22.13 유한 날개의 종횡비 효과

1. 종횡비의 정의

종횡비(aspect ratio, AR)는 날개의 기하학적 형상을 특성화하는 가장 중요한 무차원 매개변수 중 하나로, 다음과 같이 정의된다.

AR = \frac{b^2}{S}

여기서 b는 날개 스팬(wingspan), S는 날개 면적(wing area)이다. 직사각형 날개의 경우 S = bc이므로 AR = b/c로 단순화된다.

종횡비는 날개의 “날씬한 정도“를 나타내며, 높은 종횡비는 길고 좁은 날개를, 낮은 종횡비는 짧고 넓은 날개를 의미한다. 글라이더의 날개는 AR \approx 20 \sim 40에 달하며, 전투기의 삼각익은 AR \approx 2 \sim 4 정도이다. 드론에서는 고정익 드론이 AR \approx 6 \sim 15, 멀티로터 블레이드가 AR \approx 5 \sim 15 범위에 분포한다 (Anderson, 2017).

2. 종횡비가 양력 기울기에 미치는 영향

2.1 유효 받음각의 감소

유한 스팬 날개에서 날개 끝 와류(tip vortex)에 의한 하향세류(downwash)는 유효 받음각(effective angle of attack)을 감소시킨다.

\alpha_{\text{eff}} = \alpha - \alpha_i

타원형 양력 분포의 경우, 유도 받음각은 다음과 같다.

\alpha_i = \frac{C_L}{\pi AR}

이로부터 유한 날개의 양력 기울기(lift curve slope)가 2차원 값보다 감소함을 알 수 있다.

2.2 양력 기울기의 종횡비 의존성

리프팅 라인 이론에 의하면, 유한 날개의 양력 기울기 a는 다음과 같다.

a = \frac{a_0}{1 + \dfrac{a_0}{\pi e_1 AR}}

여기서 a_0는 2차원 양력 기울기(이론값 2\pi), e_1은 양력 분포의 비타원 정도를 반영하는 보정 인자이다. 타원 분포에서 e_1 = 1이며, 비타원 분포에서는 e_1 < 1이다.

종횡비에 따른 양력 기울기의 변화를 정리하면 다음과 같다.

종횡비가 감소할수록 양력 기울기가 현저히 저하되며, AR < 4 영역에서는 2차원 값의 절반 이하로 감소한다.

2.3 양력 곡선의 변화

종횡비의 감소는 양력 곡선 전체에 다음과 같은 영향을 미친다.

1. 양력 기울기 감소: 동일한 받음각 증분에 대한 양력 증가량이 줄어든다.
2. 실속 받음각 증가: 양력 기울기가 낮아지므로, 동일한 C_{L,\max}에 도달하는 데 더 큰 받음각이 필요하다.
3. 실속 특성 완화: 날개 끝 와류에 의한 유동 혼합이 실속을 보다 점진적으로 만드는 경향이 있다.

3. 종횡비가 유도 항력에 미치는 영향

3.1 유도 항력 계수

유도 항력 계수(induced drag coefficient)는 리프팅 라인 이론에 의하여 다음과 같이 주어진다.

C_{D_i} = \frac{C_L^2}{\pi e AR}

여기서 e는 Oswald 효율 인자(Oswald efficiency factor)로, 양력 분포의 비타원 정도와 점성 효과를 종합적으로 반영한다. 타원 분포에서 e = 1이며, 실제 날개에서는 e \approx 0.7 \sim 0.95 범위이다.

이 관계로부터 유도 항력은 종횡비에 반비례함을 알 수 있다. 종횡비를 2배로 증가시키면 유도 항력이 절반으로 감소하므로, 장거리 비행 효율에서 종횡비는 결정적인 설계 매개변수이다.

3.2 종횡비에 따른 유도 항력의 비교

순항 조건에서 C_L = 0.5, e = 0.85로 가정한 유도 항력 계수를 비교하면 다음과 같다.

고종횡비 날개의 유도 항력 저감 효과가 명확히 나타난다.

4. 종횡비가 양항비에 미치는 영향

4.1 최대 양항비

전체 항력 계수는 형상 항력(profile drag)과 유도 항력의 합이다.

C_D = C_{D_0} + \frac{C_L^2}{\pi e AR}

여기서 C_{D_0}는 영양력 항력 계수(zero-lift drag coefficient)이다. 양항비(lift-to-drag ratio) L/D = C_L/C_D가 최대가 되는 조건은 다음과 같다.

\left(\frac{L}{D}\right)_{\max} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi e AR}{C_{D_0}}}

이 식으로부터 최대 양항비는 \sqrt{AR}에 비례함을 알 수 있다. 종횡비가 4배 증가하면 최대 양항비는 2배 향상된다.

4.2 최대 양항비에서의 양력 계수

최대 양항비가 달성되는 양력 계수는 다음과 같다.

C_{L,\text{opt}} = \sqrt{\pi e AR \cdot C_{D_0}}

이 값은 유도 항력이 형상 항력과 동일해지는 조건에 해당한다.

5. 종횡비가 실속 특성에 미치는 영향

5.1 차원 실속의 특성

유한 날개의 실속은 2차원 익형의 실속과 질적으로 다른 양상을 보인다. 종횡비와 날개 평면형에 따라 실속의 시작 위치와 진행 양상이 달라진다.

날개 끝 실속(tip stall)은 에일러론(aileron)의 효과를 상실시켜 횡방향 조종 능력을 저하시키므로 비행 안전에 심각한 위협이 된다. 이를 방지하기 위하여 기하학적 비틀림(washout)을 적용하여 날개 끝의 국소 받음각을 줄이는 것이 일반적인 설계 관행이다.

5.2 종횡비와 최대 양력 계수

유한 날개의 최대 양력 계수 C_{L,\max}는 2차원 익형의 C_{l,\max}보다 일반적으로 낮다. 그 주요 원인은 다음과 같다.

1. 스팬 방향 양력 분포의 불균일성에 의하여, 국소 양력 계수가 평균값보다 높은 위치에서 실속이 조기에 시작된다.
2. 날개 끝 와류에 의한 유동 왜곡이 전연 부근의 경계층 특성을 변화시킨다.
3. 3차원 유동 효과(cross-flow)에 의하여 경계층 박리 특성이 2차원과 달라진다.

6. 저종횡비 날개의 특수한 공력 특성

6.1 저종횡비 이론

종횡비가 매우 낮은 날개(AR < 2)에서는 리프팅 라인 이론의 가정이 성립하지 않으며, Jones(1946)의 세장체 이론(slender body theory)이 적용된다. 이 이론에 의하면, 저종횡비 날개의 양력 기울기는 다음과 같다.

\frac{dC_L}{d\alpha} = \frac{\pi AR}{2}

이 결과는 리프팅 라인 이론의 예측값보다 더 낮으며, 매우 낮은 종횡비에서의 양력 발생이 비효율적임을 나타낸다.

6.2 전연 와류 양력

저종횡비 삼각익(delta wing)에서는 전연에서 강한 와류(leading edge vortex)가 형성되어, 이 와류에 의한 비선형 양력 성분이 추가된다. 전체 양력은 선형 성분과 비선형 와류 양력 성분의 합으로 표현된다.

C_L = C_{L,\text{potential}} + C_{L,\text{vortex}}

Polhamus(1966)의 전연 흡입 유추법(leading edge suction analogy)에 의하면 다음과 같다.

C_L = K_p \sin\alpha\cos^2\alpha + K_v \cos\alpha\sin^2\alpha

여기서 K_p와 K_v는 각각 포텐셜 양력 계수와 와류 양력 계수이며, 날개의 평면형에 의하여 결정된다. 이 비선형 와류 양력에 의하여 저종횡비 삼각익은 매우 높은 받음각까지 실속 없이 양력이 증가하는 특성을 보인다.

7. 드론 설계에서의 종횡비 선정

7.1 설계 트레이드오프

종횡비의 선정은 다음의 상충 관계를 고려하여 결정된다.

7.2 드론 유형별 종횡비

장거리 순항 임무에서는 유도 항력 저감을 위하여 높은 종횡비가 선호되며, 구조적 제약이나 운반 편의성이 중시되는 소형 드론에서는 중간 종횡비가 채택된다. 최적 종횡비는 임무 프로파일, 구조 재료, 운용 조건 등을 종합적으로 고려한 다분야 최적화(multidisciplinary optimization)를 통하여 결정된다.

참고 문헌

• Anderson, J. D. (2017). Fundamentals of Aerodynamics (6th ed.). McGraw-Hill Education.
• Glauert, H. (1926). The Elements of Aerofoil and Airscrew Theory. Cambridge University Press.
• Jones, R. T. (1946). Properties of low-aspect-ratio pointed wings at speeds below and above the speed of sound. NACA Report, No. 835.
• Polhamus, E. C. (1966). A concept of the vortex lift of sharp-edge delta wings based on a leading-edge-suction analogy. NASA Technical Note, D-3767.

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