22.35 멀티로터 시스템의 양력 해석

1. 개별 로터 양력과 멀티로터 총 양력의 정의

멀티로터 시스템(multirotor system)은 복수의 회전익(rotor)이 동일 기체에 장착되어 협력적으로 양력을 생성하는 수직이착륙 비행체이다. 기체의 총 양력 $L$ 은 $N$ 개 로터가 개별적으로 발생시키는 축방향 추력 $T_i$ 의 대수 합에 등가하며, 호버링 상태에서 $L = W$ 의 연직 평형 조건을 충족해야 한다.

$L = \sum_{i=1}^{N} T_i \cos \theta_i$

여기서 $\theta_i$ 는 $i$ 번째 로터의 회전축이 기체 중력축과 이루는 기울임 각이다. 일반적인 x-형상 쿼드로터에서 모든 $\theta_i \approx 0$ 이므로 $L \approx \sum T_i$ 로 근사된다. 개별 로터 추력은 블레이드 요소 이론에 기반하여 다음과 같은 이차 형식으로 표현한다.

$T_i = k_T \omega_i^2$

여기서 $\omega_i$ 는 $i$ 번째 로터의 회전 각속도, $k_T$ 는 로터 추력 계수로 블레이드 기하 및 대기 밀도에 의존한다. 이와 같이 $T_i$ 가 $\omega_i^2$ 에 비례하는 관계는 Mellinger와 Kumar가 Minimum Snap Trajectory Generation and Control for Quadrotors(IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2011)에서 정식화한 쿼드로터 동역학 모형의 기반이다.

2. 호버링 상태의 양력 평형

호버링은 모든 로터가 동일한 추력을 발생시켜 기체 중량 $W = mg$ 와 평형을 이루는 상태이다. 이 조건에서 각 로터의 평균 추력은 $T_0 = W/N$ 이며, 대응하는 기준 회전 속도는 다음과 같다.

$\omega_0 = \sqrt{\frac{m g}{N k_T}}$

운동량 이론을 개별 로터에 독립적으로 적용하면, 로터 디스크 면적 $A = \pi R^2$ 에서의 유도 속도 $v_i$ 와 개별 추력은 다음과 같이 결합된다.

$T_i = 2 \rho A v_i^2$

이 관계는 균일 로터 디스크 가정하에 Leishman이 Principles of Helicopter Aerodynamics(2nd ed., Cambridge University Press, 2006)에서 제시한 기본 공식이다. 쿼드로터 및 헥사로터의 호버링 설계에서는 로터 디스크 하중(disk loading) $T/A$ 가 전력 소모 및 유도 동력에 직접 영향을 미치므로, 동일 전체 양력에서 로터 수를 증가시켜 단위 디스크 하중을 낮추면 유도 동력이 감소한다.

3. 전진 비행에서의 양력 모형

멀티로터가 전진 속도 $V$ 를 가지는 경우, 각 로터는 비대칭 유입 유동장에 노출되어 추력과 횡력(lateral force), 롤링·피칭 모멘트가 동시에 발생한다. Glauert의 전진 비행 유도 속도 공식은 개별 로터에 대하여 다음 관계를 제공한다.

$v_i = \frac{T_i}{2 \rho A \sqrt{(V \cos \alpha)^2 + (V \sin \alpha + v_i)^2}}$

여기서 $\alpha$ 는 로터 디스크 평면에 대한 자유 흐름의 유입각이다. 이 비선형 대수 방정식은 반복 계산을 통해 해를 얻으며, Johnson이 Helicopter Theory(Princeton University Press, 1980)에서 정식화한 결과이다. 이로부터 전진 비행 상태의 각 로터 추력은 기체 자세 및 속도의 함수가 되며, 멀티로터 제어기는 이 비선형성을 고려하여 로터별 지령을 분배한다.

4. 양력 지령의 제어 할당

멀티로터의 양력 및 자세 제어는 총 추력 $T_\Sigma$ 와 롤·피치·요 모멘트 $(\tau_x, \tau_y, \tau_z)$ 의 네 가지 가상 지령을 각 로터 회전 속도로 분배하는 제어 할당(control allocation) 문제로 표현된다. 표준 쿼드로터 x-구성에서는 다음 관계식이 성립한다.

$\begin{bmatrix} T_\Sigma \\ \tau_x \\ \tau_y \\ \tau_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_T & k_T & k_T & k_T \\ -k_T \ell & -k_T \ell & k_T \ell & k_T \ell \\ -k_T \ell & k_T \ell & k_T \ell & -k_T \ell \\ -k_M & k_M & -k_M & k_M \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1^2 \\ \omega_2^2 \\ \omega_3^2 \\ \omega_4^2 \end{bmatrix}$

여기서 $\ell$ 은 기체 중심에서 로터 중심까지의 거리, $k_M$ 은 로터 반작용 토크 계수이다. 이 할당 행렬은 정사각 비특이(non-singular) 행렬이므로 직접 역행렬을 통해 로터 속도 제곱 벡터를 결정한다. 헥사로터, 옥토로터와 같이 로터 수가 네 개 이상인 과여유(overactuated) 구성에서는 할당 행렬이 비정사각이며, Moore-Penrose 의사 역행렬(pseudoinverse) 또는 가중 최소자승 해법을 통해 양력 여유와 고장 허용 운용을 고려한 분배가 수행된다.

5. 유도 동력과 총 양력 동력 효율

멀티로터의 양력 생성에 필요한 이상 유도 동력 $P_i$ 는 다음과 같이 정의된다.

$P_i = T v_i = \frac{T^{3/2}}{\sqrt{2 \rho A}}$

호버링 양력 동력 하중(power loading) $T/P$ 는 멀티로터의 효율 지표이며, 동일 $T$ 에 대해 $A$ 가 증가할수록 동력이 감소한다. 실측된 멀티로터 효율은 이상 Froude 효율에 유도 인자 보정 계수 $\kappa \approx 1.1 \sim 1.2$ 와 블레이드 단면 점성 손실을 고려한 실효 효율 계수 $\eta_{FM}$ (figure of merit, 양력 품질 지수)으로 표현된다.

$\eta_{FM} = \frac{T \sqrt{T / (2 \rho A)}}{P_{\text{shaft}}}$

실험 자료에 따르면 소형 무인기용 로터의 $\eta_{FM}$ 은 0.55 ~ 0.75 범위에 분포한다. 이는 Bohorquez 외가 Design, Analysis and Hover Performance of a Rotary Wing Micro Air Vehicle(Journal of the American Helicopter Society, vol. 48, no. 2, 2003)에서 보고한 범위와 일치한다.

6. 로터 배치 기하학과 양력 해석

멀티로터의 양력 해석에서 로터 위치의 기하학적 구성은 양력 및 모멘트 계수에 직접 반영된다. 평면 배치에서 $i$ 번째 로터의 기체 고정 좌표 위치 $(x_i, y_i)$ 가 주어질 때, 중력 가속도 벡터에 평행한 총 양력 $L$ 과 모멘트 $(\tau_x, \tau_y)$ 는 다음과 같이 표현한다.

지표	수식
총 양력	$L = \sum_{i=1}^{N} T_i$
롤 모멘트	$\tau_x = -\sum_{i=1}^{N} y_i T_i$
피치 모멘트	$\tau_y = \sum_{i=1}^{N} x_i T_i$

이 표는 로터 배치의 대칭성이 양력 해석의 결합 관계를 결정함을 나타낸다. 특히 동일 반경 원주 상에 균등 분포된 로터 구성은 대칭 행렬을 통해 양력과 모멘트를 독립적으로 분리한다. 기체 설계 단계에서 이와 같은 배치 해석은 Hamel, Pflimlin, Soueres의 Nonlinear Control of a Miniature VTOL Aircraft(IEEE Conference on Decision and Control, 2002)에서 제시된 비선형 제어 설계와 연관된다.

7. 로터 수에 따른 양력 특성 비교

로터 수가 증가하면 동일 총 양력 조건에서 개별 로터의 반경 또는 회전 속도를 낮출 수 있으므로, 블레이드 팁 속도 $\omega R$ 이 낮아져 압축성 및 소음 특성이 개선된다. 또한 과여유 구성은 단일 로터 고장 시 잔여 로터가 양력을 분담하는 고장 허용(fault-tolerant) 운용을 가능하게 한다. 그러나 로터 수 증가는 기체 무게, 전장 복잡도, 로터 간 간섭 손실을 증가시키므로 양력 효율의 단조 증가를 보장하지 않는다. Mueller, Hamer, D’Andrea의 Fusing Ultra-Wideband Range Measurements with Accelerometers and Rate Gyroscopes for Quadrocopter State Estimation(IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2015)은 쿼드로터 표준 구성의 실측 데이터를 제시하며, 이와 대비되는 옥토로터 자료는 Scaramuzza 외 여러 연구자가 보고한 바 있다.

8. 해석 수준의 위계 구조

멀티로터 시스템의 양력 해석은 다음과 같은 위계 구조를 가진다. 첫째, 운동량 이론과 $T = k_T \omega^2$ 모형을 이용하는 해석은 시스템 설계 및 제어기 모형화에 사용된다. 둘째, 블레이드 요소 운동량 이론을 이용한 분석은 개별 로터의 반경 방향 추력 분포와 유도 속도 분포를 정량화한다. 셋째, 자유 와류 모형(free-wake method) 및 전산유체역학(CFD) 해석은 로터 간 후류 상호작용, 기체 표면과의 상호간섭, 지면 근접 효과를 고해상도로 재현한다. 위계적 해석 기법의 상세는 Yoon 외가 Computational Analysis of Multi-Rotor Flows(54th AIAA Aerospace Sciences Meeting, AIAA Paper 2016-0812, 2016)에서 비교한 결과에 정리되어 있다.

9. 출처

Leishman, J. G. Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed. Cambridge University Press, 2006.
Johnson, W. Helicopter Theory. Princeton University Press, 1980.
Mellinger, D., and Kumar, V. “Minimum Snap Trajectory Generation and Control for Quadrotors.” IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2011.
Bohorquez, F., Samuel, P., Sirohi, J., Pines, D., Rudd, L., and Perel, R. “Design, Analysis and Hover Performance of a Rotary Wing Micro Air Vehicle.” Journal of the American Helicopter Society, vol. 48, no. 2, 2003.
Hamel, T., Mahony, R., Lozano, R., and Ostrowski, J. “Dynamic Modelling and Configuration Stabilization for an X4-Flyer.” IFAC Proceedings Volumes, vol. 35, no. 1, 2002.
Yoon, S., Lee, H. C., and Pulliam, T. H. “Computational Analysis of Multi-Rotor Flows.” 54th AIAA Aerospace Sciences Meeting, AIAA Paper 2016-0812, 2016.

10. 버전

v1.0 (2026-04-17)