22.15 유도 항력(Induced Drag)의 이론적 해석

1. 유도 항력의 물리적 기원

유도 항력(induced drag)은 유한 스팬 날개에서 양력의 발생에 수반하여 불가피하게 나타나는 항력 성분이다. 그 물리적 기원은 다음과 같이 설명된다.

유한 날개에서 양력이 발생하면 날개 끝 와류(tip vortex)와 후류 와류 시트(trailing vortex sheet)가 형성되며, 이 와류 시스템은 날개 위치에서 하향세류(downwash)를 유도한다. 하향세류에 의하여 국소 유동 방향이 자유류에 대하여 아래쪽으로 기울어지므로, 양력 벡터의 방향도 수직에서 후방으로 기울어진다. 이 기울어진 양력 벡터의 자유류 방향 성분이 유도 항력이다.

2차원 익형(무한 스팬)에서는 하향세류가 발생하지 않으므로 유도 항력이 존재하지 않는다. 따라서 유도 항력은 본질적으로 3차원 유동 현상이며, 양력의 발생과 불가분의 관계에 있다 (Anderson, 2017).

2. 유도 받음각과 유도 항력의 관계

2.1 유도 받음각

날개 끝 와류에 의한 하향세류 속도를 w_i라 하면, 유도 받음각(induced angle of attack)은 다음과 같다.

\alpha_i = \arctan\left(\frac{w_i}{U_\infty}\right) \approx \frac{w_i}{U_\infty}

소각도 근사를 적용하였다. 유효 받음각은 기하학적 받음각에서 유도 받음각을 뺀 값이다.

\alpha_{\text{eff}} = \alpha - \alpha_i

2.2 양력 벡터의 기울기

유효 받음각의 관점에서 국소 공력은 유효 자유류 방향에 수직으로 작용한다. 이 국소 양력을 자유류 좌표계로 분해하면, 양력 방향(자유류에 수직) 성분과 항력 방향(자유류에 평행) 성분이 나타난다. 항력 방향 성분이 곧 유도 항력이다.

국소 양력 dL'에 의한 국소 유도 항력은 다음과 같다.

dD_i' = dL' \sin\alpha_i \approx dL' \cdot \alpha_i

3. 리프팅 라인 이론에 의한 유도 항력 계산

3.1 일반적 표현

리프팅 라인 이론에서 단위 스팬당 양력은 쿠타-주코프스키 정리에 의하여 다음과 같다.

L'(y) = \rho_\infty U_\infty \Gamma(y)

단위 스팬당 유도 항력은 다음과 같다.

D_i'(y) = \rho_\infty w_i(y) \Gamma(y)

전체 유도 항력은 스팬 전체에 걸쳐 적분하여 구한다.

D_i = \rho_\infty \int_{-b/2}^{b/2} w_i(y) \Gamma(y) \, dy

여기서 하향세류 w_i(y)는 후류 와류에 의하여 유도된 것이다.

w_i(y_0) = \frac{1}{4\pi}\int_{-b/2}^{b/2} \frac{(d\Gamma/dy)}{y_0 - y} dy

3.2 글라우어트 급수를 이용한 계산

순환 분포를 글라우어트 급수 \Gamma(\theta) = 2bU_\infty \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(n\theta)로 전개하면, 유도 항력 계수는 다음과 같이 해석적으로 계산된다.

하향세류의 글라우어트 급수 표현은 다음과 같다.

w_i(\theta_0) = U_\infty \sum_{n=1}^{N} nA_n \frac{\sin(n\theta_0)}{\sin\theta_0}

유도 항력 계수는 다음과 같이 유도된다.

C_{D_i} = \frac{D_i}{\frac{1}{2}\rho_\infty U_\infty^2 S} = \pi AR \sum_{n=1}^{N} nA_n^2

양력 계수 C_L = \pi AR \cdot A_1의 관계를 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

C_{D_i} = \frac{C_L^2}{\pi AR}\left[1 + \sum_{n=2}^{N} n\left(\frac{A_n}{A_1}\right)^2\right]

4. 타원형 양력 분포와 최소 유도 항력

4.1 타원 분포의 유도 항력

타원형 양력 분포에서는 A_1만 비영이고 A_n = 0 (n \geq 2)이므로 유도 항력 계수는 다음과 같이 단순화된다.

C_{D_i} = \frac{C_L^2}{\pi AR}

이는 주어진 양력 계수와 종횡비에 대하여 가능한 최소 유도 항력이다. 이 결과는 Munk(1921)의 최소 유도 항력 정리(Munk’s stagger theorem)와 일관된다.

4.2 최소 유도 항력의 조건

Munk(1921)는 주어진 총 양력에 대하여 유도 항력이 최소가 되려면, 스팬 방향 하향세류가 일정하여야 함을 증명하였다. 즉 다음 조건이 성립하여야 한다.

w_i(y) = w_0 = \text{const}, \quad -\frac{b}{2} \leq y \leq \frac{b}{2}

이 조건을 만족하는 순환 분포가 바로 타원형 분포이다. 따라서 타원형 양력 분포는 유도 항력 최소화의 관점에서 이상적인 분포이다.

4.3 에너지 관점의 해석

유도 항력은 후류의 운동 에너지(kinetic energy)와 직접 관련된다. 날개가 일정 속도로 비행하면서 양력을 발생시킬 때, 후류에 부여되는 운동 에너지율은 다음과 같다.

\dot{E}_{\text{wake}} = D_i \cdot U_\infty

후류의 운동 에너지는 하향세류와 와류의 회전 운동에 저장된다. 트레프츠 면(Trefftz plane) 해석에 의하면 유도 항력은 다음과 같이 표현된다.

D_i = \frac{\rho_\infty}{2}\int_{-b/2}^{b/2} w_i(y) \Gamma(y) \, dy

이 표현은 후류에 잔류하는 운동 에너지가 날개가 유체에 수행한 일에 의한 것임을 보여준다.

5. Oswald 효율 인자

5.1 정의

비타원형 양력 분포에서의 유도 항력 증가를 정량화하기 위하여 Oswald 효율 인자(Oswald efficiency factor) e를 도입한다.

C_{D_i} = \frac{C_L^2}{\pi e AR}

여기서 e는 다음과 같이 정의된다.

e = \frac{1}{1 + \delta}, \quad \delta = \sum_{n=2}^{N} n\left(\frac{A_n}{A_1}\right)^2

\delta \geq 0이므로 e \leq 1이며, e = 1은 타원 분포에 해당한다.

5.2 실용적 Oswald 인자

실제 날개에서의 Oswald 효율 인자는 비타원 양력 분포 효과뿐만 아니라, 동체-날개 접합부의 간섭, 점성 효과 등을 종합적으로 반영한다. 실용적 Oswald 인자 e_0는 실험적으로 다음의 범위에 놓인다.

출처: Raymer (2018)

6. 유도 항력의 물리적 해석

6.1 양력과 유도 항력의 포물선 관계

유도 항력 계수가 양력 계수의 제곱에 비례하는 관계 C_{D_i} = C_L^2/(\pi e AR)는 항력 극곡선(drag polar)에서 포물선 형태로 나타난다. 전체 항력 계수는 다음과 같다.

C_D = C_{D_0} + \frac{C_L^2}{\pi e AR} = C_{D_0} + KC_L^2

여기서 K = 1/(\pi e AR)는 유도 항력 인자(induced drag factor)이다.

6.2 유도 항력의 에너지 소산

유도 항력에 의한 에너지 소산은 궁극적으로 후류 와류의 점성 소산에 의하여 열에너지로 전환된다. 그러나 이 과정은 날개로부터 멀리 떨어진 후류에서 진행되므로, 유도 항력의 발생 메커니즘 자체는 비점성 현상이다. 이는 점성에 의하여 직접 발생하는 마찰 항력이나 압력 항력과 근본적으로 다른 특성이다.

7. 유도 항력의 수치 해석

7.1 와류 격자법(Vortex Lattice Method)

와류 격자법(VLM)은 유도 항력의 실용적 수치 계산에 널리 사용되는 방법이다. 날개를 말굽 와류(horseshoe vortex)의 격자로 이산화하고, 각 패널의 제어점에서 불투과 경계 조건을 만족시켜 와류 강도를 결정한다. 유도 항력은 트레프츠 면 적분 또는 근접장(near-field) 방법으로 계산할 수 있다.

트레프츠 면 방법에서의 유도 항력은 다음과 같다.

D_i = -\frac{\rho_\infty}{2}\oint_{\text{Trefftz}} \phi \frac{\partial \phi}{\partial n} ds

여기서 \phi는 속도 포텐셜, n은 법선 방향이다 (Katz & Plotkin, 2001).

7.2 패널법과 CFD

보다 정밀한 해석을 위하여 3차원 패널법이나 전산유체역학(CFD) 방법이 사용된다. RANS 방정식 기반의 CFD에서는 유도 항력과 점성 항력이 자동으로 통합되어 계산되므로, 유도 항력을 별도로 분리하려면 후류 해석이나 스팬 하중 적분 등의 후처리 기법이 필요하다.

8. 유도 항력 저감 기법

유도 항력의 저감은 비행 효율 향상의 핵심 과제이며, 다음의 방법들이 적용된다.

8.1 종횡비 증가

유도 항력은 AR에 반비례하므로, 종횡비를 높이는 것이 가장 직접적인 저감 방법이다. 그러나 구조 중량 증가, 날개 강성 문제, 운반 및 저장의 제약 등이 실용적 상한을 결정한다.

8.2 양력 분포 최적화

양력 분포를 타원에 가깝게 조정하면 e가 증가하여 유도 항력이 감소한다. 기하학적 비틀림(washout), 공력적 비틀림, 테이퍼비 최적화 등이 이에 해당한다.

최근에는 Prandtl(1933)이 제안한 종형(bell-shaped) 양력 분포가 재조명되고 있다. 이 분포는 타원 분포보다 유도 항력은 다소 증가하지만, 날개 뿌리의 굽힘 모멘트가 현저히 감소하여 구조 중량 절감에 의한 전체 효율 향상이 가능하다.

8.3 윙렛과 날개 끝 장치

윙렛(winglet)은 유효 스팬을 증가시키고 날개 끝 와류의 구조를 수정하여 유도 항력을 저감한다. 일반적으로 3~6%의 유도 항력 저감이 달성된다.

8.4 편대 비행(Formation Flight)

다수의 항공기가 편대 비행을 수행하면, 선행 항공기의 상향세류(upwash) 영역에 후속 항공기가 위치하여 유효 받음각이 증가하고 유도 항력이 저감된다. 드론 군집 비행에서의 에너지 효율 최적화에도 이 원리가 적용될 수 있다 (Lissaman & Shollenberger, 1970).

참고 문헌

• Anderson, J. D. (2017). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed.). McGraw-Hill Education.
• Katz, J., & Plotkin, A. (2001). Low-Speed Aerodynamics (2nd ed.). Cambridge University Press.
• Lissaman, P. B. S., & Shollenberger, C. A. (1970). Formation flight of birds. Science, 168(3934), 1003–1005.
• Munk, M. M. (1921). The minimum induced drag of aerofoils. NACA Report, No. 121.
• Prandtl, L. (1933). Über tragflügel kleinsten induzierten Widerstandes. Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 24, 305–306.
• Raymer, D. P. (2018). Aircraft Design: A Conceptual Approach (6th ed.). AIAA Education Series.

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