15.7 해밀턴의 원리와 최소 작용 원리

1. 개요

해밀턴의 원리(Hamilton’s principle)는 라그랑주 역학과 분석 역학의 가장 우아한 정식화 중 하나이다. 시스템의 실제 운동이 작용(action)이라는 적분의 극값을 이룬다는 변분 원리이다. 본 절에서는 해밀턴의 원리와 최소 작용 원리, 그리고 이로부터 라그랑주 방정식의 유도를 다룬다.

2. 작용의 정의

2.1 작용 적분

시스템의 작용은 라그랑지언의 시간 적분으로 정의된다.

$S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t)\, dt$

여기서 $\mathbf{q}(t)$ 는 시간 $t_1$ 에서 $t_2$ 사이의 가능한 경로이다.

2.2 함수와의 차이

작용은 일반적인 함수가 아니라 함수의 함수이다. 즉, 경로 $\mathbf{q}(t)$ 전체를 입력으로 받아 스칼라 값을 출력하는 범함수(functional)이다.

2.3 차원

작용의 차원은 (에너지 × 시간)이다.

3. 해밀턴의 원리

3.1 원리의 진술

해밀턴의 원리는 다음과 같이 진술된다.

시간 $t_1$ 과 $t_2$ 에서 시작점과 끝점이 고정된 가능한 경로들 중에서, 시스템이 실제로 따르는 경로는 작용 $S$ 를 정류값(stationary value)으로 만드는 경로이다.

수학적으로

$\delta S = 0$

여기서 $\delta S$ 는 작용의 변분이다.

3.2 정류값과 극값

정류값은 작용이 극소, 극대, 또는 안장점인 경우를 모두 포함한다. 일반적으로 작용은 극소(때로 안장점)인 경우가 많지만, 항상 극소인 것은 아니다.

3.3 경계 조건

해밀턴의 원리에서는 시작점과 끝점이 고정된 경로 변분만이 고려된다.

$\delta\mathbf{q}(t_1) = \delta\mathbf{q}(t_2) = 0$

4. 라그랑주 방정식의 유도

4.1 작용의 변분

작용의 변분은 다음과 같이 계산된다.

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}\delta\mathbf{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\delta\dot{\mathbf{q}}\right) dt$

4.2 부분 적분

두 번째 항에 부분 적분을 적용한다.

$\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\delta\dot{\mathbf{q}}\, dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\delta\mathbf{q}\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right)\delta\mathbf{q}\, dt$

경계 조건에 의해 첫 번째 항이 사라진다.

4.3 라그랑주 방정식

작용의 변분은 다음과 같이 정리된다.

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right)\delta\mathbf{q}\, dt$

이 변분이 임의의 $\delta\mathbf{q}$ 에 대해 0이 되려면 피적분 함수가 0이어야 한다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

이것이 라그랑주 방정식(또는 오일러-라그랑주 방정식)이다.

5. 최소 작용 원리

5.1 역사적 배경

최소 작용 원리는 17세기와 18세기에 페르마(Fermat), 모페르튀(Maupertuis), 오일러(Euler), 라그랑주(Lagrange), 해밀턴(Hamilton) 등에 의해 발전되었다.

5.2 페르마의 원리

페르마의 원리는 빛의 경로에 대한 변분 원리이다. 빛은 두 점 사이에서 광학 경로 길이가 정류값인 경로를 따른다.

5.3 모페르튀의 작용

모페르튀의 작용은 운동 에너지의 시간 적분의 두 배에 해당하며, 보존계의 운동 분석에 사용된다.

$W = \int 2T\, dt$

5.4 해밀턴의 일반화

해밀턴은 모페르튀의 원리를 일반화하여 라그랑지안의 시간 적분으로서의 작용을 도입했다.

6. 변분 원리의 의의

6.1 좌표 독립성

변분 원리는 좌표계에 독립적이다. 어떠한 일반화 좌표를 사용해도 같은 결과가 얻어진다.

6.2 보편성

같은 형식의 변분 원리가 광학, 역학, 전자기학, 양자 역학, 일반 상대성 이론 등의 다양한 분야에 적용된다.

6.3 통합 관점

변분 원리는 물리학의 다양한 법칙을 통합하는 관점을 제공한다.

6.4 보존 법칙과의 연결

노에터(Noether)의 정리는 시스템의 대칭성과 보존 법칙의 관계를 변분 원리의 관점에서 정리한다.

7. 최소 또는 정류

7.1 일반적으로는 정류

해밀턴의 원리는 일반적으로 작용이 정류값을 가짐을 의미한다. 항상 최소인 것은 아니다.

7.2 야코비의 조건

작용이 극소가 되는 조건은 야코비의 충분 조건으로 분석될 수 있다.

7.3 두 번째 변분

두 번째 변분(second variation)을 분석하여 작용의 정류값이 극소인지 극대인지 안장점인지 결정할 수 있다.

8. 해밀턴 원리의 응용

8.1 매니퓰레이터의 동역학

매니퓰레이터의 라그랑지안으로부터 해밀턴의 원리를 통해 동역학 방정식이 유도된다.

8.2 운동 계획

변분 원리는 운동 계획의 이론적 기반이다. 최적 제어 이론도 변분법에 기반한다.

8.3 수치 적분

변분 적분기(variational integrator)는 해밀턴 원리에 기반한 수치 적분 방법이며, 보존 법칙을 잘 보존한다.

9. 본 절의 의의

본 절은 해밀턴의 원리와 최소 작용 원리를 다루었다. 이 원리는 라그랑주 역학의 가장 깊은 기반이며, 변분법의 강력한 도구를 통해 다양한 물리 문제의 해결을 가능하게 한다.

10. 참고 문헌

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed.). Pergamon Press.
Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. II. Basic Books.

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