다중 해상도 분석(Multi-resolution Analysis, MRA)은 웨이블릿 변환의 핵심 개념 중 하나로, 신호를 서로 다른 해상도로 분해하고 각 해상도에서 신호의 특성을 분석할 수 있도록 하는 기법이다. MRA는 신호를 저주파 성분과 고주파 성분으로 나누어, 저주파 성분은 신호의 전반적인 구조를 나타내고, 고주파 성분은 신호의 세부적인 변화를 나타내도록 구성한다. 이를 통해 신호의 국소적 특성을 보다 명확하게 파악할 수 있다.

다중 해상도 분석의 정의

다중 해상도 분석의 주요 목표는 신호 f(t) \in L^2(\mathbb{R})를 서로 다른 해상도 수준에서의 근사치와 세부 정보를 통해 표현하는 것이다. MRA는 다음과 같은 일련의 닫힌 부분 공간 V_j \subset L^2(\mathbb{R})으로 정의된다:

\cdots \subset V_{-1} \subset V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset L^2(\mathbb{R})

여기서, 각 V_j는 특정 해상도 수준을 나타내며, j가 증가할수록 더 높은 해상도를 의미한다. MRA의 중요한 특징은 각 공간이 서로의 포함 관계에 있다는 것이다.

다중 해상도 분석의 구성 요소

축소성과 근사 공간

MRA에서 각 근사 공간 V_j는 특정 해상도에서 신호의 근사치(저주파 성분)를 나타낸다. 이 공간들은 다음과 같은 축소성(scaling) 성질을 만족해야 한다:

f(t) \in V_j \iff f(2t) \in V_{j+1}

이 조건은 공간 V_j의 신호가 더 높은 해상도 공간 V_{j+1}로 이동할 때 두 배의 주파수 해상도를 가지는 것을 의미한다.

세부 공간과 웨이블릿 함수

각 근사 공간 사이의 차이를 세부 공간 W_j로 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같이 표현된다:

V_{j+1} = V_j \oplus W_j

여기서 \oplus는 직합(direct sum)을 의미하며, W_j는 신호의 세부 정보를 나타내는 공간이다. 이러한 세부 공간을 통해 신호의 고주파 성분을 포착할 수 있다.

웨이블릿 함수 \psi(t)는 이 세부 공간을 생성하는 함수로, 다음과 같은 변환을 통해 정의된다:

\psi_{j,k}(t) = 2^{j/2} \psi(2^j t - k)

이때, j는 스케일 파라미터, k는 변위 파라미터를 나타내며, 이 변환을 통해 웨이블릿 함수는 시간-주파수 영역에서의 국소적인 변화를 탐지할 수 있다.

스케일 함수와 필터 계수

근사 공간 V_j는 기본적으로 스케일 함수(Scaling Function) \phi(t)에 의해 생성된다. 스케일 함수는 다음과 같은 재귀 관계를 만족한다:

\phi(t) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} h_k \phi(2t - k)

여기서 h_k는 스케일 필터 계수로, 신호의 저주파 성분을 유지하는 데 중요한 역할을 한다. 반면에 웨이블릿 필터 g_k는 고주파 성분을 추출하기 위해 사용된다. 두 필터 간의 관계는 다음과 같다:

g_k = (-1)^k h_{1-k}

필터 뱅크(Filter Bank) 구조

MRA의 실질적인 구현은 디지털 필터 뱅크를 통해 이루어진다. 신호가 저주파와 고주파 성분으로 분리되면서, 저주파 성분은 다시 다음 단계의 저주파 및 고주파 성분으로 재귀적으로 분해된다. 이 과정은 아래의 필터 뱅크 구조를 사용해 설명할 수 있다:

graph TD A[Input Signal] --> B["Low-pass Filter (h_k)"] A --> C["High-pass Filter (g_k)"] B --> D[Downsample by 2] C --> E[Downsample by 2]

위 구조에서 저주파 필터와 고주파 필터를 사용해 신호를 두 부분으로 나누고, 다운샘플링을 통해 신호의 데이터를 압축하여 처리한다. 이와 같은 구조는 MRA의 다단계 분석에서 필수적인 요소이다.

다중 해상도 분석의 수학적 표현

MRA는 신호를 서로 다른 해상도 수준에서 분해하고 조합하는 과정을 수학적으로 명확히 정의한다. 각 해상도 수준 j에서 신호 f(t)는 근사 성분과 세부 성분으로 나뉜다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다:

f(t) = \sum_{k} c_{j_0, k} \phi_{j_0, k}(t) + \sum_{j = j_0}^{\infty} \sum_{k} d_{j, k} \psi_{j, k}(t)

여기서: - \phi_{j_0, k}(t) = 2^{j_0/2} \phi(2^{j_0} t - k)는 스케일 함수의 변환으로, 신호의 저주파 성분을 나타낸다. - \psi_{j, k}(t) = 2^{j/2} \psi(2^{j} t - k)는 웨이블릿 함수의 변환으로, 신호의 고주파 성분을 포착한다. - c_{j_0, k}와 d_{j, k}는 각각 근사 성분과 세부 성분의 계수로, j_0는 가장 낮은 해상도 수준을 나타낸다.

이 식은 신호가 j_0에서의 근사 성분과 그 이후의 모든 해상도 수준에서의 세부 성분으로 구성된다는 것을 의미한다. 이는 신호를 주파수 영역에서 점진적으로 복원하는 데 유용하다.

다단계 웨이블릿 분해

다중 해상도 분석은 다단계 웨이블릿 분해(Multi-level Wavelet Decomposition)를 통해 구현된다. 이는 신호를 저주파 성분과 고주파 성분으로 반복적으로 나누어, 각 단계에서 점점 더 작은 해상도 수준으로 분해하는 방식이다.

단계별로 신호 \mathbf{s}는 다음과 같은 과정을 거친다: 1. 저주파 필터 \mathbf{h}와 고주파 필터 \mathbf{g}를 사용하여 필터링. 2. 필터링 결과를 2로 다운샘플링.

결과적으로, 신호의 저주파 성분은 다음 단계의 입력이 되고, 고주파 성분은 현재 단계의 세부 정보를 나타낸다.

\mathbf{s}_{j} = \mathbf{h} * \mathbf{s}_{j-1} \quad \text{(저주파 성분)}
\mathbf{d}_{j} = \mathbf{g} * \mathbf{s}_{j-1} \quad \text{(고주파 성분)}

여기서 *는 필터링 연산을 나타내며, 각각의 필터는 신호의 세부 변화를 포착하도록 설계된다.

시간-주파수 해상도와 국소성

다중 해상도 분석의 강력한 특징은 시간-주파수 해상도를 조정할 수 있다는 것이다. 푸리에 변환과 달리, 웨이블릿 변환은 국소적인 시간 정보를 유지하면서 신호의 주파수 특성을 분석할 수 있다. 즉, 짧은 시간 구간에서는 고주파 정보를 더 정확하게 얻고, 긴 시간 구간에서는 저주파 정보를 잘 유지한다.

웨이블릿 변환의 이러한 성질은 시간-주파수 평면에서의 다양한 신호 패턴을 탐지하는 데 유용하다. 예를 들어, 짧고 빠른 변화가 있는 신호에서는 국소적 웨이블릿 분석을 통해 변화의 위치와 크기를 정확히 파악할 수 있다. 반면, 더 느린 변화는 낮은 해상도에서도 안정적으로 파악된다.

다중 해상도 신호 복원

다중 해상도 분석의 또 다른 중요한 측면은 원래 신호를 정확하게 복원할 수 있다는 것이다. 신호 f(t)를 각 해상도 수준에서의 근사 및 세부 성분을 이용해 다시 조합할 수 있다:

f(t) = \sum_{k} c_{j_0, k} \phi_{j_0, k}(t) + \sum_{j = j_0}^{\infty} \sum_{k} d_{j, k} \psi_{j, k}(t)

여기서, 각 c_{j_0, k}와 d_{j, k}는 다중 해상도 분석 과정에서 추출된 필터 계수를 사용해 원래 신호의 근사 성분과 세부 성분을 복원하는 데 사용된다. 이 재구성 과정은 웨이블릿 변환이 에너지 보존 법칙을 따르기 때문에 가능하다.

필터 계수와 정규성 조건

MRA의 필터 계수 h_k와 g_k는 특별한 정규성 조건을 만족해야 한다. 스케일 필터 h_k는 다음의 정규성 조건을 만족하여야 한다:

\sum_{k \in \mathbb{Z}} h_k = 2

또한, 직교 웨이블릿의 경우 필터 h_k와 g_k는 다음 조건을 만족해야 한다:

\sum_{k \in \mathbb{Z}} h_k h_{k-2n} = \delta(n)

이러한 조건은 신호가 변환 후에도 정보의 손실 없이 복원될 수 있도록 보장한다.