오차를 포함한 측정 모델을 설명하는 함수이다.

비선형 시스템의 예시

비선형 시스템을 더 구체적으로 이해하기 위해, 다양한 분야에서 사용되는 몇 가지 대표적인 비선형 시스템의 예를 살펴볼 수 있다.

자율 주행 차량의 동적 모델

자율 주행 차량의 모델은 입력과 상태 간의 관계가 비선형적이다. 예를 들어, 차량의 속도와 가속도는 엔진 출력에 비선형적으로 반응하며, 특히 고속 주행에서 비선형성이 두드러진다.

차량의 동적 모델은 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서,
- $\mathbf{x}(t)$는 차량의 상태 (위치, 속도, 가속도), - $\mathbf{u}(t)$는 제어 입력 (가속 페달, 브레이크, 스티어링), - $\mathbf{f}$와 $\mathbf{h}$는 차량의 동적 특성을 설명하는 비선형 함수이다.

드론의 자세 제어

드론의 자세 제어는 회전 운동과 관련된 비선형 시스템으로, 드론의 각도와 각속도는 제어 입력에 비선형적으로 반응한다. 특히, 드론의 스러스트와 각속도는 비선형적으로 변화하며, 이를 정확히 모델링하는 것이 중요하다.

드론의 동적 모델은 다음과 같이 비선형 미분 방정식으로 표현될 수 있다:

여기서, $\mathbf{x}(t)$는 드론의 상태 (각도, 각속도, 위치 등)를 나타내고, $\mathbf{u}(t)$는 스러스트 및 제어 입력을 나타낸다.

로봇 팔의 제어 시스템

로봇 팔의 제어 시스템은 비선형 동작을 나타내는 대표적인 예시 중 하나이다. 로봇 팔은 여러 조인트로 이루어져 있으며, 각 조인트의 회전은 선형적이지 않다. 특히, 조인트 간의 상호작용과 중력의 영향으로 인해 로봇 팔의 동작은 매우 비선형적인 특성을 보인다.

로봇 팔의 동적 모델은 일반적으로 다음과 같이 비선형 미분 방정식으로 표현된다.

여기서,
- $\mathbf{x}(t)$는 로봇 팔의 상태 (각도, 각속도, 각가속도 등), - $\mathbf{u}(t)$는 입력 (조인트에 가해지는 토크), - $\mathbf{f}$는 로봇 팔의 동적 특성을 나타내는 비선형 함수이다.

특히, 로봇 팔의 제어 문제에서는 중력, 관성, 마찰력 등의 다양한 비선형적인 요인을 고려해야 한다. 이러한 요인들은 각 조인트의 움직임에 큰 영향을 미치며, 이를 적절하게 모델링하는 것이 매우 중요하다.

항공기의 비행 제어 시스템

항공기의 비행 제어 시스템도 비선형 시스템의 대표적인 예시 중 하나이다. 항공기의 자세 제어, 속도 제어, 고도 제어 등은 모두 비선형적 특성을 보인다. 예를 들어, 항공기의 속도가 높아질수록 항력과 양력의 비선형적인 상호작용이 발생하며, 이러한 요소들이 비행의 안정성에 큰 영향을 미친다.

항공기의 동적 모델은 다음과 같이 비선형 미분 방정식으로 표현될 수 있다:

여기서,
- $\mathbf{x}(t)$는 항공기의 상태 (위치, 속도, 자세 등), - $\mathbf{u}(t)$는 제어 입력 (엔진 출력, 조종면의 움직임 등), - $\mathbf{f}$는 항공기의 비행 역학을 설명하는 비선형 함수이다.

항공기의 제어는 비행 중 다양한 요인에 의해 변화하는 비선형적 요소를 포함하므로, 이러한 시스템의 정확한 모델링은 매우 중요하다.

전력 시스템에서의 비선형성

전력 시스템에서는 전압과 전류 간의 관계가 비선형적이다. 특히, 고전압 전력 시스템에서는 부하와 전력 공급 간의 상호작용이 매우 복잡하며, 이러한 상호작용은 비선형성을 포함한다. 전력 시스템의 동적 모델은 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다:

여기서, $\mathbf{x}(t)$는 전압과 전류의 상태를 나타내며, $\mathbf{u}(t)$는 시스템에 입력되는 전력이나 부하 변화를 나타낸다. 전력 시스템의 비선형성은 전력 공급과 부하 사이의 복잡한 관계로 인해 발생하며, 이를 모델링하는 것이 중요하다.

비선형 시스템의 상태 추정

비선형 시스템에서 상태 추정은 매우 중요한 문제로, 특히 비선형 특성이 강한 시스템에서는 상태를 정확하게 추정하기 어렵다. 이러한 이유로 비선형 시스템의 상태 추정을 위해서는 확장 칼만 필터와 같은 비선형 필터링 기법이 필요하다.

상태 추정의 어려움

비선형 시스템의 상태 추정은 다음과 같은 이유로 어려움을 겪는다.

• 비선형성: 상태와 출력 간의 관계가 선형적이지 않으므로, 기존의 선형 필터링 기법을 적용할 수 없다.

• 모델 불확실성: 비선형 시스템에서 모델링 오류가 발생할 가능성이 높으며, 이는 상태 추정의 정확도를 저하시킬 수 있다.

• 센서 노이즈: 비선형 시스템에서 사용되는 센서는 다양한 비선형 노이즈를 포함할 수 있으며, 이를 처리하는 것이 중요하다.

이러한 문제들을 해결하기 위해, 확장 칼만 필터는 비선형 시스템의 상태를 추정하는 데 사용된다. 확장 칼만 필터는 비선형성을 선형 근사화하여 상태 추정을 수행하며, 이를 통해 비선형 시스템에서도 비교적 정확한 상태 추정을 가능하게 한다.