1차원 신호의 웨이블릿 변환 개요

웨이블릿 변환은 신호 처리 분야에서 널리 사용되는 기법으로, 주로 시간-주파수 분석을 가능하게 하는 도구로 활용된다. 기존의 푸리에 변환(Fourier Transform)이 주파수 영역에서의 정보를 제공하는 반면, 웨이블릿 변환은 시간에 따른 주파수 변화를 분석할 수 있는 장점을 가진다. 특히 1차원 신호의 경우, 시간 도메인에서 국부적 특성을 파악할 수 있어 다양한 실용적 응용에서 사용된다.

1차원 신호의 기본 개념

1차원 신호 $\mathbf{x}(t)$ 는 시간에 따라 변하는 값을 가지며, 이러한 신호는 다양한 특성을 포함할 수 있다. 예를 들어, 음성 신호, 생체 신호(EEG, ECG), 기계의 진동 데이터 등이 1차원 신호로 분류될 수 있다. 이러한 신호를 분석하기 위해서는 시간 도메인뿐만 아니라 주파수 도메인에서도 특성을 추출할 수 있어야 하며, 웨이블릿 변환이 그 역할을 한다.

웨이블릿 변환의 기본 수학적 표현

웨이블릿 변환은 주어진 신호를 서로 다른 스케일(scale)과 위치(shift)를 가지는 웨이블릿 함수(wavelet function)와 내적(inner product)하여 신호의 다양한 주파수 성분을 추출한다. 연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform, CWT)은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{C}(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{x}(t) \psi_{a,b}(t) dt$

여기서 $\psi_{a,b}(t)$ 는 모함수(mother wavelet) $\psi(t)$ 를 스케일링 및 시프팅한 형태로, 다음과 같이 표현된다.

$\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left(\frac{t - b}{a}\right)$

여기서, - $a$ 는 스케일 파라미터로, 주파수 영역에서의 크기 정보를 조절하며, - $b$ 는 시간 위치 파라미터로, 시간 도메인에서 신호가 국부적으로 분석될 수 있도록 한다.

이산 웨이블릿 변환 (DWT)

연속 웨이블릿 변환과 달리, 이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform, DWT)은 스케일과 시간 이동의 파라미터가 이산적인 값을 가지며, 컴퓨터에서의 실용적 구현에 적합하다. DWT는 주어진 신호를 저주파 성분과 고주파 성분으로 분리하는 과정으로 이해할 수 있다. 1차원 신호 $\mathbf{x}[n]$ 에 대해 DWT는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{c}_{j,k} = \sum_{n=0}^{N-1} \mathbf{x}[n] \psi_{j,k}[n]$

여기서, - $j$ 는 스케일 인덱스, - $k$ 는 시간 인덱스를 나타내며, - $\psi_{j,k}[n]$ 은 스케일과 시간에 따른 웨이블릿 함수이다.

다중 해상도 분석 (Multi-resolution Analysis, MRA)

다중 해상도 분석은 웨이블릿 변환의 중요한 개념으로, 신호를 서로 다른 해상도로 분리하여 분석하는 방식이다. 신호의 저주파 성분과 고주파 성분을 각각 다른 해상도로 표현함으로써 신호의 전체적인 패턴과 국부적 변동을 동시에 파악할 수 있다.

1차원 신호 $\mathbf{x}$ 에 대해, MRA는 저해상도(Low-pass) 필터 $\mathbf{h}$ 와 고해상도(High-pass) 필터 $\mathbf{g}$ 를 사용하여 신호를 단계적으로 분해한다. 각 단계에서 생성된 저주파 성분 $\mathbf{A}$ 와 고주파 성분 $\mathbf{D}$ 는 다음과 같은 수식으로 표현된다.

$\mathbf{A}_{j}[n] = \sum_{k} \mathbf{x}[k] \mathbf{h}_{j}[n - k]$

$\mathbf{D}_{j}[n] = \sum_{k} \mathbf{x}[k] \mathbf{g}_{j}[n - k]$

여기서 $\mathbf{h}_{j}$ 와 $\mathbf{g}_{j}$ 는 각각 저주파와 고주파 필터를 나타낸다. 다중 해상도 분석을 통해 신호를 점진적으로 더 낮은 해상도로 분해하면서 각 레벨에서 국부적 세부사항을 얻어낼 수 있다.

웨이블릿 변환의 주요 응용 분야

1차원 신호에 대한 웨이블릿 변환은 다양한 실제 응용에서 두드러진 역할을 한다. 주요 응용 분야에는 신호 압축(Signal Compression), 노이즈 제거(Denoising), 이상 탐지(Anomaly Detection), 그리고 신호의 특징 추출(Feature Extraction) 등이 포함된다.

신호 압축 (Signal Compression)

웨이블릿 변환은 신호의 압축에 효과적이다. 이는 신호의 중요한 정보가 주로 저주파 성분에 집중되는 경우가 많기 때문이다. 웨이블릿 변환을 통해 신호를 분해하고, 중요한 저주파 성분을 보존하면서 불필요한 고주파 성분을 제거하면 압축된 신호를 얻을 수 있다. 압축 과정은 다음과 같이 수행된다.

웨이블릿 변환을 사용하여 신호를 저주파 및 고주파 성분으로 분해한다.
신호의 저주파 성분만을 보존하고 고주파 성분을 제거하거나 최소화한다.
저주파 성분을 기반으로 신호를 재구성하여 압축된 신호를 얻는다.

수학적으로, 신호 $\mathbf{x}$ 의 압축된 표현은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{x}_{\text{compressed}} = \sum_{k} \mathbf{A}_{j}[k] \mathbf{h}^{*}[n - 2k]$

이 방식은 특히 이미지나 오디오 신호의 압축에서 유용하며, 압축률을 높이면서도 원본 신호의 중요한 특성을 유지할 수 있다.

노이즈 제거 (Denoising)

웨이블릿 변환은 신호에서 노이즈를 제거하는 데에도 널리 사용된다. 이 과정은 특히 의료 신호나 환경 센서 데이터를 처리할 때 중요하다. 노이즈 제거 과정은 다음과 같이 수행된다.

웨이블릿 변환을 사용하여 신호를 저주파 및 고주파 성분으로 분해한다.
고주파 성분은 주로 노이즈를 포함하고 있을 가능성이 높으므로, 임계값(threshold)을 적용하여 불필요한 고주파 성분을 제거한다.
역 웨이블릿 변환을 통해 노이즈가 제거된 신호를 재구성한다.

노이즈 제거를 위한 수학적 모델은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathbf{x}_{\text{denoised}} = \sum_{k} T(\mathbf{D}_{j}[k]) \mathbf{g}^{*}[n - 2k] + \sum_{k} \mathbf{A}_{j}[k] \mathbf{h}^{*}[n - 2k]$

여기서 $T(\cdot)$ 는 임계값 함수로, 특정 값 이하의 고주파 성분을 제거하거나 축소하는 역할을 한다.

이상 탐지 (Anomaly Detection)

1차원 신호에서의 이상 탐지에도 웨이블릿 변환이 유용하다. 예를 들어, 기계의 진동 데이터나 네트워크 트래픽에서 정상적인 패턴에서 벗어나는 이상 신호를 감지할 수 있다.

웨이블릿 변환을 통해 고주파 성분을 분석하여 급격한 변화나 이상치를 찾아낸다.
고주파 성분이 비정상적으로 높거나 일정하지 않은 경우, 이상 패턴으로 분류한다.

이상 탐지의 수학적 기법으로는 다음과 같이 고주파 성분의 에너지 값 분석이 사용된다.

$\mathbf{E}_{\text{high}} = \sum_{k} \left| \mathbf{D}_{j}[k] \right|^2$

고주파 성분의 에너지 $\mathbf{E}_{\text{high}}$ 가 특정 임계값을 초과하면 이상 패턴으로 간주할 수 있다.

특징 추출 (Feature Extraction)

특히 머신러닝과 같은 데이터 분석 분야에서, 1차원 신호의 특징 추출은 중요한 과정이다. 웨이블릿 변환을 통해 얻어진 저주파 및 고주파 성분은 신호의 고유한 특징을 나타내며, 이러한 특징들은 모델 학습의 입력 데이터로 사용될 수 있다.

저주파 성분은 신호의 전역적 패턴을 제공한다.
고주파 성분은 신호의 세부적 특징을 제공하여 패턴 분류에 도움이 된다.

특징 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\mathbf{F} = \left[ \mathbf{A}_{j}[k], \mathbf{D}_{j}[k] \right]$

이러한 특징 벡터 $\mathbf{F}$ 는 분류, 클러스터링 등 다양한 머신러닝 응용에서 유용하게 활용될 수 있다.