15.9 오일러-라그랑주 방정식의 유도
1. 개요
오일러-라그랑주 방정식은 변분법의 기본 방정식이며, 라그랑주 역학에서 운동 방정식의 표준 형식이다. 본 절에서는 해밀턴의 원리로부터 오일러-라그랑주 방정식의 자세한 유도와 그 의미를 다룬다.
2. 작용의 정의와 변분 문제
2.1 작용
라그랑지언 L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)가 주어진 시스템의 작용은 다음과 같다.
S[\mathbf{q}] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t)\, dt
2.2 변분 문제의 진술
해밀턴의 원리에 따르면 시스템의 실제 운동은 끝점 \mathbf{q}(t_1)과 \mathbf{q}(t_2)가 고정된 가능한 경로들 중에서 작용이 정류값을 가지는 경로이다.
\delta S = 0
3. 변분의 계산
3.1 변분 경로
실제 경로 \mathbf{q}(t) 주위의 가능한 경로를 다음과 같이 표현한다.
\mathbf{q}(t, \alpha) = \mathbf{q}(t) + \alpha\boldsymbol{\eta}(t)
여기서 \alpha는 작은 매개 변수이고 \boldsymbol{\eta}(t)는 변분 함수이다. 경계 조건은
\boldsymbol{\eta}(t_1) = \boldsymbol{\eta}(t_2) = 0
이다.
3.2 작용의 변분
작용의 변분은 \alpha에 대한 미분을 통해 계산된다.
\delta S = \alpha\frac{dS}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0} = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\eta_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{\eta}_i\right)\alpha\, dt
또는 \delta\mathbf{q} = \alpha\boldsymbol{\eta}를 사용하여
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta\dot{q}_i\right) dt
4. 부분 적분
4.1 두 번째 항의 처리
\delta\dot{q}_i = \frac{d(\delta q_i)}{dt}를 이용하여 두 번째 항에 부분 적분을 적용한다.
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta\dot{q}_i\, dt = \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\frac{d(\delta q_i)}{dt}\, dt
부분 적분을 적용하면
= \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\, dt
4.2 경계 조건의 적용
경계 조건 \delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0에 의해 첫 번째 항이 0이다.
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta\dot{q}_i\, dt = -\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\, dt
5. 오일러-라그랑주 방정식
5.1 작용의 변분의 정리
부분 적분 후 작용의 변분은 다음과 같이 정리된다.
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i\, dt
5.2 정류 조건
해밀턴의 원리는 임의의 변분 \delta q_i에 대해 \delta S = 0임을 요구한다.
5.3 변분법의 기본 보조 정리
다음의 보조 정리(fundamental lemma of calculus of variations)가 사용된다.
연속 함수 f(t)에 대해 모든 연속 함수 \eta(t)가 경계에서 0이고
\int_{a}^{b}f(t)\eta(t)\, dt = 0
이면 f(t) = 0이다.
5.4 운동 방정식
이 보조 정리를 적용하면 각 i에 대해
\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0
또는 동등하게
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
이것이 오일러-라그랑주 방정식이다.
6. 비보존력의 추가
6.1 비보존력의 처리
비보존력이 있는 경우 가상 일을 통해 일반화 힘 Q_i^{\text{nc}}가 정의되며, 라그랑주 방정식은 다음과 같이 확장된다.
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i^{\text{nc}}
6.2 외력의 추가
매니퓰레이터의 액추에이터 토크 등 외력이 일반화 힘에 추가된다.
7. 오일러-라그랑주 방정식의 성질
7.1 좌표 독립성
오일러-라그랑주 방정식은 일반화 좌표의 선택에 독립적이다. 즉, 어떠한 일반화 좌표를 사용해도 같은 형식의 방정식이 성립한다.
7.2 미분 차수
오일러-라그랑주 방정식은 일반적으로 일반화 좌표의 2차 미분 방정식이다. 이는 운동 에너지가 일반화 속도의 2차 함수이기 때문이다.
7.3 결정성
초기 조건(초기 위치와 초기 속도)이 주어지면 미분 방정식의 해가 결정된다.
8. 응용 예시
8.1 단순 진자
라그랑지언 L = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면
\frac{d}{dt}(ml^2\dot{\theta}) - (-mgl\sin\theta) = 0
ml^2\ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0
즉, \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0이다. 이는 단순 진자의 운동 방정식이다.
8.2 매니퓰레이터
매니퓰레이터의 라그랑지언으로부터 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 표준 형식의 동역학 방정식이 얻어진다.
\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}
9. 본 절의 의의
본 절은 해밀턴의 원리로부터 오일러-라그랑주 방정식의 유도를 자세히 다루었다. 이 방정식은 라그랑주 역학의 표준 운동 방정식이며 매니퓰레이터를 비롯한 다양한 시스템의 동역학 분석의 기반이다.
10. 참고 문헌
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
- Gelfand, I. M., & Fomin, S. V. (2000). Calculus of Variations. Dover.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
version: 1.0