22.18 마찰 항력(Skin Friction Drag)

1. 마찰 항력의 물리적 기원

마찰 항력(skin friction drag)은 유체의 점성(viscosity)에 의하여 물체 표면에 작용하는 전단 응력(shear stress)이 자유류 방향으로 투영된 힘의 총합이다. 물체 표면에서 유체 속도가 영이 되는 점착 조건(no-slip condition)에 의하여 경계층(boundary layer)이 형성되며, 경계층 내의 속도 구배가 전단 응력을 발생시킨다.

표면 전단 응력(wall shear stress)은 뉴턴의 점성 법칙에 의하여 다음과 같다.

\tau_w = \mu \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}

여기서 \mu는 동점성 계수(dynamic viscosity), u는 유동 방향 속도, y는 표면 법선 방향 좌표이다. 국소 마찰 계수(local skin friction coefficient)는 다음과 같이 정의된다.

c_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U_e^2}

여기서 U_e는 경계층 외연의 속도이다 (Schlichting & Gersten, 2017).

2. 층류 경계층의 마찰 항력

2.1 블라지우스 해

평판 위의 층류 경계층에 대한 정확한 상사 해(similarity solution)는 Blasius(1908)에 의하여 구해졌다. 블라지우스 해로부터 국소 마찰 계수는 다음과 같다.

c_f = \frac{0.664}{\sqrt{Re_x}}

여기서 Re_x = \rho U_\infty x / \mu는 전연으로부터의 거리 x에 기반한 국소 레이놀즈 수이다.

전체 마찰 항력 계수(평균 마찰 계수)는 평판 전체에 걸쳐 적분하면 다음과 같다.

C_f = \frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}

여기서 Re_L = \rho U_\infty L / \mu는 평판 길이 L에 기반한 레이놀즈 수이다.

2.2 팔크너-스칸 해

압력 구배가 존재하는 경우, 팔크너-스칸 방정식(Falkner-Skan equation)이 적용된다. 쐐기(wedge) 유동에서 외부 속도가 U_e(x) = Cx^m으로 주어질 때, 경계층 두께와 마찰 계수는 지수 m에 의존한다.

순압력 구배(favorable pressure gradient, m > 0)에서는 경계층이 얇아지고 벽면 전단 응력이 증가하며, 역압력 구배(adverse pressure gradient, m < 0)에서는 경계층이 두꺼워지고 전단 응력이 감소한다. m = -0.0904에서 벽면 전단 응력이 영이 되어 박리(separation)가 시작된다.

3. 난류 경계층의 마찰 항력

3.1 난류 마찰 계수

난류 경계층에서는 와류 혼합(turbulent mixing)에 의하여 벽면 부근의 속도 구배가 층류보다 가파르므로, 전단 응력이 현저히 높다. 평판 위의 난류 경계층에 대한 국소 마찰 계수는 경험적으로 다음과 같이 주어진다.

1/7 거듭제곱 법칙(power law)에 기반한 근사식:

c_f = \frac{0.0576}{Re_x^{1/5}}

보다 정밀한 Schoenherr 공식:

\frac{1}{\sqrt{C_f}} = 4.13 \log_{10}(Re_L \cdot C_f)

실용적으로 널리 사용되는 Prandtl-Schlichting 공식:

C_f = \frac{0.455}{(\log_{10} Re_L)^{2.58}}

3.2 층류와 난류의 마찰 비교

레이놀즈 수가 증가할수록 층류와 난류의 마찰 차이가 확대된다. 이는 고레이놀즈 수 비행에서 층류 유동 유지의 가치가 더욱 증대됨을 의미한다.

4. 층류-난류 천이

4.1 천이 메커니즘

층류 경계층에서 난류 경계층으로의 천이(transition)는 마찰 항력의 크기를 결정하는 핵심적인 과정이다. 주요 천이 메커니즘은 다음과 같다.

1. 톨민-슐리히팅 불안정성(Tollmien-Schlichting instability): 자연 천이의 주요 메커니즘으로, 층류 경계층 내에서 미소 교란이 유체역학적 불안정성에 의하여 증폭되어 난류로 발전한다. 임계 레이놀즈 수(Re_{x,\text{cr}} \approx 3.5 \times 10^5 ~ 10^6)에서 불안정성이 시작된다.
2. 바이패스 천이(bypass transition): 자유류 난류 강도가 높은 경우(약 1% 이상), 톨민-슐리히팅 불안정성 과정을 건너뛰고 직접 난류로 천이된다.
3. 분리 유도 천이(separation-induced transition): 층류 분리 거품(laminar separation bubble) 내에서 박리된 전단층이 불안정해져 난류 천이가 발생하고, 난류 경계층으로 재부착되는 과정이다.

4.2 천이에 영향을 미치는 인자

5. 혼합 경계층의 마찰 항력

5.1 천이 위치를 고려한 마찰 계수

실제 익형에서는 전연 부근에서 층류 경계층이 시작되어 어느 위치에서 난류로 천이된다. 천이 위치가 전연에서 x_{tr} 거리에 있을 때, 전체 마찰 항력 계수는 다음과 같이 근사적으로 계산된다.

C_f = C_{f,\text{turb}}(Re_L) - \frac{x_{tr}}{L}\left[C_{f,\text{turb}}(Re_{x_{tr}}) - C_{f,\text{lam}}(Re_{x_{tr}})\right]

이 식은 천이 위치 이전의 층류 구간과 이후의 난류 구간을 각각 반영한다.

5.2 천이 위치에 따른 마찰 항력 변화

Re_L = 10^7 조건에서 천이 위치에 따른 전체 마찰 항력 계수를 비교하면 다음과 같다.

천이를 시위의 40% 후방으로 이동시키면 마찰 항력이 약 22% 저감되며, 이는 전체 비행 효율에 현저한 영향을 미친다.

6. 마찰 항력의 저감 기법

6.1 층류 유동 유지

마찰 항력 저감의 가장 효과적인 방법은 층류 경계층을 가능한 한 넓은 범위에서 유지하는 것이다.

1. 순압력 구배 설계: 익형 형상을 설계하여 순압력 구배 영역을 후방으로 연장한다. NACA 6자리 계열 층류 익형이 이 원리에 기반한다.
2. 표면 품질 관리: 표면을 매끄럽게 유지하여 조도에 의한 강제 천이를 방지한다.
3. 경계층 흡입(suction): 표면의 미세 구멍을 통하여 경계층 유체를 흡입하면 속도 프로파일이 안정화되어 천이가 지연된다.

6.2 난류 마찰 저감

난류 경계층 자체의 마찰을 저감하는 기법도 연구되고 있다.

1. 리블렛(riblet): 유동 방향으로 미세한 홈을 가공하여 난류 경계층의 벽면 구조를 수정한다. 약 5~8%의 마찰 저감이 보고되었다 (Bechert et al., 1997).
2. 대와류 분쇄(large eddy breakup device): 경계층 내의 대형 와류 구조를 분쇄하여 난류 혼합을 억제한다.
3. 폴리머 첨가제: 유체에 미량의 고분자 첨가제를 투입하면 난류 마찰이 현저히 감소한다(Toms 효과). 이는 액체 유동에 제한된다.

7. 익형에서의 마찰 항력

7.1 압력 구배의 영향

실제 익형에서는 평판과 달리 곡면에 의한 압력 구배가 존재하여 마찰 항력이 영향을 받는다. 익형 상면에서는 전연 부근의 강한 순압력 구배 이후 역압력 구배가 나타나며, 하면에서는 비교적 완만한 압력 변화를 경험한다.

압력 구배에 의한 마찰 계수의 보정은 적분 경계층 방정식(integral boundary layer equation)을 사용하여 계산된다. 두운 방정식(Thwaites’ method)은 층류 경계층에 대한 간이 적분법이며, 헤드 방법(Head’s method)이나 그린 방법(Green’s method)은 난류 경계층에 적용된다.

7.2 습윤 면적과 마찰 항력

3차원 비행체의 마찰 항력은 습윤 면적(wetted area) S_{\text{wet}}에 비례한다.

D_f = \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 S_{\text{wet}} \bar{C}_f

여기서 \bar{C}_f는 평균 마찰 계수이다. 날개의 습윤 면적은 양면을 모두 포함하므로, 날개 면적 S의 약 2배에 대하여 익형 두께에 의한 보정을 고려하면 다음과 같다.

S_{\text{wet,wing}} \approx 2S\left(1 + 0.25\frac{t}{c}\right)

동체, 미익, 착륙 장치 등 비행체의 모든 구성 요소에 대한 마찰 항력의 합산이 전체 마찰 항력을 결정하며, 이는 항공기 및 드론의 총항력에서 상당한 비중을 차지한다 (Raymer, 2018).

참고 문헌

• Anderson, J. D. (2017). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed.). McGraw-Hill Education.
• Bechert, D. W., Bruse, M., Hage, W., Van der Hoeven, J. G. T., & Hoppe, G. (1997). Experiments on drag-reducing surfaces and their optimization with an adjustable geometry. Journal of Fluid Mechanics, 338, 59–87.
• Raymer, D. P. (2018). Aircraft Design: A Conceptual Approach (6th ed.). AIAA Education Series.
• Schlichting, H., & Gersten, K. (2017). Boundary-Layer Theory (9th ed.). Springer.

v 0.1.0