40.5 전방 재귀: 각속도 전파

각속도 전파는 전방 재귀의 기본 단계이다. 이전 링크의 각속도로부터 현재 링크의 각속도를 계산하는 공식이 운동학 전파의 시작이다. 본 절에서는 각속도 전파를 학술적으로 다룬다.

1. 각속도의 개념

1.1 정의

강체의 각속도 $\vec{\omega}$ 이다.

1.2 3-벡터

회전축과 회전 속도로 표현된다.

1.3 시간 미분

회전 행렬의 시간 미분과 관련된다.

2. 회전 관절의 각속도

2.1 기본 공식

회전 관절 $i$ 에 대해 다음이 성립한다.

${}^i\vec{\omega}_i = {}^i\mathbf{R}_{i-1} \cdot {}^{i-1}\vec{\omega}_{i-1} + \dot{q}_i \hat{z}_i$

40.5.2.2 이전 링크 각속도

이전 링크의 각속도가 전달된다.

40.5.2.3 관절 속도 추가

관절 속도가 관절 축 방향으로 추가된다.

40.5.3 직동 관절의 각속도

40.5.3.1 각속도 변화 없음

직동 관절은 각속도를 변화시키지 않는다.

40.5.3.2 공식

${}^i\vec{\omega}_i = {}^i\mathbf{R}_{i-1} \cdot {}^{i-1}\vec{\omega}_{i-1}$

2.2 회전 성분만

회전 성분만 전파된다.

3. 좌표계 변환

3.1 $i-1$ 에서 $i$ 로

좌표계 변환이 필요하다.

3.2 회전 행렬

${}^i\mathbf{R}_{i-1}$ 이 변환 행렬이다.

3.3 순기구학

순기구학으로부터 얻는다.

4. 관절 축

4.1 방향

관절 축의 방향 $\hat{z}_i$ 이다.

4.2 DH 규약

DH 규약에서 $z$ 축이 관절 축이다.

4.3 좌표계에서의 표현

링크 $i$ 좌표계에서 표현된다.

5. 초기 조건

5.1 기저

${}^0\vec{\omega}_0 = \vec{0}$ 이다(고정 기저).

5.2 부유 기저

부유 기저는 다른 초기 조건이다.

5.3 재귀 시작

이 조건으로 재귀가 시작된다.

6. 순차적 계산

6.1 링크 1부터

링크 1부터 순차적으로 계산한다.

6.2 이전 결과 활용

각 단계가 이전 결과를 활용한다.

6.3 최종 각속도

마지막 링크의 각속도까지 계산한다.

7. 효율성

7.1 단순 계산

각 단계가 단순한 계산이다.

7.2 상수 복잡도

각 단계 $O(1)$ 이다.

7.3 전체 $O(n)$

전체가 $O(n)$ 이다.

8. 수치적 구현

8.1 3-벡터 연산

3-벡터 연산이 기본이다.

8.2 행렬-벡터 곱

회전 행렬과의 곱이다.

8.3 효율적 구현

매우 효율적으로 구현된다.

9. 학술적 활용

본 절에서 다룬 전방 재귀의 각속도 전파는 RNEA의 기본 단계이다. 체계적 각속도 전파가 전체 알고리즘의 학술적 정확성을 보장한다.

10. 출처

Luh, J. Y. S., Walker, M. W., and Paul, R. P. C., “On-line computational scheme for mechanical manipulators”, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 102, No. 2, pp. 69–76, 1980.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Featherstone, R., Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.

11. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18