40.10 후방 재귀 단계의 개요

후방 재귀 단계는 RNEA의 두 번째 단계로, 엔드 이펙터로부터 기저로 관절 힘과 토크를 계산한다. 전방 재귀에서 계산한 운동학적 양을 활용하여 각 관절의 필요 토크를 역산한다. 본 절에서는 후방 재귀 단계의 개요를 학술적으로 다룬다.

1. 후방 재귀의 목적

1.1 관절 토크

각 관절의 필요 토크를 계산한다.

1.2 역동역학

역동역학 문제의 해이다.

1.3 제어 입력

제어에 필요한 토크이다.

2. 계산 방향

2.1 엔드 이펙터부터

마지막 링크부터 시작한다.

2.2 기저까지

기저 방향으로 진행한다.

2.3 역순 재귀

링크 n, n-1, \ldots, 1 순이다.

3. 엔드 이펙터 초기 조건

3.1 외력 없는 경우

외력이 없으면 \vec{f}_{n+1} = \vec{n}_{n+1} = \vec{0}이다.

3.2 외력 있는 경우

외력이 있으면 초기 조건에 포함된다.

3.3 재귀 시작

이 조건으로 재귀가 시작된다.

4. 계산 항목

4.1 관절 힘

각 관절의 힘 \vec{f}_i이다.

4.2 관절 모멘트

각 관절의 모멘트 \vec{n}_i이다.

4.3 관절 토크

최종 출력인 관절 토크 \tau_i이다.

5. 뉴턴-오일러 방정식 적용

5.1 각 링크

각 링크에 뉴턴-오일러 방정식을 적용한다.

5.2 힘 평형

힘 평형 방정식이다.

5.3 모멘트 평형

모멘트 평형 방정식이다.

6. 재귀 관계

6.1 다음 링크로부터

다음 링크의 힘·모멘트로부터 현재를 계산한다.

6.2 관성 힘

링크 자체의 관성 힘을 고려한다.

6.3 중력

중력이 자동 포함된다(암시적 처리).

7. 관절 토크 추출

7.1 투영

관절 모멘트를 관절 축에 투영한다.

7.2 회전 관절

\tau_i = \vec{n}_i^\top \hat{z}_i이다.

7.3 직동 관절

\tau_i = \vec{f}_i^\top \hat{z}_i이다.

8. 전방 재귀와의 연결

8.1 운동학적 입력

전방 재귀의 운동학이 입력이다.

8.2 완전한 정보

전방 결과가 필요한 모든 정보를 제공한다.

8.3 순차적 실행

전방 후 후방으로 실행된다.

9. 효율성

9.1 O(n) 복잡도

선형 복잡도이다.

9.2 각 단계

각 단계가 O(1)이다.

9.3 실시간 가능

실시간 계산이 가능하다.

10. 학술적 활용

본 절에서 다룬 후방 재귀 단계의 개요는 RNEA의 두 번째 핵심 구성 요소를 소개한다. 체계적 힘·토크 계산이 역동역학의 학술적·실무적 해결을 완성한다.

11. 출처

• Luh, J. Y. S., Walker, M. W., and Paul, R. P. C., “On-line computational scheme for mechanical manipulators”, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 102, No. 2, pp. 69–76, 1980.
• Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
• Featherstone, R., Rigid Body Dynamics Algorithms, Springer, 2008.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.

12. 버전

• 문서 버전: 1.0
• 작성일: 2026-04-18