웨이블릿 필터의 개념과 종류

웨이블릿 필터는 웨이블릿 변환을 수행하기 위해 사용되는 핵심 요소로, 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하거나 이들을 결합하는 역할을 한다. 이러한 필터는 신호 처리의 다양한 응용 분야에서 필수적이며, 웨이블릿 변환의 다중 해상도 분석(Multi-Resolution Analysis, MRA)을 실현하는 데 중요한 역할을 한다. 이 절에서는 웨이블릿 필터의 개념과 종류에 대해 자세히 설명한다.

웨이블릿 필터의 기본 개념

웨이블릿 필터는 주로 두 가지 필터, 즉 저역 통과 필터(Low-Pass Filter)와 고역 통과 필터(High-Pass Filter)로 구성된다. 웨이블릿 변환 과정에서 신호 $\mathbf{x}$ 는 이 두 필터를 사용하여 저주파 성분( $\mathbf{c}_A$ )과 고주파 성분( $\mathbf{c}_D$ )으로 나뉜다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$\mathbf{c}_A = \sum_{k} \mathbf{x}[k] \cdot h[k]$

$\mathbf{c}_D = \sum_{k} \mathbf{x}[k] \cdot g[k]$

여기서 $h[k]$ 는 저역 통과 필터 계수, $g[k]$ 는 고역 통과 필터 계수이다. 저역 통과 필터는 신호의 저주파 성분을 강조하고, 고역 통과 필터는 고주파 성분을 강조하여 세부 정보를 포착한다.

웨이블릿 필터의 설계 원리

웨이블릿 필터를 설계할 때 가장 중요한 요소는 필터의 특성과 그 필터가 생성하는 웨이블릿의 특성이다. 필터 설계는 주파수 응답, 시간 응답, 직교성, 컴팩트 지지(compact support) 등의 특성을 고려하여 이루어진다. 일반적으로 웨이블릿 필터는 다음과 같은 주요 조건을 만족해야 한다.

직교성 (Orthogonality)
필터가 직교성을 갖춘다면, 신호의 손실 없이 원래 신호로 복원할 수 있다. 즉, 이산 웨이블릿 변환(DWT)에서 이중 직교 필터를 사용할 수 있게 된다.
컴팩트 지지 (Compact Support)
컴팩트 지지란 필터의 출력이 시간적으로 제한된 범위 내에 있다는 것을 의미한다. 이는 필터링된 신호가 특정 구간 안에 집중된다는 뜻이며, 실시간 신호 처리에 유리한다.
정규화 (Normalization)
필터가 에너지를 보존할 수 있도록 적절한 정규화가 이루어져야 한다. 일반적으로 필터의 계수 합이 특정 값으로 유지된다.

웨이블릿 필터의 종류

웨이블릿 필터는 다양한 종류가 있으며, 각 필터는 특정 응용 분야에 적합한 특성을 가지고 있다. 대표적인 웨이블릿 필터의 종류를 아래에 설명한다.

Haar 웨이블릿 필터

Haar 웨이블릿 필터는 가장 간단한 형태의 웨이블릿 필터로, 이산 웨이블릿 변환에서 신호를 분할하는 데 사용된다. 이 필터의 저역 통과 계수와 고역 통과 계수는 다음과 같다.

$h[k] = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}, \quad g[k] = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$

Haar 웨이블릿은 단순한 구조로 인해 계산이 매우 빠르고 직관적이다. 하지만 연속 신호를 처리할 때 부드러움이 부족하여 불연속적인 신호 처리에 적합한다.

Daubechies 웨이블릿 필터

Daubechies 웨이블릿 필터는 Ingrid Daubechies가 개발한 웨이블릿으로, $N$ 차 필터로 표현된다. $N$ 차 필터는 더 많은 계수를 사용하여 신호를 더 정밀하게 표현할 수 있으며, 필터의 길이에 따라 신호의 부드러운 변화를 더 잘 포착할 수 있다.

예를 들어, Daubechies-4 필터의 계수는 다음과 같다.

$h[k] = \left\{ 0.48296, 0.83652, 0.22414, -0.12941 \right\}$

$g[k] = \left\{ -0.12941, -0.22414, 0.83652, -0.48296 \right\}$

Daubechies 웨이블릿 필터는 신호의 세부 정보를 효과적으로 포착하면서도, 비교적 짧은 계수를 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다.

Symlet 웨이블릿 필터

Symlet 웨이블릿 필터는 Daubechies 웨이블릿 필터의 대칭성을 개선한 버전으로, 필터의 대칭성을 증가시켜 신호 처리에서 왜곡을 줄이는 것이 특징이다. 이 필터는 Daubechies 웨이블릿과 매우 유사한 특성을 가지고 있지만, 더 나은 대칭성으로 인해 신호 재구성이 더 정확해진다. 대칭성은 특히 엣지(edge) 검출이나 신호 복원과 같은 응용 분야에서 중요한 역할을 한다.

Symlet 필터의 설계는 Daubechies와 유사하게 이루어지며, $N$ 차 Symlet 필터 역시 다양한 길이의 계수를 사용하여 신호를 처리할 수 있다.

Coiflet 웨이블릿 필터

Coiflet 웨이블릿 필터는 Ronald Coifman과 Ingrid Daubechies가 개발한 것으로, 신호의 고주파 성분뿐만 아니라 저주파 성분에서도 일정한 주파수 해상도를 제공하는 것이 특징이다. Coiflet 웨이블릿은 더 큰 대칭성과 정규화 조건을 만족하여 정밀한 신호 분석이 필요할 때 유용하게 사용된다.

Coiflet 필터는 저역 통과 필터와 고역 통과 필터가 서로 반전된 구조를 가지며, 특정 길이의 필터 계수가 정해진다. 예를 들어, Coiflet-6 필터의 경우 다음과 같은 계수로 표현된다.

$h[k] = \left\{ 0.03858, -0.12697, 0.07700, 0.60749, 0.74569, 0.22643 \right\}$

Biorthogonal 웨이블릿 필터

Biorthogonal 웨이블릿 필터는 직교성이 아닌 이중 직교성(biorthogonality)을 갖는 필터로, 서로 다른 두 집합의 필터가 서로 직교 관계를 가진다. 이는 필터 뱅크(filter bank) 설계에 매우 유용하며, 신호의 압축이나 영상 복원 분야에서 널리 사용된다.

이 필터는 직교 필터의 제약 조건을 완화하여 더 부드럽고 자연스러운 신호 복원이 가능한다. 예를 들어, 5/3 및 9/7 구조의 Biorthogonal 웨이블릿 필터는 JPEG2000 영상 압축 표준에서 사용되며, 각각 다음과 같은 계수를 갖는다.

저역 통과 필터 (5/3)

$h[k] = \left\{ 0.02674, 0.01686, -0.07822, 0.26686, 0.60295, 0.26686, -0.07822, 0.01686, 0.02674 \right\}$

고역 통과 필터 (5/3)

$g[k] = \left\{ 0.04563, -0.02877, -0.29564, 0.55754, -0.55754, 0.29564, 0.02877, -0.04563 \right\}$

웨이블릿 필터 선택 기준

웨이블릿 필터의 선택은 특정 응용 분야와 요구되는 신호 특성에 따라 달라진다. 예를 들어, 의료 영상의 세부 구조를 파악할 때는 높은 대칭성과 주파수 해상도를 가진 필터가 선호될 수 있으며, 반대로 실시간 신호 처리 시스템에서는 계산 효율성이 높은 단순한 필터가 필요할 수 있다.

주요 고려 사항

신호의 특성 분석
분석 대상 신호가 주로 고주파 성분인지, 저주파 성분인지에 따라 필터를 선택해야 한다. 고주파 성분이 많은 신호는 고역 통과 필터의 성능이 중요하며, 저주파 성분이 주요한 신호는 저역 통과 필터가 더 중요하다.
시간-주파수 해상도
웨이블릿 필터의 해상도 특성은 시간 영역과 주파수 영역에서의 성능에 영향을 미친다. 짧은 시간에 발생하는 급격한 변화를 포착하기 위해서는 주파수 해상도가 높은 필터를, 전반적인 신호의 변화를 이해하기 위해서는 시간 해상도가 높은 필터를 선택하는 것이 좋다.
대칭성과 에너지 보존
대칭성이 중요한 응용 분야에서는 대칭 필터, 예를 들어 Symlet 또는 Coiflet 필터가 적합한다. 신호의 에너지가 변하지 않도록 유지하려면 정규화 조건을 만족하는 필터를 사용해야 한다.
계산 복잡도
실시간 시스템이나 임베디드 환경에서 웨이블릿 변환을 적용하려면 계산 복잡도가 낮은 필터를 선택해야 한다. Haar 웨이블릿은 매우 낮은 계산 복잡도를 가지며, 실시간 처리에 적합한다.