행렬 변환을 통한 2D DWT 개념 이해

2차원 웨이블릿 변환(2D DWT)은 이미지와 같은 2차원 신호를 분석하기 위해 사용되며, 이산 웨이블릿 변환(DWT)의 원리를 2차원으로 확장한 형태로 볼 수 있다. 2D DWT는 주로 이미지 처리와 압축 분야에서 활용되며, 고주파 및 저주파 성분을 분리하여 원본 데이터의 다양한 특징을 추출하는 데 효과적이다.

2D DWT는 행렬 변환을 통해 수행되며, 기본적으로 행렬의 행(row)과 열(column)에 각각 1차원 DWT를 적용하는 방식으로 진행된다. 이 과정은 주로 다음과 같은 단계로 이루어진다.

2D DWT의 주요 단계

행 단위의 DWT 수행
입력 행렬 $\mathbf{I}$ 의 각 행에 대해 1차원 DWT를 수행하여 저주파 성분과 고주파 성분을 각각 추출한다. 이 과정을 통해 생성된 결과는 저주파 성분을 담은 벡터와 고주파 성분을 담은 벡터로 나뉜다.

행렬 $\mathbf{I}$ 에 대해 각 행을 다음과 같이 변환한다:

$\mathbf{I}_{\text{row}} = \mathbf{DWT}_{\text{row}}(\mathbf{I})$

여기서, $\mathbf{DWT}_{\text{row}}$ 는 각 행(row)에 대한 1D DWT 연산이다. 변환된 결과는 두 개의 부분 벡터로 나누어진다.

열 단위의 DWT 수행
첫 번째 단계에서 생성된 행 단위 DWT 결과에 대해 각 열(column)에 다시 1차원 DWT를 수행하여 전체 2차원 변환을 완료한다. 이 과정 역시 저주파 및 고주파 성분으로 나누어지며, 최종적으로 네 개의 부분 영역으로 분할된다.

행렬 변환 후의 결과를 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\mathbf{I}_{\text{2D}} = \mathbf{DWT}_{\text{column}}(\mathbf{I}_{\text{row}})$

이 결과는 최종적으로 네 영역으로 분할된 형태이다: 저주파-저주파(LL), 저주파-고주파(LH), 고주파-저주파(HL), 고주파-고주파(HH).

2D DWT 행렬 분해

행렬 분해 관점에서 2D DWT의 결과는 입력 이미지의 정보를 네 개의 부분으로 분해하는 구조를 가진다. 이 네 부분은 다음과 같다.

LL (Low-Low): 저주파 성분만 포함하여 이미지의 전체적인 윤곽과 중요한 저주파 정보를 나타낸다.
LH (Low-High): 가로 방향의 저주파 성분과 세로 방향의 고주파 성분을 포함하여 이미지의 세부적인 세로 방향 정보를 강조한다.
HL (High-Low): 가로 방향의 고주파 성분과 세로 방향의 저주파 성분을 포함하여 이미지의 세부적인 가로 방향 정보를 강조한다.
HH (High-High): 고주파 성분만 포함하여 이미지의 가장 세밀한 디테일을 나타낸다.

2D DWT를 통해 분해된 이 네 영역은 다양한 이미지 처리 작업에 각각 활용될 수 있으며, 특히 LL 영역은 이미지 압축과 같은 작업에 적합한다.

각 영역의 정보는 수식으로 표현할 수 있으며, 2D DWT 결과 $\mathbf{I}_{\text{2D}}$ 는 다음과 같이 구성된다:

$\mathbf{I}_{\text{2D}} = \begin{bmatrix} \mathbf{LL} & \mathbf{LH} \\ \mathbf{HL} & \mathbf{HH} \end{bmatrix}$

여기서 각 블록은 해당 성분을 포함하는 행렬 형태로 존재하며, 이미지의 다양한 주파수 대역 정보를 담고 있다.

2D DWT의 수학적 표현

2차원 DWT를 수학적으로 정의하려면, 입력 행렬 $\mathbf{I}$ 에 대해 각 행과 열에 대한 웨이블릿 필터링을 고려해야 한다. 일반적으로 웨이블릿 필터링은 저주파 성분을 담당하는 스케일링 함수와 고주파 성분을 담당하는 웨이블릿 함수로 구성된다.

2차원 DWT의 경우, 이산 웨이블릿 변환(DWT) 필터 $\mathbf{h}$ 와 $\mathbf{g}$ 를 사용하여 행렬 변환을 정의할 수 있다.

행에 대한 변환
행렬 $\mathbf{I}$ 의 각 행에 대해 스케일링 필터와 웨이블릿 필터를 각각 적용하여 행 단위 변환을 수행한다. 필터링 연산 후, 각 행은 저주파 성분과 고주파 성분으로 나누어진다.

수식적으로 각 행 $\mathbf{I}[i,:]$ 에 대해 다음과 같은 필터링을 적용한다:

$\mathbf{L}[i,:] = \mathbf{h} \ast \mathbf{I}[i,:]$

$\mathbf{H}[i,:] = \mathbf{g} \ast \mathbf{I}[i,:]$

여기서 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{H}$ 는 각각 저주파(Low)와 고주파(High) 성분을 나타내며, $\ast$ 는 컨볼루션 연산을 의미한다.

열에 대한 변환
행 변환 후 생성된 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{H}$ 에 대해 열 방향으로 다시 필터링을 적용하여 최종적인 2D DWT 결과를 얻는다. 여기서 각 열에 대해 스케일링 필터와 웨이블릿 필터를 사용하여 저주파와 고주파 성분을 추출한다.

변환 결과는 다음과 같이 네 개의 영역으로 분할된다:

$\mathbf{LL} = \mathbf{h} \ast \mathbf{L}$

$\mathbf{LH} = \mathbf{g} \ast \mathbf{L}$

$\mathbf{HL} = \mathbf{h} \ast \mathbf{H}$

$\mathbf{HH} = \mathbf{g} \ast \mathbf{H}$

이 수식들은 최종적으로 네 가지 주파수 대역의 성분(LL, LH, HL, HH)을 생성하며, 각각의 성분은 이미지의 특정 주파수 정보를 포함한다.

2D DWT의 특징과 장점

2차원 DWT는 이미지를 다중 해상도로 분석할 수 있도록 해 주며, 고주파와 저주파 정보를 분리하여 다양한 대역폭에서의 세밀한 분석이 가능하게 한다. 특히 저주파 성분인 $\mathbf{LL}$ 부분은 이미지의 주요 정보가 집중되어 있어 압축 효율을 높이는 데 유리하며, 고주파 성분인 $\mathbf{LH}$ , $\mathbf{HL}$ , $\mathbf{HH}$ 부분은 세부 구조 정보를 제공하여 노이즈 제거와 경계 검출과 같은 작업에 유용하다.

멀티레벨 2D DWT의 적용

멀티레벨 2차원 DWT를 통해 추가적인 해상도 단계를 얻을 수 있다. 예를 들어, 첫 번째 단계에서 얻어진 저주파 성분 $\mathbf{LL}$ 에 대해 다시 DWT를 수행하여 추가적인 주파수 분해를 생성할 수 있다. 이를 반복하면 각 단계마다 저주파 성분이 더욱 세밀하게 분할되며, 이미지의 다중 해상도 구조를 얻을 수 있다.

멀티레벨 DWT의 개념은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{LL}_1 \rightarrow \text{2D DWT} \rightarrow \{\mathbf{LL}_2, \mathbf{LH}_2, \mathbf{HL}_2, \mathbf{HH}_2\}$

여기서 $\mathbf{LL}_1$ 은 첫 번째 단계에서 얻어진 저주파 성분이며, 두 번째 단계에서 다시 2D DWT를 수행하여 새로운 저주파 및 고주파 성분을 생성한다. 이 과정을 여러 번 반복하여 다양한 해상도의 이미지를 얻을 수 있다.