15.48 라그랑주 동역학 기반 적응 제어
1. 개요
매니퓰레이터의 실제 동역학 매개 변수는 정확히 알려지지 않을 수 있다. 적응 제어는 매개 변수를 온라인으로 추정하면서 제어하는 방법이다. 라그랑주 동역학의 매개 변수에 대한 선형성이 적응 제어의 기반이 된다. 본 절에서는 라그랑주 동역학 기반 적응 제어를 다룬다.
2. 매니퓰레이터의 매개 변수 불확실성
2.1 매개 변수의 종류
매니퓰레이터의 동역학 매개 변수는 다음과 같다.
- 각 링크의 질량
- 각 링크의 질량 중심 위치
- 각 링크의 관성 텐서
2.2 불확실성의 원인
- CAD 모형의 부정확성
- 페이로드의 변동
- 시간에 따른 변화 (마모, 노화)
- 측정 오차
3. 라그랑주 동역학의 선형 매개 변수화
3.1 핵심 성질
매니퓰레이터의 동역학 방정식은 매개 변수에 대해 선형으로 표현될 수 있다.
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}})\boldsymbol{\pi}
여기서 \boldsymbol{\pi}는 동역학 매개 변수 벡터이고 \mathbf{Y}는 회귀 행렬이다.
3.2 회귀 행렬
회귀 행렬은 운동학적 변수의 함수이며, 매니퓰레이터의 구조에 의해 결정된다. 매개 변수에는 의존하지 않는다.
3.3 식별 가능 매개 변수
매니퓰레이터의 모든 매개 변수가 운동 데이터로부터 식별 가능한 것은 아니다. 일부 매개 변수가 동역학에 영향을 주지 않거나 결합되어 있을 수 있다. 식별 가능 매개 변수의 수는 매니퓰레이터의 구조에 의존한다.
4. 적응 계산 토크 제어
4.1 추정 매개 변수
매개 변수 추정값 \hat{\boldsymbol{\pi}}를 도입한다. 추정 오차는
\tilde{\boldsymbol{\pi}} = \boldsymbol{\pi} - \hat{\boldsymbol{\pi}}
4.2 제어 식
추정 매개 변수를 사용한 계산 토크 제어는 다음과 같다.
\boldsymbol{\tau} = \hat{\mathbf{M}}(\mathbf{q})\mathbf{u} + \hat{\mathbf{C}}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \hat{\mathbf{g}}(\mathbf{q})
여기서 \hat{\cdot}는 추정 매개 변수에 기반한 양이다.
4.3 외부 루프
외부 루프는 일반적인 PD 제어이다.
\mathbf{u} = \ddot{\mathbf{q}}_d + \mathbf{K}_v\dot{\mathbf{e}} + \mathbf{K}_p\mathbf{e}
4.4 매개 변수 갱신 법칙
매개 변수의 갱신은 리아푸노프 분석에서 도출된다. 일반적인 형식은
\dot{\hat{\boldsymbol{\pi}}} = -\boldsymbol{\Gamma}^{-1}\mathbf{Y}^T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \mathbf{u})\mathbf{s}
여기서 \boldsymbol{\Gamma}는 양정 게인 행렬이고 \mathbf{s}는 슬라이딩 변수이다.
5. 슬로팀-리 적응 제어
5.1 슬라이딩 변수
슬로팀과 리(Slotine and Li)의 적응 제어는 다음의 슬라이딩 변수를 사용한다.
\mathbf{s} = \dot{\mathbf{e}} + \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{e}
여기서 \boldsymbol{\Lambda}는 양정행렬이다.
5.2 참조 가속도
참조 가속도는 다음과 같이 정의된다.
\dot{\mathbf{q}}_r = \dot{\mathbf{q}}_d + \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{e}
\ddot{\mathbf{q}}_r = \ddot{\mathbf{q}}_d + \boldsymbol{\Lambda}\dot{\mathbf{e}}
5.3 제어 식
제어 식은 다음과 같다.
\boldsymbol{\tau} = \hat{\mathbf{M}}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}_r + \hat{\mathbf{C}}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}_r + \hat{\mathbf{g}}(\mathbf{q}) - \mathbf{K}_d\mathbf{s}
5.4 매개 변수 갱신
\dot{\hat{\boldsymbol{\pi}}} = -\boldsymbol{\Gamma}\mathbf{Y}^T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}}_r, \ddot{\mathbf{q}}_r)\mathbf{s}
5.5 안정성 증명
리아푸노프 함수
V = \frac{1}{2}\mathbf{s}^T\mathbf{M}\mathbf{s} + \frac{1}{2}\tilde{\boldsymbol{\pi}}^T\boldsymbol{\Gamma}^{-1}\tilde{\boldsymbol{\pi}}
를 사용하여 \dot{V} \leq -\mathbf{s}^T\mathbf{K}_d\mathbf{s} \leq 0임을 보인다. 이는 슬라이딩 변수의 수렴을 보장한다.
6. 매개 변수 수렴
6.1 영구적 여기 조건
매개 변수가 정확한 값으로 수렴하기 위해서는 영구적 여기(persistent excitation) 조건이 만족되어야 한다.
6.2 영구적 여기 조건
회귀 행렬 \mathbf{Y}가 다음의 조건을 만족해야 한다.
\int_{t}^{t+T}\mathbf{Y}(\tau)\mathbf{Y}^T(\tau)\, d\tau \geq \alpha\mathbf{I}
여기서 \alpha > 0이고 T > 0이다.
6.3 충분히 변화하는 운동
영구적 여기 조건은 매니퓰레이터의 운동이 충분히 다양하고 풍부할 때 만족된다.
7. 응용
7.1 페이로드 변화
페이로드가 변하는 매니퓰레이터에서 적응 제어가 유용하다.
7.2 매개 변수의 정밀 식별
운동 데이터로부터 매개 변수를 정밀하게 식별할 수 있다.
7.3 정밀 추종
정밀 추종 제어에서 모형 오차에 강건한 결과를 얻을 수 있다.
8. 한계와 도전
8.1 외란
적응 제어는 외란에 민감할 수 있다. 강건성 보강이 필요하다.
8.2 비매개 변수 불확실성
비매개 변수 불확실성(예: 비모형화 동역학)은 처리하기 어렵다.
8.3 시간 변동 매개 변수
매개 변수가 빠르게 변하면 적응 알고리즘의 수렴이 어렵다.
9. 본 절의 의의
본 절은 라그랑주 동역학 기반 적응 제어를 다루었다. 적응 제어는 매개 변수 불확실성에 강건한 매니퓰레이터 제어 기법이며, 라그랑주 동역학의 선형 매개 변수화가 그 기반이다.
10. 참고 문헌
- Slotine, J.-J. E., & Li, W. (1987). On the adaptive control of robot manipulators. International Journal of Robotics Research, 6(3), 49-59.
- Slotine, J.-J. E., & Li, W. (1991). Applied Nonlinear Control. Prentice Hall.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
- Ortega, R., Loria, A., Nicklasson, P. J., & Sira-Ramirez, H. (1998). Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems. Springer.
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