다양한 모양의 웨이블릿 함수

웨이블릿 변환에서는 다양한 응용 분야에 적합하도록 여러 가지 모양의 웨이블릿 함수를 정의하고 사용한다. 이들 웨이블릿 함수는 시간-주파수 분석의 특성을 조절하는 역할을 하며, 각 웨이블릿은 특정한 형태와 특성을 가지므로 특정 데이터 분석에 더 적합한 웨이블릿을 선택할 수 있다. 아래에서는 주요 웨이블릿 함수들을 소개하고, 각 함수의 정의와 특성을 수학적으로 설명한다.

Morlet 웨이블릿

Morlet 웨이블릿은 Gaussian 함수와 복소평면에서의 사인파를 곱하여 정의된 웨이블릿 함수이다. 이 함수는 주로 신호의 주파수 성분을 분석하는 데 유용하며, 다음과 같은 형태로 표현된다.

$\psi(t) = e^{j \omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$

여기서 $\omega_0$ 는 중심 주파수이며, $\sigma$ 는 Gaussian의 폭을 결정하는 매개변수이다. Morlet 웨이블릿은 시간과 주파수의 조화로운 분포를 제공하며, 주파수 분석에 탁월한 성능을 보이다. 이 웨이블릿의 Fourier 변환은 다음과 같이 나타난다.

$\Psi(\omega) = e^{-\frac{(\omega - \omega_0)^2}{2\sigma^2}}$

이를 통해 Morlet 웨이블릿이 특정 중심 주파수 $\omega_0$ 주변에서 대역 제한된 응답을 가진다는 것을 알 수 있다.

Mexican Hat 웨이블릿

Mexican Hat 웨이블릿은 Gaussian 2차 미분으로 얻어지는 실수 값의 웨이블릿으로, 신호의 변화를 감지하는 데 자주 사용된다. 이 웨이블릿 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\psi(t) = \left(1 - \frac{t^2}{\sigma^2}\right)e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$

이 함수는 중앙에서 높은 값을 가지며 주변에서 급격히 감소하는 형태를 가진다. Mexican Hat 웨이블릿은 신호의 경계나 에지 검출에 매우 유용하며, 주로 1차원 또는 2차원 데이터에서 구조의 변화를 감지하는 데 사용된다.

Meyer 웨이블릿

Meyer 웨이블릿은 Fourier 공간에서 정의된 웨이블릿으로, 주파수 영역에서 특정 대역을 갖는 웨이블릿이다. Meyer 웨이블릿은 엄격하게 정의된 주파수 영역 특성을 가지고 있어 주파수 분석에서 정밀한 결과를 제공한다. 이 웨이블릿의 정의는 다음과 같이 주파수 영역에서 표현된다.

$\Psi(\omega) = \begin{cases} \sin\left(\frac{\pi}{2} \nu \left(\frac{3|\omega|}{2\pi} - 1\right)\right), & \frac{2\pi}{3} \leq |\omega| \leq \frac{4\pi}{3} \\ 1, & \frac{4\pi}{3} < |\omega| < \frac{8\pi}{3} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $\nu$ 는 매끄러운 함수로, Fourier 영역에서 급격한 변화가 없는 부드러운 대역 제한 웨이블릿을 형성하는 데 사용된다. Meyer 웨이블릿은 다중 해상도 분석에 적합하며, 특히 영상 처리와 같은 2차원 데이터에 유용하게 사용된다.

Haar 웨이블릿

Haar 웨이블릿은 가장 간단한 형태의 웨이블릿 함수로, 단일 단계의 값이 지속되다 갑작스럽게 변화하는 특성을 가진다. 이는 이산 웨이블릿 변환에 널리 사용되며, 다음과 같이 정의된다.

$\psi(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t < \frac{1}{2} \\ -1, & \frac{1}{2} \leq t < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

Haar 웨이블릿은 단순한 형태로 인해 계산이 용이하고, 신호 내 급격한 변화나 불연속적인 점을 감지하는 데 적합한다. Haar 웨이블릿은 특히 이미지 압축이나 신호의 특징 추출에서 유용하게 활용된다.

Daubechies 웨이블릿

Daubechies 웨이블릿은 Ingrid Daubechies가 개발한 웨이블릿 계열로, Haar 웨이블릿을 일반화한 형태이다. 이 웨이블릿은 짧은 지지(Support) 구간을 가지면서도 부드러운 함수를 생성할 수 있어, 다양한 신호 분석과 데이터 압축에 효과적이다. Daubechies 웨이블릿은 일반적으로 $D_N$ 으로 표기되며, $N$ 은 웨이블릿의 차수를 나타낸다.

Daubechies 웨이블릿 함수는 시간 영역에서 수학적으로 명확히 표현하기 어렵지만, 주파수 영역에서는 다음과 같은 대칭 필터 계수로 나타낼 수 있다. 이러한 계수는 웨이블릿 변환의 필터 설계에 사용된다. 예를 들어, $D_4$ 웨이블릿 필터 계수는 다음과 같다.

$h = \left[ \frac{1 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \frac{3 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \frac{3 - \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} \right]$

이러한 필터 계수를 사용하여 Daubechies 웨이블릿 변환을 수행할 수 있다. Daubechies 웨이블릿은 이미지와 신호의 세부 정보를 유지하면서도 부드러운 변환을 수행하는 데 적합하며, 다중 해상도 분석에서 중요한 역할을 한다.

Symlet 웨이블릿

Symlet 웨이블릿은 Daubechies 웨이블릿의 변형 중 하나로, 대칭성을 개선한 웨이블릿 함수이다. 이는 Daubechies 웨이블릿의 비대칭성을 보완하기 위해 개발되었으며, 데이터의 경계에서 발생할 수 있는 왜곡을 줄이는 데 유리한다. Symlet 웨이블릿은 $S_N$ 으로 표기되며, $N$ 은 차수를 나타낸다.

Symlet 웨이블릿의 필터 계수는 Daubechies 웨이블릿과 유사하게 주파수 영역에서 정의된다. 예를 들어, $S_4$ 웨이블릿 필터 계수는 다음과 같다.

$h = \left[ 0.48296, 0.83648, 0.22414, -0.12941 \right]$

이러한 Symlet 웨이블릿은 이미지와 신호의 경계 부분을 더 정확하게 처리하며, 특히 영상 처리와 같은 2차원 데이터의 변환에서 효과적이다.

Coiflet 웨이블릿

Coiflet 웨이블릿은 시간과 주파수 영역 모두에서 최대한의 대칭성을 유지하면서도, 0차부터 2차까지의 모멘트가 소멸하는 특성을 갖는다. 이는 Coiflet 웨이블릿이 매우 부드러운 필터 특성을 가지도록 하며, 특히 신호의 특징을 정밀하게 추출하는 데 유리한다. Coiflet 웨이블릿은 $C_N$ 으로 표기되며, 다음과 같은 필터 계수를 갖는다.

예를 들어, $C_6$ Coiflet 웨이블릿의 필터 계수는 다음과 같다.

$h = \left[ -0.015655, -0.072732, 0.384864, 0.852572, 0.337897, -0.072732, -0.015655 \right]$

이러한 Coiflet 웨이블릿은 신호의 저주파와 고주파 성분을 균형 있게 분리하여, 다양한 신호 분석과 압축에 유리하게 작용한다.

Gaussian 웨이블릿

Gaussian 웨이블릿은 Gaussian 함수의 도함수를 이용하여 구성된 웨이블릿으로, 주로 신호의 변화율을 감지하는 데 사용된다. Gaussian 웨이블릿은 다음과 같이 정의된다.

$\psi(t) = \frac{d^n}{dt^n} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$

여기서 $n$ 은 도함수의 차수를 나타내며, Gaussian 웨이블릿의 형태를 결정하는 요소이다. 예를 들어, $n = 1$ 일 경우, Gaussian 1차 미분 웨이블릿이 되며 이는 신호의 경계나 특이점을 감지하는 데 유용하다. Gaussian 웨이블릿은 신호의 시간-주파수 특성을 분석할 때 널리 사용되며, 특히 생체 신호나 음성 신호의 분석에 효과적이다.

Shannon 웨이블릿

Shannon 웨이블릿은 시간 영역에서 주기적인 형태를 가지며, 주파수 영역에서는 대역 제한(Band-limited) 특성을 갖는 웨이블릿 함수이다. 이는 완전히 비대칭적인 웨이블릿으로, 주파수 영역에서 명확한 대역폭을 제공하기 때문에 주파수 해석에서 탁월한 성능을 보이다. Shannon 웨이블릿 함수는 다음과 같은 식으로 정의된다.

$\psi(t) = \frac{\sin\left(2\pi B t\right)}{\pi t}$

여기서 $B$ 는 주파수 대역폭을 나타낸다. 주파수 영역에서 Shannon 웨이블릿의 Fourier 변환은 다음과 같은 형태를 가지며, 대역 제한 특성을 명확하게 보여준다.

$\Psi(\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \leq B \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

이 웨이블릿은 특히 주파수의 특정 범위를 정확히 분석해야 하는 경우에 적합하며, 높은 주파수 해상도를 요구하는 신호 처리에 활용된다. 그러나 시간 영역에서의 대칭성이 부족하기 때문에 시간 해상도 측면에서는 한계가 있을 수 있다.

Complex Gaussian 웨이블릿

Complex Gaussian 웨이블릿은 Gaussian 함수와 복소수 사인파의 곱으로 정의된 웨이블릿으로, 주로 2차원 이미지 처리에서 모양과 방향성을 인식하는 데 유리한다. 이 웨이블릿은 다음과 같이 표현된다.

$\psi(t) = e^{j \omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$

여기서 $\omega_0$ 는 주파수 중심을 나타내며, $\sigma$ 는 Gaussian 함수의 폭을 제어하는 매개변수이다. 이 웨이블릿은 Morlet 웨이블릿과 유사하지만, 복소수 특성을 더욱 강조하여 신호의 위상 정보를 동시에 분석할 수 있다.

Complex Gaussian 웨이블릿은 신호의 미세한 주파수 및 위상 변화를 분석하는 데 유용하며, 특히 영상이나 음성 신호의 패턴 인식과 에지 검출에서 높은 효율성을 보이다.

Bump 웨이블릿

Bump 웨이블릿은 대역 제한된 부드러운 웨이블릿으로, Gaussian 형태와 유사한 특성을 갖는다. 이 웨이블릿은 다음과 같은 식으로 정의된다.

$\psi(t) = e^{1 - \frac{1}{1 - t^2}}$

$|t| < 1$ 일 때만 정의되며, 이 외의 경우에는 $\psi(t) = 0$ 으로 정의된다. Bump 웨이블릿은 신호의 특정 범위를 매우 좁게 설정할 수 있기 때문에, 고해상도의 주파수 분석에 유용하며, 특히 주파수 대역의 특정 부분에서 집중된 분석이 필요할 때 적합한다. 이 웨이블릿은 영상 처리 및 주파수 대역 제한된 신호의 분석에서 흔히 사용된다.

Hermitian 웨이블릿

Hermitian 웨이블릿은 Hermite 다항식을 사용하여 구성된 웨이블릿으로, 주로 음성 신호와 같은 1차원 데이터의 고주파 성분을 감지하는 데 유리한다. 이 웨이블릿의 정의는 다음과 같다.

$\psi(t) = H_n(t) e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$

여기서 $H_n(t)$ 는 Hermite 다항식이며, $n$ 은 다항식의 차수를 나타낸다. Hermitian 웨이블릿은 신호의 국소적인 고주파 성분을 강조하는 데 유리하며, 특히 신호의 불연속성이나 급격한 변화 지점을 찾는 데 효과적이다.

Hermitian 웨이블릿의 특성은 주파수와 시간 해상도의 조화를 이루어, 다양한 신호 분석에서 응용될 수 있다. 주로 소리나 진동 신호에서 유용하게 사용된다.