659.55 3D 회전 표현: 축-각 (Axis-Angle) 표현

1. 개요

축-각(axis-angle) 표현은 3차원 회전을 하나의 회전축(rotation axis) 벡터와 그 축에 대한 **회전 각도(rotation angle)**로 기술하는 방법이다. 이 표현은 오일러 회전 정리(Euler’s rotation theorem)에 직접 기반하며, 임의의 3D 회전이 고정점을 지나는 하나의 축에 대한 단일 회전으로 유일하게 기술될 수 있다는 정리의 내용을 수학적으로 형식화한 것이다. 축-각 표현은 쿼터니언 및 회전 행렬과의 변환이 명시적이고 직관적이며, 회전의 물리적 의미를 가장 직접적으로 반영한다는 특성을 가진다. 본 절에서는 축-각 표현의 수학적 정의, 다른 회전 표현과의 관계, 장단점, 그리고 ROS2에서의 활용을 체계적으로 다룬다.

2. 오일러 회전 정리

2.1 정리의 내용

오일러 회전 정리(Euler’s rotation theorem, 1775)는 다음을 진술한다:

3차원 공간에서 고정점을 가지는 강체의 임의의 변위(displacement)는 해당 고정점을 지나는 어떤 축에 대한 단일 회전으로 나타낼 수 있다.

수학적으로 표현하면, 임의의 회전 행렬 $R \in SO(3)$ 에 대해, 단위 벡터 $\hat{\mathbf{n}} \in \mathbb{R}^3$ 과 각도 $\theta \in [0, \pi]$ 가 존재하여 $R$ 이 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 축으로 한 각도 $\theta$ 의 회전에 해당한다.

2.2 증명의 핵심

증명의 핵심은 회전 행렬이 반드시 고유값 $\lambda = 1$ 을 가진다는 사실에 기반한다. $R \in SO(3)$ 의 특성 다항식은 3차 실수 계수 다항식이므로 적어도 하나의 실수 고유값을 가지며, $\det(R) = +1$ 과 직교 조건으로부터 이 실수 고유값이 $+1$ 임이 보장된다. 고유값 $+1$ 에 대응하는 고유벡터가 바로 회전축이다:

$R \hat{\mathbf{n}} = \hat{\mathbf{n}}$

3. 축-각 표현의 정의

3.1 기본 형식

축-각 표현은 다음 두 요소로 구성된다:

$(\hat{\mathbf{n}}, \theta)$

여기서:

$\hat{\mathbf{n}} = (n_x, n_y, n_z)^T$ : 회전축의 단위 벡터, $\|\hat{\mathbf{n}}\| = 1$
$\theta$ : 오른손 법칙에 따른 회전 각도

회전 방향은 오른손 법칙에 의해 결정된다. $\hat{\mathbf{n}}$ 의 방향을 오른손 엄지손가락으로 가리킬 때, 나머지 손가락이 감기는 방향이 양의 회전 방향이다.

3.2 회전 벡터 (Rotation Vector) 형식

축과 각도를 하나의 벡터로 통합하여 표현할 수 있다:

$\boldsymbol{\theta} = \theta \hat{\mathbf{n}} \in \mathbb{R}^3$

이 3차원 벡터를 **회전 벡터(rotation vector)**라 한다. 회전 벡터의 방향이 회전축, 크기(노름)가 회전 각도를 나타낸다:

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{\boldsymbol{\theta}}{\|\boldsymbol{\theta}\|}, \quad \theta = \|\boldsymbol{\theta}\|$

회전 벡터는 3개의 파라미터만으로 회전을 표현하며, 구속 조건이 없다는 점에서 오일러 각과 동일한 파라미터 효율성을 가진다. 그러나 $\theta = 0$ (항등 회전) 근방과 $\theta = \pi$ (180° 회전) 근방에서 특이성이 존재한다.

3.3 파라미터 범위와 유일성

축-각 표현의 유일성 조건은 다음과 같다:

각도 범위	축의 유일성	표현의 유일성
$\theta = 0$	$\hat{\mathbf{n}}$ 부정 (어떤 축이든 가능)	비유일
$0 < \theta < \pi$	$\hat{\mathbf{n}}$ 유일	유일
$\theta = \pi$	$\hat{\mathbf{n}}$ 과 $-\hat{\mathbf{n}}$ 이 동일한 회전	비유일 (부호 모호)
$\theta > \pi$	$(\hat{\mathbf{n}}, \theta)$ 와 $(-\hat{\mathbf{n}}, 2\pi - \theta)$ 이 동일	비유일

따라서 $\theta \in (0, \pi)$ 범위에서만 표현이 유일하며, 경계값에서는 주의가 필요하다.

4. 로드리게스 회전 공식

4.1 벡터 회전 공식

단위 벡터 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 축으로 각도 $\theta$ 만큼 벡터 $\mathbf{v}$ 를 회전시키는 공식:

$\mathbf{v}' = \mathbf{v}\cos\theta + (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{v})\sin\theta + \hat{\mathbf{n}}(\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos\theta)$

이 공식의 각 항의 기하학적 의미는:

$\mathbf{v}\cos\theta$ : 원래 벡터를 $\cos\theta$ 로 축소
$(\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{v})\sin\theta$ : 회전 평면 내의 수직 성분
$\hat{\mathbf{n}}(\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos\theta)$ : 축 방향 사영의 보정

4.2 회전 행렬 형식

로드리게스 공식의 행렬 형식:

$R(\hat{\mathbf{n}}, \theta) = I + (\sin\theta)[\hat{\mathbf{n}}]_\times + (1 - \cos\theta)[\hat{\mathbf{n}}]_\times^2$

여기서 $[\hat{\mathbf{n}}]_\times$ 는 반대칭 행렬(skew-symmetric matrix)이다:

$[\hat{\mathbf{n}}]_\times = \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix}$

이 반대칭 행렬에 대해 $[\hat{\mathbf{n}}]_\times \mathbf{v} = \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{v}$ 가 성립한다. 또한 $[\hat{\mathbf{n}}]_\times^2 = \hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^T - I$ (단위 벡터인 경우)이므로, 회전 행렬을 다음과 같이 전개할 수도 있다:

$R = \cos\theta \cdot I + (1 - \cos\theta) \hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^T + \sin\theta \cdot [\hat{\mathbf{n}}]_\times$

#include <Eigen/Geometry>

Eigen::Matrix3d axis_angle_to_matrix(
    const Eigen::Vector3d& axis, double angle) 
{
    return Eigen::AngleAxisd(angle, axis.normalized()).toRotationMatrix();
}

// 수동 구현 (로드리게스 공식)
Eigen::Matrix3d rodrigues_formula(
    const Eigen::Vector3d& n, double theta) 
{
    Eigen::Matrix3d K;
    K << 0, -n.z(), n.y(),
         n.z(), 0, -n.x(),
         -n.y(), n.x(), 0;
    
    return Eigen::Matrix3d::Identity() 
         + std::sin(theta) * K 
         + (1.0 - std::cos(theta)) * K * K;
}

5. 다른 회전 표현과의 변환

5.1 축-각에서 쿼터니언으로

축 $\hat{\mathbf{n}}$ 과 각도 $\theta$ 에서 단위 쿼터니언으로의 변환:

$\mathbf{q} = \left(\cos\frac{\theta}{2}, \; \sin\frac{\theta}{2} \hat{\mathbf{n}}\right)$

$(w, x, y, z)$ 순서로:

$w = \cos\frac{\theta}{2}, \quad x = n_x \sin\frac{\theta}{2}, \quad y = n_y \sin\frac{\theta}{2}, \quad z = n_z \sin\frac{\theta}{2}$

tf2::Quaternion axis_angle_to_quaternion(
    const tf2::Vector3& axis, double angle) 
{
    double half_angle = angle / 2.0;
    double s = std::sin(half_angle);
    return tf2::Quaternion(
        axis.x() * s, axis.y() * s, axis.z() * s, 
        std::cos(half_angle));
}

5.2 쿼터니언에서 축-각으로

단위 쿼터니언 $\mathbf{q} = (w, x, y, z)$ 에서 축-각으로의 변환:

$\theta = 2\arccos(|w|)$

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{(x, y, z)}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{(x, y, z)}{\sin(\theta/2)}$

$\theta \approx 0$ 일 때 벡터부의 노름이 0에 근접하므로, 이 경우 축이 정의되지 않으며 항등 회전으로 처리해야 한다. 수치적으로 안정한 구현:

void quaternion_to_axis_angle(
    const tf2::Quaternion& q, 
    tf2::Vector3& axis, double& angle) 
{
    double norm_v = std::sqrt(q.x()*q.x() + q.y()*q.y() + q.z()*q.z());
    
    if (norm_v < 1e-10) {
        // 항등 회전에 근접
        axis = tf2::Vector3(1, 0, 0);  // 임의의 축
        angle = 0.0;
    } else {
        angle = 2.0 * std::atan2(norm_v, std::abs(q.w()));
        axis = tf2::Vector3(q.x()/norm_v, q.y()/norm_v, q.z()/norm_v);
        
        // w < 0이면 최단 경로 보장
        if (q.w() < 0) {
            axis = -axis;
            angle = 2.0 * M_PI - angle;
        }
    }
}

5.3 회전 행렬에서 축-각으로

회전 행렬 $R$ 에서 회전 각도와 축을 추출하는 방법:

회전 각도:

$\theta = \arccos\left(\frac{\text{tr}(R) - 1}{2}\right)$

회전축 ( $\theta \neq 0, \pi$ 인 경우):

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{2\sin\theta} \begin{pmatrix} r_{32} - r_{23} \\ r_{13} - r_{31} \\ r_{21} - r_{12} \end{pmatrix}$

특수 경우 ( $\theta = \pi$ ):

$\sin\theta = 0$ 이므로 위 공식을 사용할 수 없다. 이 경우 $R + I$ 의 열벡터로부터 축을 추출한다:

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{1}{\sqrt{2(1 + r_{ii})}} \begin{pmatrix} 1 + r_{11} \\ r_{21} \\ r_{31} \end{pmatrix}$

여기서 $r_{ii}$ 는 $R$ 의 대각 원소 중 가장 큰 것이다.

import numpy as np

def rotation_matrix_to_axis_angle(R):
    theta = np.arccos(np.clip((np.trace(R) - 1) / 2, -1, 1))
    
    if theta < 1e-10:
        return np.array([1, 0, 0]), 0.0  # 항등 회전
    
    if np.abs(theta - np.pi) < 1e-10:
        # 180° 회전: R + I의 비영 열벡터 사용
        RpI = R + np.eye(3)
        col_norms = np.linalg.norm(RpI, axis=0)
        best_col = np.argmax(col_norms)
        n = RpI[:, best_col] / col_norms[best_col]
        return n, theta
    
    n = np.array([
        R[2,1] - R[1,2],
        R[0,2] - R[2,0],
        R[1,0] - R[0,1]
    ]) / (2 * np.sin(theta))
    
    return n, theta

5.4 회전 벡터에서 회전 행렬로의 변환

회전 벡터 $\boldsymbol{\theta} = \theta\hat{\mathbf{n}}$ 에서 회전 행렬로의 변환에는 로드리게스 공식이 사용된다. OpenCV에서는 cv::Rodrigues() 함수가 이 변환을 지원한다. Eigen에서는:

Eigen::Vector3d rotation_vector(0.1, 0.2, 0.3);
double angle = rotation_vector.norm();
Eigen::Vector3d axis = rotation_vector.normalized();

Eigen::AngleAxisd aa(angle, axis);
Eigen::Matrix3d R = aa.toRotationMatrix();

6. Eigen의 AngleAxis 클래스

Eigen 라이브러리는 축-각 표현을 Eigen::AngleAxis 템플릿 클래스로 지원한다:

#include <Eigen/Geometry>

// 축-각 생성
Eigen::AngleAxisd aa(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());  // z축 45°

// 회전 행렬로 변환
Eigen::Matrix3d R = aa.toRotationMatrix();

// 쿼터니언으로 변환
Eigen::Quaterniond q(aa);

// 벡터 회전
Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);
Eigen::Vector3d v_rotated = aa * v;

// 역회전
Eigen::AngleAxisd aa_inv = aa.inverse();

// 축과 각도 접근
double angle = aa.angle();
Eigen::Vector3d axis = aa.axis();

// 회전 합성 (쿼터니언 경유)
Eigen::AngleAxisd aa1(M_PI/6, Eigen::Vector3d::UnitX());
Eigen::AngleAxisd aa2(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
Eigen::AngleAxisd aa_combined(Eigen::Quaterniond(aa2) * Eigen::Quaterniond(aa1));

7. 축-각 표현의 장단점

7.1 장점

물리적 직관성: 회전축과 회전 각도라는 물리적으로 명확한 양으로 회전을 기술하므로, 회전의 기하학적 의미를 직관적으로 파악할 수 있다.
최소 파라미터: 회전 벡터 형식에서 3개의 파라미터만으로 회전을 표현하며, 추가 구속 조건이 없다.
소각도 근사의 용이성: $\theta \approx 0$ 일 때 회전 벡터는 각속도 벡터에 근사적으로 비례하므로, 미소 회전의 표현에 적합하다.
로드리게스 공식의 직접 적용: 축-각에서 회전 행렬로의 변환이 명시적 공식으로 제공된다.

7.2 단점

$\theta = 0$ 특이성: 항등 회전에서 축이 정의되지 않으므로, 미분이나 보간에서 불연속이 발생할 수 있다.
$\theta = \pi$ 모호성: $(\hat{\mathbf{n}}, \pi)$ 와 $(-\hat{\mathbf{n}}, \pi)$ 가 동일한 회전을 나타내어, 부호 모호성이 존재한다.
비효율적 합성: 두 축-각 표현의 회전을 직접 합성하는 간단한 공식이 없다. 쿼터니언이나 회전 행렬로 변환 후 합성해야 한다.
비균일 보간: 축-각 공간에서의 선형 보간은 일반적으로 균일 회전 보간을 보장하지 않는다.

7.3 다른 표현과의 비교

특성	축-각	쿼터니언	회전 행렬	오일러 각
파라미터 수	3 (또는 4)	4	9	3
구속 조건	0 (회전 벡터)	1	6	0
짐벌 락	없음	없음	없음	있음
특이점	$\theta = 0, \pi$	없음	없음	$\theta_2 = \pm\pi/2$
합성	비직접적	곱셈	곱셈	비직접적
직관성	높음	낮음	중간	높음

8. 로봇공학에서의 활용

8.1 관절 회전 표현

회전 관절(revolute joint)의 운동은 축-각 표현에 자연스럽게 대응한다. 관절의 회전축이 고정되어 있고 관절 각도가 변하는 구조이므로, 축-각 표현은 관절 운동학의 기본 표현이 된다.

// 관절 회전 표현
Eigen::Vector3d joint_axis(0, 0, 1);   // z축 회전 관절
double joint_angle = M_PI / 3;         // 60° 회전

Eigen::AngleAxisd joint_rotation(joint_angle, joint_axis);
Eigen::Matrix3d R_joint = joint_rotation.toRotationMatrix();

8.2 각속도와의 관계

미소 시간 $\Delta t$ 동안의 미소 회전은 각속도 벡터 $\boldsymbol{\omega}$ 와 다음의 관계를 가진다:

$\boldsymbol{\theta}_{\Delta} \approx \boldsymbol{\omega} \Delta t$

이 근사는 $\|\boldsymbol{\omega}\| \Delta t \ll 1$ 일 때 유효하며, 관성 항법이나 자세 적분에서 널리 사용된다.

8.3 오차 표현

두 회전 사이의 오차를 표현할 때 축-각 또는 회전 벡터가 자주 사용된다. 기준 회전 $R_d$ 와 실제 회전 $R$ 사이의 오차는:

$R_e = R_d^T R$

이 오차 회전의 회전 벡터 $\boldsymbol{\theta}_e$ 가 자세 오차를 나타내며, 제어기의 피드백 신호로 사용된다.

9. 요약

축-각 표현은 오일러 회전 정리에 기반하여 3D 회전을 단위 벡터(회전축)와 스칼라 각도의 쌍으로 기술하는 방법이다. 회전 벡터 형식으로 통합하면 3개의 파라미터만으로 구속 조건 없이 회전을 표현할 수 있다. 로드리게스 공식을 통해 회전 행렬과 직접적으로 연결되며, 쿼터니언과의 변환도 명시적이다. $\theta = 0$ 과 $\theta = \pi$ 에서의 특이성이 존재하지만, 관절 회전, 각속도, 회전 오차 등 물리적으로 직관적인 표현이 필요한 경우에 효과적으로 활용된다.

10. 참고 문헌

Rodrigues, O. (1840). “Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide.” Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 5, 380-440.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd Edition). Pearson Prentice Hall.
Siciliano, B. et al. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Sola, J. (2017). “Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter.” arXiv:1711.02508.