주요 웨이블릿 함수 종류 - 소프트웨어 융합

웨이블릿 변환에서 사용되는 함수들은 변환의 특성과 목적에 따라 다양한 종류가 있다. 각 웨이블릿 함수는 특정한 시간-주파수 특성을 가지며, 신호 분석, 데이터 압축, 잡음 제거 등 다양한 응용 분야에 적합한 특성을 제공한다. 아래에서는 주요한 웨이블릿 함수들을 소개하고, 이들의 수학적 정의와 특징을 설명한다.

Harr 웨이블릿

Harr 웨이블릿은 가장 기본적이면서도 간단한 형태의 웨이블릿이다. 시계열 신호 분석의 기초 개념을 이해하는 데 유용하다. 이 웨이블릿 함수는 직사각형 모양의 파형을 가지며, 시간 영역에서 간단하게 정의할 수 있다.

$\psi(t) = \begin{cases} 1 & 0 \leq t < \frac{1}{2}, \\ -1 & \frac{1}{2} \leq t < 1, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

Harr 웨이블릿은 그 직관적이고 단순한 형태 덕분에 빠르게 계산할 수 있다는 장점이 있다. 그러나 주파수 해상도가 낮아 세밀한 주파수 변화를 분석하기에는 한계가 있다.

Daubechies 웨이블릿

Daubechies 웨이블릿은 Ingrid Daubechies에 의해 개발된 웨이블릿 계열로, 시간과 주파수 양쪽에서 균형 잡힌 성능을 제공한다. $N$ 계수 Daubechies 웨이블릿을 $dbN$ 으로 표기하며, 이는 시계열 분석과 이미지 처리에서 널리 사용된다. Daubechies 웨이블릿의 주요 특징은 신호의 순간적인 변화나 비정상적인 이벤트를 잘 포착할 수 있다는 점이다.

수학적으로, $dbN$ 웨이블릿은 다항식의 뿌리를 기반으로 하여 설계된다. 정확한 수학적 표현은 복잡하지만, 그 개념은 다음과 같이 요약할 수 있다:

$\mathbf{h}_n = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( p_n \right),$

여기서 $\mathbf{h}_n$ 은 필터 계수, $p_n$ 은 다항식 계수이다. 각 $N$ 에 따라 적합한 필터 계수를 도출하며, 웨이블릿 변환에서 이 필터를 사용한다.

Coiflet 웨이블릿

Coiflet 웨이블릿은 Daubechies 웨이블릿을 개량하여 개발된 것으로, 신호의 평균값 보존 및 에너지 보존 성질을 강화한 특징이 있다. Coiflet 웨이블릿 함수는 $\psi(t)$ 와 스케일 함수 $\phi(t)$ 모두가 순간적인 평균 값이 $0$ 이 되도록 설계된다. 이는 원 신호와의 변환된 신호 간의 정확한 에너지 관계를 보장한다.

$\int_{-\infty}^{\infty} \phi(t) dt = 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \psi(t) dt = 0.$

이 특징 덕분에 Coiflet 웨이블릿은 신호 재구성의 정확성이 높아져, 잡음 제거 및 신호 복원에 유리하다.

Symlet 웨이블릿

Symlet 웨이블릿은 Daubechies 웨이블릿의 대칭성을 개선한 웨이블릿으로, 대칭적인 필터를 제공하여 신호 변환 후 재구성 시 발생할 수 있는 위상 왜곡을 최소화하는 데 중점을 두고 있다. Symlet 웨이블릿은 일반적으로 $symN$ 으로 표기하며, 여기서 $N$ 은 필터 길이를 나타낸다.

Daubechies 웨이블릿과 마찬가지로, Symlet 웨이블릿도 다항식 뿌리를 사용하여 정의된다. 하지만 더 대칭적인 특성을 제공하기 위해 필터가 약간 수정되었다. 필터 계수는 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{h}_{sym} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( p_{sym} \right),$

여기서 $\mathbf{h}_{sym}$ 은 Symlet 필터 계수, $p_{sym}$ 은 대칭 필터 설계에 필요한 다항식 계수를 나타낸다.

Meyer 웨이블릿

Meyer 웨이블릿은 주파수 영역에서 부드러운 특성을 가진 웨이블릿으로, Fourier 변환과의 자연스러운 연결을 제공한다. Meyer 웨이블릿은 완벽한 대역통과 필터 형태를 가지지 않으며, 이는 웨이블릿 함수가 부드러운 변화를 나타내게 한다. 주파수 영역에서 Meyer 웨이블릿의 정의는 다음과 같다:

$\hat{\psi}(\omega) = \begin{cases} \sin\left(\frac{\pi}{2} \nu\left(\frac{3|\omega|}{2\pi} - 1\right)\right) & \frac{2\pi}{3} \leq |\omega| \leq \frac{4\pi}{3}, \\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}$

여기서 $\hat{\psi}(\omega)$ 는 웨이블릿의 주파수 영역 표현이고, $\nu(t)$ 는 특정 함수로서 대역 내에서 부드러운 전환을 제공한다. 이 웨이블릿은 부드러운 신호 변화를 분석하거나 연속적인 신호의 특성을 연구하는 데 적합하다.

Morlet 웨이블릿

Morlet 웨이블릿은 복소수 형식의 웨이블릿으로, 주로 연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform, CWT)에서 사용된다. 이 웨이블릿은 기본적으로 복소수 사인 곡선을 가우시안 함수로 감싼 형태를 갖고 있으며, 이는 특정 주파수 성분을 필터링할 수 있는 기능을 제공한다. Morlet 웨이블릿은 다음과 같이 정의된다:

$\psi(t) = e^{i\omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}},$

여기서 $\omega_0$ 는 중심 주파수를 나타내며, 주파수 해상도를 조정할 수 있는 파라미터이다. Morlet 웨이블릿은 신호의 주파수 성분을 추출하는 데 유리하여, 특히 진동 분석과 같은 응용 분야에 자주 사용된다.

Mexican Hat 웨이블릿 (Ricker 웨이블릿)

Mexican Hat 웨이블릿은 2차 미분 가우시안 함수로, Gaussian 함수의 두 번째 도함수를 사용하여 정의된다. 이 웨이블릿은 신호의 경계를 찾거나 비정상적인 이벤트를 탐지하는 데 유리하다. 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다:

$\psi(t) = \left(1 - t^2\right) e^{-\frac{t^2}{2}}.$

Mexican Hat 웨이블릿은 시간-주파수 해상도가 균형 잡혀 있어, 주로 신호의 변동을 감지하거나, 짧은 시간 동안의 에너지 변화를 분석하는 데 효과적이다. 그 형태가 마치 멕시코의 모자를 닮았다고 하여 'Mexican Hat'이라는 이름이 붙었다.

Gaussian 웨이블릿

Gaussian 웨이블릿은 Gaussian 함수의 $n$ 차 도함수를 사용하여 구성된 웨이블릿으로, $n$ 이 짝수일 때와 홀수일 때 각각 다른 형태의 웨이블릿을 제공한다. Gaussian 웨이블릿은 신호의 미세한 변화와 피크를 탐지하는 데 적합하며, 다음과 같이 정의된다:

$\psi_n(t) = \frac{d^n}{dt^n} \left( e^{-\frac{t^2}{2}} \right).$

여기서 $n$ 이 커질수록 더 고차원의 변화를 포착할 수 있게 된다. Gaussian 웨이블릿은 이미지의 에지 감지와 같은 비선형 신호 처리에 주로 사용된다.

Shannon 웨이블릿

Shannon 웨이블릿은 이론적으로 완벽한 대역통과 필터를 제공하는 웨이블릿으로, 주파수 영역에서 잘라낸 형태의 특성을 가진다. 이 웨이블릿은 다른 웨이블릿과는 달리 주파수 해석에 중점을 두며, 시간 영역에서는 무한히 확산된 형태로 나타난다. Shannon 웨이블릿은 주파수 영역에서 다음과 같이 정의된다:

$\hat{\psi}(\omega) = \begin{cases} 1 & \pi < |\omega| < 2\pi, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

이와 같은 주파수 영역의 정의는, Shannon 웨이블릿이 특정 주파수 대역의 신호 성분을 정확하게 필터링할 수 있게 해준다. 그러나 시간 영역에서의 지원(support)이 무한하기 때문에, 실제 신호 처리에서 직접 사용되기보다는 이론적인 분석에서 주로 쓰인다.

Biorthogonal 웨이블릿

Biorthogonal 웨이블릿은 대칭성을 보존하면서도 신호의 정확한 재구성을 가능하게 하는 웨이블릿 계열이다. 이 웨이블릿은 스케일 함수와 웨이블릿 함수가 각각 다른 필터 쌍으로 구성되며, 서로의 쌍대 관계를 이용해 분석과 합성을 수행한다. Biorthogonal 웨이블릿은 다음과 같이 표현할 수 있다:

$\phi(t) \quad \text{and} \quad \tilde{\phi}(t), \quad \psi(t) \quad \text{and} \quad \tilde{\psi}(t),$

여기서 $\phi(t)$ 와 $\tilde{\phi}(t)$ 는 각각 분석과 합성에서 사용되는 스케일 함수이고, $\psi(t)$ 와 $\tilde{\psi}(t)$ 는 분석과 합성에서의 웨이블릿 함수를 의미한다. 이러한 구조로 인해, Biorthogonal 웨이블릿은 신호 재구성의 정확성을 높이면서도 대칭 필터의 장점을 유지할 수 있다. 주로 이미지 압축과 같은 응용 분야에서 사용된다.

Reverse Biorthogonal 웨이블릿

Reverse Biorthogonal 웨이블릿은 Biorthogonal 웨이블릿과 유사하지만, 신호 분석과 합성 과정에서 필터의 역할이 뒤바뀌어 사용된다. 이러한 구조는 신호의 특성에 따라 더욱 최적화된 필터링을 제공할 수 있으며, 다음과 같은 응용에서 유용하다:

$\tilde{\phi}(t) \quad \text{for analysis}, \quad \phi(t) \quad \text{for synthesis},$

$\tilde{\psi}(t) \quad \text{for analysis}, \quad \psi(t) \quad \text{for synthesis}.$

이 구조는 특히 영상 신호의 비선형 압축이나 특수한 신호 처리에 적합하다.

Battle-Lemarié 웨이블릿

Battle-Lemarié 웨이블릿은 스플라인(spline) 함수의 성질을 이용한 웨이블릿으로, 높은 부드러움과 대칭성을 가지고 있다. 스플라인의 성질 덕분에 신호의 매끄러운 변화를 잘 포착할 수 있으며, 주파수 해석에서도 유리한 특성을 제공한다. 특히, 이 웨이블릿은 다음과 같은 수식으로 표현되는 스플라인 기반의 필터로 정의된다:

$\phi(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N} b_n B_n(t),$

여기서 $b_n$ 은 스플라인 계수, $B_n(t)$ 는 스플라인 함수이다. Battle-Lemarié 웨이블릿은 신호 처리와 수치 해석에서 특히 중요한 역할을 하며, 부드러운 신호의 세부 구조를 분석하는 데 적합하다.