27.10 드라이든 모델의 전달 함수와 매개변수

1. 드라이든 형성 필터의 전달 함수

드라이든 모델의 시간 영역 시뮬레이션에서는 백색 잡음(white noise)을 입력으로 하여 드라이든 파워 스펙트럼 밀도(PSD)를 갖는 출력을 생성하는 형성 필터(shaping filter)가 사용된다. 이 형성 필터는 전달 함수 형태로 표현되며, 각 속도 성분에 대해 서로 다른 전달 함수가 정의된다.

2. 종방향 속도 전달 함수

종방향 속도 변동 $u_g$ 의 형성 필터는 1차 저역 통과 필터 형태로 표현된다.

$H_u(s) = \sigma_u \sqrt{\frac{2 L_u}{\pi U}} \cdot \frac{1}{1 + (L_u / U) s}$

여기서 $s$ 는 라플라스 변수, $U$ 는 비행체의 대지 속도, $L_u$ 는 종방향 적분 길이 스케일, $\sigma_u$ 는 종방향 난류 강도이다. 이 필터의 시간 상수는 $T_u = L_u / U$ 이며, 컷오프 각주파수는 $\omega_{cut} = U / L_u$ 이다.

횡방향 속도 전달 함수

횡방향 속도 변동 $v_g$ 의 형성 필터는 2차 전달 함수로 표현된다.

$H_v(s) = \sigma_v \sqrt{\frac{L_v}{\pi U}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}(L_v/U) s}{(1 + (L_v/U) s)^2}$

이 필터는 저주파 응답을 강화하며 중주파 영역에서 특성 주파수 $\omega = U/L_v$ 부근의 응답을 제공한다. 전달 함수의 분자에 있는 $\sqrt{3}$ 인자는 횡방향 PSD의 형태를 정확히 재현하기 위해 도입되었다.

3. 수직 방향 속도 전달 함수

수직 방향 속도 변동 $w_g$ 의 형성 필터도 2차 전달 함수 형태를 가진다.

$H_w(s) = \sigma_w \sqrt{\frac{L_w}{\pi U}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}(L_w/U) s}{(1 + (L_w/U) s)^2}$

이 필터는 횡방향 필터와 동일한 형태이나 파라미터( $\sigma_w$ , $L_w$ )가 다르다. 대기 난류의 이방성 때문에 $\sigma_w < \sigma_u$ 및 $L_w < L_u$ 의 관계가 일반적이다.

회전 속도 (각속도) 성분

드라이든 모델은 병진 속도 변동뿐 아니라 비행체에 작용하는 공력 모멘트를 유발하는 각속도 변동도 모델링한다. 피치 각속도 $q_g$ 및 요 각속도 $r_g$ 의 형성 필터는 다음과 같다.

$H_q(s) = \frac{s / U}{1 + (4b/\pi U) s} H_w(s)$

$H_r(s) = \frac{s / U}{1 + (3b/\pi U) s} H_v(s)$

여기서 $b$ 는 날개 폭이다. 롤 각속도는 횡방향 난류와 독립적으로 모델링되며

$\Phi_{p_g}(\omega) = \sigma_w^2 \frac{0.8(\pi L_w/4b)^{1/3}}{L_w V [1 + (4b\omega/\pi V)^2]}$

이러한 각속도 성분은 비행체 자세 운동의 외란으로 작용한다.

4. 파라미터의 고도 의존성

드라이든 모델의 파라미터는 고도에 따라 달라진다. 군용 표준 MIL-HDBK-1797은 저고도와 고고도에서 서로 다른 규정을 제공한다.

저고도 조건(지상 10 ft 초과 1000 ft 이하)에서

$L_w = h$

$L_u = L_v = \frac{h}{(0.177 + 0.000823 h)^{1.2}}$

$\sigma_w = 0.1 W_{20}$

$\frac{\sigma_u}{\sigma_w} = \frac{\sigma_v}{\sigma_w} = \frac{1}{(0.177 + 0.000823 h)^{0.4}}$

여기서 $h$ 는 고도(ft), $W_{20}$ 은 지상 20 ft에서의 풍속이다. 고고도 조건(지상 2000 ft 이상)에서는

$L_u = L_v = L_w = 1750 \, \text{ft}$

$\sigma_u = \sigma_v = \sigma_w$

이며 난류 강도는 난류 강도 등급(light, moderate, severe 등)에 따라 표준화된다.

5. 난류 강도 등급

MIL-HDBK-1797은 고고도에서의 난류 강도를 등급으로 분류한다. Light 난류는 $\sigma$ 약 3 ft/s, Moderate 난류는 약 15 ft/s, Severe 난류는 약 30 ft/s이다. 이러한 등급은 대기 관측 확률에 기반하여 결정되며, 설계 및 인증에서 표준 조건으로 사용된다. 국제 기준(JAR, EASA)도 유사한 분류 체계를 채택한다.

6. 상태 공간 표현

드라이든 형성 필터는 상태 공간(state-space) 표현으로 변환할 수 있어 시뮬레이션에 효율적이다. 종방향 성분의 경우

$\dot{x}_u = -\frac{U}{L_u} x_u + w$

$u_g = \sigma_u \sqrt{\frac{2 L_u}{\pi U}} \cdot \frac{U}{L_u} x_u$

여기서 $w$ 는 단위 분산의 백색 잡음이다. 횡방향 및 수직 성분은 2차 상태 공간 표현을 가진다. 이러한 표현은 실시간 시뮬레이션과 제어기 설계에 편리하다.

7. 이산 시간 구현

디지털 시뮬레이션에서는 연속 시간 전달 함수가 이산 시간으로 변환되어야 한다. 대표적 변환 방법은 영차 유지(Zero-Order Hold, ZOH), 쌍선형 변환(bilinear transformation), 역방향 오일러(backward Euler) 등이 있다. 이러한 변환은 모델의 주파수 응답 특성을 가능한 한 보존하면서 이산 시간에서의 구현을 가능하게 한다. 이산화 시간 단계 크기 $T_s$ 는 나이퀴스트 주파수가 관심 주파수 대역을 포함하도록 충분히 작게 선택된다.

8. 백색 잡음 생성

드라이든 모델 시뮬레이션을 위한 백색 잡음은 의사 난수 생성기(pseudo-random number generator)로 생성된다. 가우시안 분포의 백색 잡음이 주로 사용되며, 표준편차 1이고 시간 단계별로 독립적이다. 시뮬레이션 결과의 재현성을 위해 고정 난수 시드(random seed)가 사용된다. 또한 통계적 수렴을 확보하기 위해 충분히 긴 시뮬레이션 시간이 필요하다.

9. 공간적 상관의 모델링

드라이든 모델은 기본적으로 1차원 시간 영역 필터이나, 공간적 상관을 고려한 확장이 필요한 경우도 있다. 비행체의 전 길이에 걸쳐 다른 난류 속도를 경험하는 경우(예: 큰 항공기나 편대 비행), 다수 지점에서의 상관된 난류 시계열이 요구된다. 이는 공간 상관 함수를 이용한 다변량 형성 필터로 구현된다. 소형 드론에서는 일반적으로 이 효과를 무시할 수 있다.

10. 매개변수 튜닝

실제 대기 조건에 맞는 모델 매개변수의 선정은 중요한 실무 문제이다. 다음 접근이 활용된다. 첫째, 표준 조건(예: MIL-HDBK-1797)에 따른 기본 매개변수 사용. 둘째, 해당 지역의 기상 관측 자료로부터 직접 식별. 셋째, 수치 기상 예보 데이터로부터 추정. 넷째, 실제 비행 데이터로부터 역식별. 응용 목적과 데이터 가용성에 따라 적절한 접근이 선택된다.

11. 다른 모델과의 호환성

드라이든 모델은 다른 공력 모델과 쉽게 결합될 수 있다. 비행체의 선형 또는 비선형 공력 모델에 드라이든 난류를 외란으로 입력하여 응답을 계산할 수 있다. 또한 적응 제어, 강건 제어, 그리고 상태 추정 알고리즘에서 드라이든 모델을 전제한 설계가 가능하다. 이러한 호환성은 드라이든 모델의 광범위한 채택에 기여하였다.

12. 드론 응용에서의 고려 사항

드론 및 UAM 기체의 난류 시뮬레이션에서 드라이든 모델을 적용할 때는 다음 고려 사항이 있다. 첫째, 드론은 일반적으로 군용 표준의 저고도 범위(지상 1000 ft 이하)에서 운용되므로 저고도 매개변수가 주로 사용된다. 둘째, 드론의 크기가 작아 전 길이에 걸친 난류 변화가 무시될 수 있어 1차원 모델이 충분하다. 셋째, 드론의 기동성이 높아 난류에 대한 빠른 자세 응답이 기대되며, 이를 위한 제어기 설계에 드라이든 모델이 유용하다.

13. 출처

U.S. Department of Defense, “Flying Qualities of Piloted Airplanes,” MIL-F-8785C, 1980.
U.S. Department of Defense, “Flying Qualities of Piloted Aircraft,” MIL-HDBK-1797, 1997.
Etkin, B., “Dynamics of Atmospheric Flight,” Dover Publications, 2005.
Hoblit, F. M., “Gust Loads on Aircraft: Concepts and Applications,” AIAA Education Series, 1988.
MathWorks, “Dryden Wind Turbulence Model (Continuous),” Aerospace Toolbox Documentation, MATLAB/Simulink.

14. 버전

문서 버전: v1.0
작성 기준일: 2026-04-17