시간-주파수 해상도의 필요성

전통적 주파수 분석의 한계

신호 처리는 시간 도메인과 주파수 도메인 분석을 통해 다양한 정보를 얻을 수 있다. 특히, 주파수 분석은 신호의 주기적 성분이나 특정 주파수 대역에서의 에너지 분포를 이해하는 데 필수적이다. 일반적으로 푸리에 변환(Fourier Transform)은 주파수 분석의 대표적인 도구로 사용되며, 이는 신호를 주파수 성분으로 분해할 수 있다. 푸리에 변환의 수학적 정의는 다음과 같다:

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$

여기서 $x(t)$ 는 시간 도메인에서의 신호이고, $X(f)$ 는 주파수 도메인에서의 신호이다. 그러나 푸리에 변환은 시간 정보가 완전히 상실된 상태에서 주파수 정보를 제공한다. 즉, 푸리에 변환은 주파수 성분이 언제 발생했는지를 파악할 수 없으므로, 비정상(non-stationary) 신호 분석에는 한계가 있다.

예를 들어, 신호의 주파수 성분이 시간에 따라 변하는 경우, 푸리에 변환은 단순히 평균적인 주파수 성분만을 보여줄 뿐, 시간적 변화를 반영하지 못한다. 이러한 한계로 인해, 시간과 주파수 정보를 동시에 분석할 수 있는 새로운 도구가 필요하게 되었다.

시간-주파수 해상도의 개념

신호 분석에서 시간-주파수 해상도(Time-Frequency Resolution)란 시간과 주파수 두 축에서 신호의 변화를 동시에 추적할 수 있는 능력을 의미한다. 예를 들어, 다음과 같은 조건을 만족해야 한다:

시간적 해상도: 신호가 시간적으로 어떻게 변화하는지 추적 가능해야 한다. 이는 신호의 특정 이벤트가 발생한 순간을 정확히 파악하는 능력으로 표현된다.
주파수 해상도: 주파수 성분이 어떻게 구성되어 있는지를 분석할 수 있어야 한다. 이는 신호가 포함하고 있는 주파수 대역을 세밀하게 구분하는 능력으로 나타난다.

시간적 해상도와 주파수 해상도는 상충관계(trade-off)에 있다. 즉, 시간 해상도를 높이면 주파수 해상도가 떨어지고, 주파수 해상도를 높이면 시간 해상도가 떨어진다. 이 관계는 신호 분석에서 중요한 제약 사항이다. 수학적으로 이는 시간-주파수 해상도에 대한 불확정성 원리(uncertainty principle)로 설명할 수 있다:

$\Delta t \cdot \Delta f \geq \frac{1}{4\pi}$

여기서 $\Delta t$ 는 시간 도메인에서의 신호 폭, $\Delta f$ 는 주파수 도메인에서의 대역폭을 의미한다. 이 식은 시간과 주파수의 해상도를 동시에 높이는 데 한계가 있다는 것을 나타낸다.

푸리에 변환의 시간-주파수 해상도 한계

푸리에 변환은 전체 신호를 주파수 축에서 분석하므로, 주파수 정보를 정확하게 제공할 수 있는 반면, 시간적 변화를 포착하지 못한다. 이는 비정상 신호를 분석할 때 주파수 성분이 언제 발생했는지 정확히 파악할 수 없다는 것을 의미한다. 예를 들어, 비정상 신호 $x(t)$ 가 특정 시점에서 주파수 변화가 발생한다면, 푸리에 변환을 통해서는 이러한 변화를 알 수 없다.

따라서 푸리에 변환은 다음과 같은 한계를 지닌다:

신호의 주파수 성분을 정확하게 파악할 수 있지만, 시간적 변화를 놓치게 된다.
정상 신호(stationary signal) 분석에는 유용하지만, 비정상 신호(non-stationary signal) 분석에는 적합하지 않다.

이러한 한계는 실제 신호 분석에서 중요한 문제를 초래할 수 있다. 예를 들어, 진동 분석, 음성 신호 분석, 생체 신호 분석 등에서는 시간적으로 변화하는 주파수 성분을 정확하게 포착해야 한다. 이러한 이유로 시간-주파수 해상도의 개념이 중요해지며, 이를 보완하기 위해 다양한 시간-주파수 해석 기법이 개발되었다.

단시간 푸리에 변환 (STFT)의 개선과 한계

푸리에 변환의 시간 해상도 부족 문제를 해결하기 위해 제안된 방법 중 하나는 단시간 푸리에 변환 (Short-Time Fourier Transform, STFT)이다. STFT는 신호를 일정한 시간 간격으로 나누어 각 구간에 대해 푸리에 변환을 수행함으로써 시간적 변화를 추적할 수 있게 한다. STFT의 수학적 정의는 다음과 같다:

$X(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) w(\tau - t) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

여기서 $w(\tau - t)$ 는 윈도우 함수로, 신호의 특정 시간 구간을 잘라내는 역할을 한다. 윈도우 함수의 길이 $\Delta t$ 는 분석하고자 하는 시간 구간의 크기를 결정하며, 이는 시간 해상도와 주파수 해상도에 직접적인 영향을 미친다.

STFT의 시간-주파수 해상도 특징

STFT의 윈도우 함수 $w(\tau - t)$ 의 길이에 따라 시간과 주파수 해상도가 결정된다:

짧은 윈도우 함수 ( $\Delta t$ 가 작음): 시간 해상도는 높아지지만, 주파수 해상도는 떨어진다. 이는 신호가 빠르게 변화할 때, 특정 시간 구간 내의 변화를 잘 포착할 수 있으나, 세밀한 주파수 성분을 구분하기 어렵다.
긴 윈도우 함수 ( $\Delta t$ 가 큼): 주파수 해상도는 높아지지만, 시간 해상도는 낮아진다. 이 경우, 주파수 성분을 정밀하게 분석할 수 있지만, 신호의 순간적 변화를 포착하는 데 한계가 있다.

이러한 해상도 문제는 STFT가 갖는 근본적인 제약이다. 수학적으로 이를 나타내면:

$\Delta t \cdot \Delta f = \frac{1}{2\pi}$

즉, 윈도우 함수의 길이를 줄이면 시간 해상도가 증가하지만, 주파수 해상도는 떨어지고, 반대로 윈도우 함수의 길이를 늘리면 주파수 해상도가 증가하지만, 시간 해상도는 떨어진다. 이는 시간-주파수 해상도의 상충관계를 잘 나타낸다.

웨이블릿 변환의 시간-주파수 해상도 개선

STFT의 한계는 윈도우 길이가 고정된다는 점에서 발생한다. 따라서 시간과 주파수 해상도 간의 상충관계를 해결하기 위해서는 윈도우 길이를 상황에 맞게 조정할 수 있는 기법이 필요하다. 웨이블릿 변환(Wavelet Transform)은 이러한 요구를 만족시킬 수 있는 기법으로, 시간-주파수 해상도의 균형을 동적으로 조절할 수 있다.

웨이블릿 변환은 윈도우 길이를 시간에 따라 조절하여, 높은 주파수 성분에는 짧은 윈도우를, 낮은 주파수 성분에는 긴 윈도우를 적용하는 방식으로 동작한다. 이 방식은 고주파수 신호의 순간적 변화를 포착하면서도 저주파수 신호의 세밀한 주파수 성분을 분석할 수 있게 해준다. 이러한 특성 덕분에 웨이블릿 변환은 다음과 같은 장점을 지닌다:

고주파수 영역: 짧은 윈도우를 사용하여 시간 해상도를 높인다.
저주파수 영역: 긴 윈도우를 사용하여 주파수 해상도를 높인다.

웨이블릿 변환에서 사용되는 웨이블릿 함수는 다음과 같은 형태로 정의된다:

$\psi_{a, b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left(\frac{t - b}{a}\right)$

여기서 $\psi(t)$ 는 기본 웨이블릿 모양을 결정하는 모함수(mother wavelet)이고, $a$ 는 스케일(scale) 파라미터로, $b$ 는 시간 변위(translation) 파라미터이다. $a$ 값이 작을수록 고주파수 영역을 분석하고, $a$ 값이 클수록 저주파수 영역을 분석하게 된다. 이로 인해 다양한 주파수 대역에 대해 적절한 해상도를 제공할 수 있다.

웨이블릿 변환은 시간과 주파수 해상도 간의 상충관계를 완화하면서, 다양한 스케일에서의 신호 변화를 분석할 수 있는 중요한 도구로 자리 잡았다. 이는 비정상 신호의 특성을 보다 세밀하게 파악할 수 있게 해주며, 신호 처리, 데이터 압축, 잡음 제거 등 다양한 분야에서 효과적으로 활용될 수 있다.