CWT의 개념 및 이산 웨이블릿 변환과의 차이점

연속 웨이블릿 변환의 개념

연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform, CWT)은 주어진 신호에 대해 시간과 주파수 정보를 동시에 제공하는 강력한 변환 도구이다. 이는 주파수 영역뿐만 아니라 시간 영역에서도 세부 정보를 유지하며 신호를 분석할 수 있도록 한다. CWT는 특정 주파수 대역에서 신호의 변화를 관찰하기 위해 신호와 웨이블릿 함수 사이의 연속적인 내적을 계산하여 얻어진다. 웨이블릿 변환의 결과는 시간과 주파수 모두에 대해 연속적인 함수 형태를 가지므로, 특정 주파수와 시간 구간에서의 신호 특성을 세밀하게 분석할 수 있다.

CWT는 주파수 정보를 파악하는 데 있어서 고정된 창을 사용하는 푸리에 변환과 달리, 주파수에 따라 윈도우 크기를 조절할 수 있다. 이를 통해 낮은 주파수에서는 넓은 시간 창을 사용하고, 높은 주파수에서는 좁은 시간 창을 사용하여 시간-주파수 분해능을 유연하게 조절할 수 있다.

CWT의 수학적 정의

연속 웨이블릿 변환은 주어진 신호 $f(t)$ 와 웨이블릿 함수 $\psi(t)$ 의 내적을 통해 정의된다. CWT는 신호 $f(t)$ 에 대한 웨이블릿 변환 계수 $W_f(a, b)$ 를 다음과 같이 계산한다:

$W_f(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \psi_{a, b}(t) \, dt$

여기서 $\psi_{a, b}(t)$ 는 위치 $b$ 와 스케일 $a$ 로 변환된 웨이블릿 함수로, 다음과 같이 정의된다:

$\psi_{a, b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi\left(\frac{t - b}{a}\right)$

스케일 $a$ : 주파수 영역에서의 크기 조정을 나타내며, 작은 $a$ 값일수록 고주파 요소에 대응한다.
위치 $b$ : 시간 영역에서의 변위로, 특정 시간 위치로 웨이블릿 함수를 이동시킨다.

위의 수식에서, $a$ 가 크면 웨이블릿이 넓게 퍼져 있어 저주파 정보를 포착하고, $a$ 가 작으면 웨이블릿이 짧아져 고주파 정보를 포착할 수 있다.

이산 웨이블릿 변환과의 차이점

이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform, DWT)은 시간과 주파수 모두에 대해 이산적으로 샘플링된 방식으로 신호를 분석한다. DWT는 주로 신호 처리를 위한 효율적이고 계산적으로 단순화된 변환으로 설계되었다. 반면 CWT는 시간과 주파수에 대해 연속적인 특성을 유지하여 보다 세밀하고 해상도 높은 변환을 제공한다.

DWT와의 주요 차이점은 다음과 같다:

연속성 대 이산성:
CWT는 모든 스케일 $a$ 와 위치 $b$ 에서 연속적인 값으로 웨이블릿 변환 계수를 구한다.
DWT는 일반적으로 2진 스케일링 및 이동을 사용하여 이산적으로 샘플링된 계수를 제공한다.
스케일링 방법:
CWT의 경우 스케일 $a$ 가 연속적으로 변화할 수 있으므로 원하는 주파수 해상도에 맞추어 조정 가능한다.
DWT는 일반적으로 스케일을 2진법으로 조정하며, $a = 2^j$ 와 같이 이산적인 스케일을 사용하여 분석한다.
해상도 및 계산 복잡도:
CWT는 모든 가능한 스케일과 위치에서 신호와 웨이블릿 함수의 내적을 계산하기 때문에 계산적으로 매우 복잡하며, 많은 메모리를 필요로 한다.
DWT는 이러한 연속적인 계산을 단순화하고 주파수 분해능을 유지하는 구조를 취하여 메모리와 계산 성능 면에서 더 효율적이다.

시간-주파수 해상도 비교

연속 웨이블릿 변환(CWT)과 이산 웨이블릿 변환(DWT)의 또 다른 차이점은 시간-주파수 해상도의 유연성에 있다. CWT는 주파수에 따라 윈도우 크기를 동적으로 조정할 수 있기 때문에, 저주파에서는 높은 시간 해상도를 제공하고 고주파에서는 높은 주파수 해상도를 제공할 수 있다. 이를 통해 CWT는 신호의 전반적인 주파수 특성과 세부적인 시간 변화를 동시에 포착할 수 있다.

이와 달리, DWT는 주파수 영역에서의 해상도와 시간 영역에서의 해상도가 일정한 구조를 가지며, 특히 2진 스케일링 방식을 사용하여 해상도를 단계별로 나누는 특성을 가지고 있다. 이러한 특징 때문에 DWT는 신호의 특정 주파수 대역에서 세밀한 변화를 포착하기보다는, 전체적인 신호의 주파수 성분을 간략하게 표현하는 데 유리한다.

이를 수식적으로 설명하자면, CWT의 경우 주파수 대역에 따라 스케일 $a$ 가 연속적으로 변화하므로, 시간-주파수 평면에서 자유롭게 이동할 수 있다. 반면 DWT에서는 다음과 같은 형태로 샘플링된 주파수와 시간 정보를 갖는다:

$a = 2^j, \quad b = k \cdot 2^j$

여기서 $j$ 와 $k$ 는 각각 스케일 레벨과 시간 이동을 나타내는 정수이다. 이러한 구조는 특정 주파수 대역의 고해상도 분석이 필요한 경우에는 한계를 가질 수 있다.

에너지 보존 특성

CWT와 DWT는 에너지 보존에 있어서도 중요한 차이를 보이다. CWT의 경우 모든 스케일에서 연속적으로 계산되므로, 신호의 전체 에너지가 CWT 변환 계수에 보존된다. 이를 수학적으로 나타내면, Parseval's theorem에 따라 신호 $f(t)$ 의 에너지는 다음과 같이 CWT 계수 $W_f(a, b)$ 에 의해 표현될 수 있다:

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt = \frac{1}{C_\psi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |W_f(a, b)|^2 \, \frac{da \, db}{a^2}$

여기서 $C_\psi$ 는 웨이블릿 함수 $\psi(t)$ 가 에너지를 보존하도록 하는 정규화 상수이다. 반면, DWT는 이산적인 스케일과 이동만을 사용하기 때문에, 전체 신호의 에너지를 계수에 보존하는 방식이 CWT와는 다르다.

DWT에서도 신호의 에너지 보존이 가능하지만, 에너지가 이산적으로 분할된 형태로 표현되므로 연속적인 해석을 요구하는 응용에는 적합하지 않을 수 있다.

웨이블릿 선택에 대한 차이점

CWT와 DWT는 적용하는 웨이블릿의 특성에서도 차이를 갖는다. CWT는 스케일과 이동이 연속적이기 때문에, 웨이블릿 함수의 형태가 보다 유연하게 선택될 수 있다. 일반적으로 CWT에서는 모라 웨이블릿(Morlet wavelet), 멕시칸 햇(Mexican hat) 웨이블릿과 같이 매끄러운 주파수 응답 특성을 가진 웨이블릿이 자주 사용된다. 이 웨이블릿들은 신호의 주파수 대역 특성을 정밀하게 포착하는 데 유리한다.

반면, DWT는 스케일링과 이동이 이산적인 특성을 가지므로, 해상도와 주파수 특성을 고려하여 특정 스케일에 적합한 필터 구조를 사용하는 하이어(Haar), 다베쉬(Daubechies) 등의 웨이블릿이 많이 사용된다. DWT의 웨이블릿은 일반적으로 짧고 간결한 형태를 가지며, 신호 처리와 데이터 압축을 염두에 두고 설계되었다.

변환의 응용 분야

이러한 CWT와 DWT의 특성 차이는 각 변환의 응용 분야를 구분하는 중요한 요인이다. CWT는 시간과 주파수 정보를 연속적으로 제공하므로, 비정상 신호(non-stationary signals) 분석에 특히 유리한다. 예를 들어, 음성 분석, 진동 분석, 생체 신호 분석 등에서는 시간에 따른 주파수 변화를 연속적으로 추적할 수 있는 CWT가 유리하게 사용된다.

반면, DWT는 이산적으로 처리된 신호를 다중 해상도로 분해하는 방식으로, 신호 압축(signal compression), 잡음 제거(noise reduction), 이미지 압축(image compression)과 같은 분야에 주로 사용된다. 예를 들어, JPEG 2000 이미지 압축 표준에서는 DWT를 사용하여 이미지 데이터를 효율적으로 압축하고 해상도를 유지할 수 있다.